3.专题四 旋转变换与费马点问题（作业本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

EFDG=12, ∴EF= 12=5. 4.解：(1)线段BC绕点B顺时针 旋转90°得到线段BD, ∴.BC=BD,∠CBD=90° .∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC. :∠A=∠E=90°， .△ABC≌△EDB(AAS). .AB=DE. 故答案为AB=DE. (2)由(1)可知△ABC≌△EDB, .DE=AB=2,BE=AC=6. .AE=AB BE =8. :∠DEB+∠A=180°，∴.DE∥AC. ∴.△DEF∽△CAF. 器-脚 EF 6=EF+8? 解得EF=4. .BF=BE +EF=10. F DE=10. (3)如图3，过点N作NM⊥AE于 点M,故AC∥MN∥ED, 图3 易证△EMN∽△EAC, △BMN∽△BED∽△CAB, 由△BN△81C,得2-欲 即答-坠EW=学N 6 由△AN△8ED,科2份-8能 EMN 6 18 2 6 一，解得MW= 131 由△BMW∽△CAB,得 18 BN MN 13 9 CB=AB=2=13 故答案为号 (4)①当点P在点B左侧时，如 图4，过点P作PQ⊥BC于点Q, 图4 阅盟学 ·tan L BCP=P=2 如图1，连接MN,由(1)知， C0=3 △AMB≌△ENB m∠ac器%-3， ∴.AM=EN. ∠MBN=60°，MB=NB, P0=号c0,P0=3B0, ∴.△BMW是等边三角形. 设BQ=2a,则PQ=6a,CQ=9a, ∴.BM=MN. ..BC=BQ +CQ=11a. .AM+BM CM=EN +MN+CM. BC =AB2 +AC2 根据“两点之间线段最短”可知， 当点E,N,M,C在同一条直线上 =2√10=11a, 时，EN+MN+CM取得最小值， 210 .a=11 最小值为EC. (3)解：如图1，过点E作EF⊥BC .BP=√BQ2+PQ2=2√10a 交CB的延长线于点F, 40 二11 ∴.∠EBF=∠ABF-∠ABE =90°-60°=30°. .AP-BP-AB- 设正方形的边长为x, ②当点P在点B右侧时，如图5，作 则BF= PG⊥BC交CB的延长线于点G 2,BF= 在Rt△EFC中，EF2+FC2=EC2, (+(9+=5+1, 4B- 解得x1=√2，x2=-√（舍去负值） 图5 .正方形的边长为√2 tan∠BCP= PG 2 3.解：(1)②④ CG=3, (2)①LACD=∠ACB.理由如下： tan LPBG=tan LABC, 如图4，延长CB至点E,使BE= 器铝=3， DC,连接AE, 剩下思路与第一种情况一致，求 得AP-号 B 综上所述，4AP的长度为片支号 图4 ·四边形ABCD是邻等对补四 专题四旋转变换与费马点问题 边形， 1.1<PC<5 ∴.∠ABC+∠D=180°. 2.(1)证明：△ABE是等边三角形， :∠ABC+∠ABE=180°， .BA=BE,∠ABE=60°. .∠ABE=∠D. ∠MBN=60°， 又，AB=AD, ∴.∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN, .△ABE≌△ADC(SAS). 即∠MBA=∠NBE. .∠E=∠ACD,AE=AC. 又.MB=NB, .∠E=∠ACB. '.△AMB≌△ENB(SAS) .∠ACD=∠ACB. (2)解：如图1，连接CE,当点M ②如图4，过点A作AF⊥EC,垂足 位于BD与CE的交点处时，AM+ 为F, BM+CM的值最小.理由如下： :△ABE≌△ADC,.BE=DC D AE=AC,AF⊥EC, ∴CF=2cB=2(Bc+BE) =2(Bc+00)= 2 图1 ·∠BCD=20, 堂XTPZK GZSX85分层作业本参考答案 .∠ACB=∠ACD=O. ∴.设AWN=MN=3x,CN=4x. 在Rt△AFC中，cos9=CE AC .AC=7x=5龙=7 ∴AC=CF=m+n cos 02cos0 CN-2 (3):四边形ABMN是邻等对补 四边形，且∠ABM=90°， 0=cy血c=9x号-号， ∴.∠ANM=90°. CQ=CN-cos C= 在Rt△ABC中， AC=AB+BC=√32+4=5. BQ=4- 9号 当AB=AN时，如图5，连接AM, BN=122 71 综上所达.BwN的张为，我票 7 M 专题五半角模型 图5 1.①②④2.27 在Rt△ABM和Rt△ANM中， 3.证明：如图，把△ABM绕点B顺时 AM=AM,AB=AN, 针旋转，使边AB与边BC重合，得 .∴.Rt△ABM≌Rt△ANM(HL). 到△CBM' .'MB MN. M 故在此种情况下，有两组邻边相 等，不符合题意，舍去 分以下两种情况讨论： ①当BM=BA=3时，如图6，则 M' CM=4-3=1, 则AM=CM',BM=BM', ∠A=∠BCM', ∠ABM=∠M'BC, .'∠A+∠BCD=180°， ∴.∠BCM'+∠BCD=180° 图6 .M',C,N三点共线， .CW=CM·cosC=1× 4 4 5= :∠MBN=∠ABC, 过点N作NP⊥BC于点P, 1 ·∠ABM+∠CBN=2∠ABC 4312 则P=CW·sinC=5x 5=25 =∠MBN. 4416 ∴.∠CBN+∠M'BC=∠CBN+ CP=CN·cosC=5×5=25, ∠ABM=-∠MBN. .BP=4- 即∠M'BN=∠MBN. 25 BN BN, N-√+(，2 ∴.△NBM≌△NBM'(SAS). .MN =M'N. ②当NM=NA时，如图7，过点N M'N =M'C+CN, 作NQ⊥BC于点Q,连接AM, .MN =M'C+CN =AM+CN. 专题六将军饮马模型 1.④2.43.244.25 5 BM 5.解：如图1，作点C关于OA的对 图7 称点C',过点C'作C'N⊥OB于点 3 N,C'N交OA于点M,连接MC, .tan C= 43 0C',CC'. 阅盟学堂XTPZK GZSX86分层作业本参考 一M 图1 点C,C关于OA对称， ∴.OA垂直平分C'C. ∴.MC'=MC,0C'=0C=10. ∴.CM+MN=C'M+MW=C'N. ∴.当C'N⊥OB时，CM+MW最小， 即M,N为符合题意的点. 0C'=0C,0A⊥C