5.专题七 隐圆与四点共圆 专题八 动点轨迹、路径长问题（作业本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题七隐圆与四点共圆 1.如图，已知∠ADC=∠ABC=90°，∠BAC=28°，则∠BDC= 0 BL 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，点D在半圆O上，OB=√61，AD=10,点C在BD上移动，连接AC,H是AC上一点，∠DHC= 90°，连接BH,点C在移动过程中，BH的最小值为 3.如图，正方形ABCD的边长为6，点E,F分别在线段BC,CD上，且CF=3,CE=2,若点M,N分别在线 段AB,AD上运动，P为线段MF上一点，在运动过程中，始终保持∠PEB=∠PFC,则线段PN的最小值 为 4.(2024·苏州)如图，在矩形ABCD中，AB=√3，BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发，以每秒1个 单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动，过点E,F作直线I,过点A作直线l的垂线，垂足为G,则 AG的最大值为 () A.√3 B C.2 D.1 2 5.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4,D是BC的中点，∠CAD=∠CBE,求AE的 长度 6.如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6,∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大 值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由 阅盟学堂XTPZK GZSX73分层作业本专题突破 专题八动点轨迹、路径长问题 1.（2023·南沙区模拟)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,E是边AB上的动点，过点B作直线 CE的垂线，垂足为G,当点E从点A运动到点B时，点G的运动路径长是 () 4 A. 2 B.3 C.43 D.2√3 A M C。 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，有一架竖直靠在直角墙面的梯子MN正在下滑，一只猫在点D处紧紧盯住位于梯子正中间点E 处的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕捉.把墙面、梯子、猫、老鼠都理想化为同一平面内的线或点模型， ∠ABC=90°，点M,N分别在射线BA,BC上，MN长度始终不变，MN=4,E为MN的中点，点D到BA, BC的距离分别为4和2. (1)在梯子滑动过程中，△MBN面积的最大值为 ； (2)在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为 3.（2024·增城区模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm,AD=8cm,∠ABC=60°，P为线段AD的 中点.动点E从点A开始沿边AD以1cm/s的速度运动至点P,动点F从点C开始沿边CB以2cm/s 的速度运动至点B.点E,F同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.作点 C关于直线EF的对称点C',在点E从点A运动到点P的过程中，点C'的运动路径长为 cm. 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E是边BC上一动点，以E为直角顶点，在AE的右侧作等腰直角 三角形AEF.若动点E从点B出发，沿边BC向右运动，运动到点C时停止，则线段AF的中点Q的运动 路径长为多少？ 5.如图，已知等边△ABC的边长为6，点E,F分别在边AC,BC上运动，连接AF,BE相交于点P. (1)若动点E,F在运动过程中始终保持AE=CF,则∠APB= °；动点P的轨迹是 (2)若动点E,F在运动过程中始终保持AE=BF,当点E从点A运动到点C时，求点P经过的路径长 阅盟学堂XTPZK GZSX74 分层作业本专题突破.∠ACB=∠ACD=O. ∴.设AWN=MN=3x,CN=4x. 在Rt△AFC中，cos9=CE AC .AC=7x=5龙=7 ∴AC=CF=m+n cos 02cos0 CN-2 (3):四边形ABMN是邻等对补 四边形，且∠ABM=90°， 0=cy血c=9x号-号， ∴.∠ANM=90°. CQ=CN-cos C= 在Rt△ABC中， AC=AB+BC=√32+4=5. BQ=4- 9号 当AB=AN时，如图5，连接AM, BN=122 71 综上所达.BwN的张为，我票 7 M 专题五半角模型 图5 1.①②④2.27 在Rt△ABM和Rt△ANM中， 3.证明：如图，把△ABM绕点B顺时 AM=AM,AB=AN, 针旋转，使边AB与边BC重合，得 .∴.Rt△ABM≌Rt△ANM(HL). 到△CBM' .'MB MN. M 故在此种情况下，有两组邻边相 等，不符合题意，舍去 分以下两种情况讨论： ①当BM=BA=3时，如图6，则 M' CM=4-3=1, 则AM=CM',BM=BM', ∠A=∠BCM', ∠ABM=∠M'BC, .'∠A+∠BCD=180°， ∴.∠BCM'+∠BCD=180° 图6 .M',C,N三点共线， .CW=CM·cosC=1× 4 4 5= :∠MBN=∠ABC, 过点N作NP⊥BC于点P, 1 ·∠ABM+∠CBN=2∠ABC 4312 则P=CW·sinC=5x 5=25 =∠MBN. 4416 ∴.∠CBN+∠M'BC=∠CBN+ CP=CN·cosC=5×5=25, ∠ABM=-∠MBN. .BP=4- 即∠M'BN=∠MBN. 25 BN BN, N-√+(，2 ∴.△NBM≌△NBM'(SAS). .MN =M'N. ②当NM=NA时，如图7，过点N M'N =M'C+CN, 作NQ⊥BC于点Q,连接AM, .MN =M'C+CN =AM+CN. 专题六将军饮马模型 1.④2.43.244.25 5 BM 5.解：如图1，作点C关于OA的对 图7 称点C',过点C'作C'N⊥OB于点 3 N,C'N交OA于点M,连接MC, .tan C= 43 0C',CC'. 阅盟学堂XTPZK GZSX86分层作业本参考 一M 图1 点C,C关于OA对称， ∴.OA垂直平分C'C. ∴.MC'=MC,0C'=0C=10. ∴.CM+MN=C'M+MW=C'N. ∴.当C'N⊥OB时，CM+MW最小， 即M,N为符合题意的点. 0C'=0C,0A⊥C'C, ∴.∠C'0A=∠B0A=15°， 即∠C0N=30°. 在Rt△CON中，∠C'0W=30°， cN=20c=7x10=5 .CM+MN最小值为5. 专题七隐圆与四点共圆 1.282.83.9-3 4.D 2 5.解：如图，连接DE. B :∠CAD=∠CBE, .A,B,D,E四点共圆 .∠AED=∠ABD=90° AB=BC. ∠G=∠BMC=号×(180- 90°)=45° 又.·∠DEC=180°-∠AED =180°-90°=90°， ∴.△DEC为等腰直角三角形 ÷Dc=2mE,即DE=号0c AB=BC=4,D是BC的中点， BD=CD-78C-2. ·DE=2DC=2 21 在Rt△ABD中，∠ABD=90°， AD=√AB2+BD=√4+22=25. 在Rt△AED中，∠AED=90°， AE=V√AD2-DE =√/(25)2-(2)2=3√2. 6.解：存在.如图，连接AC,BD,在 AC上取一点M,使得CM=DC,连 接DM. 答案 ∠BAM=∠EAF=45°， ∴.∠BAE=∠MAF 8--, .∴.△ABE∽△AMF ∠DAB=60°，∠DCB=120°， .∠AMF=∠ABE=90°， ∴.∠DAB+∠DCB=180 .A,B,C,D四点共圆，作出此圆 器器号 如图所示 .AQ=FQ,AH=MH, AD=AB,∠DAB=60°， FM,lQ/FM. .△ADB是等边三角形. ∴.∠AHQ=90°. .∠ABD=∠ADB=60°， AD=BD. ∴.点Q的运动轨迹是线段Q,当 .∴.∠ACD=LABD=60°， 点E从点B运动到点C时，BE=8 ∠ACB=∠ADB=60°. .MF=8√2. CM=DC, 0=2MF=42, ∴.△DMC是等边三角形. .∠ADB=∠MDC=60°， 即点Q的运动路径长为4√2. DM=DC. 5.解：(1)当AE=CF时， .∠ADM=∠BDC. 易证LAPE=60°， AD BD,MD =CD, 所以LAPB=120°，因此点P的路 ∴.△ADM≌△BDC(SAS) 径是一条弧. .AM=BC. 故答案分别为120，弧。 .AC=AM+MC=BC+CD. (2)当AE=BF时，由对称性可 :四边形ABCD的周长为 知，点P的路径长就是过点C向 AD +AB+CD+BC=AD+AB+AC. AB作的垂线段的长度，所以点P 且AD=AB=6, 经过的路径长为√62-32=3√5. .当AC最大时，四边形ABCD的 专题九最值问题 周长最大 ∴.当AC为△ABC的外接圆的直 1.6217-2≤BP≤82.√5 径时，四边形ABCD的周长最大， 3.√5-1≤DH≤24.205-16 此时LABC=90° 5.27 ∠ACB=60°， 专题十AB+k·CD型最值问题 AB 6 ·AC-AC sin60°， 1.52.√17 解得AC=43. 3.解：如图，过点C作CK∥x轴，过 .AC的最大值为4√3. 点D作DG⊥CK于点G,过点A .四边形ABCD的周长的最大值 作AH⊥CK于点H,直线BC交 为12+4√5. y轴于点M, 专题八动点轨迹、路径长问题 1.A2.(1)4(2)25-2 3.326 4.解：如图，在BC上截取BM=BA, 连接AM,MF,取AM的中点H,连 接HQ, A(-1,0),B(3,0),.0B=3. 4 .:tan∠ABC= 30M=4 .直线BC的解析式为 阅盟学堂XTPZK GZSX87分层作业本参考答 3t+4. y、 4 y=-3x+4, y=x2-2x-3, 7 x=-3 解得 x=3, 或 y=0, 64 y=91 d-子) 依题意，得动点P运动的路径为 折线AD+DC, 运动时间：=AD+号0C, CG∥AB,∴.∠GCD=∠ABC. ∴.tan∠GCD=tan∠ABC. Dc=号0c .t=AD+DG. 即运动的时间值等于折线AD+ DG的长度值. 由垂线段最短可知，折线AD+DG 的长度的最小值为CK与x轴之 间的垂线段， ∴.动点P运动到点C的最短时间 是g 4.解：(1)如图，在AB上截取AQ'= AQ,连接CQ',PQ',QQ'.过点C 作CE⊥AB于点E. C E ,AB=AC,AD是△ABC的中线， .AD平分∠QAQ',AD⊥CB. .CD=BD-7 BG-3. 又AQ'=AQ, ∴.AD垂直平分QQ'.∴.PQ=PQ' 由三角形三边关系可知 PC+PQ=PC+PQ'≥CQ', .当C,P,Q'三点共线时， PC+PQ有最小值. ·.CE⊥AB, ∴.CE长为PC+PQ的最小值. AD⊥CB, .在Rt△ADC中，∠ADC=90. AD=√AC2-CD=√52-32=4.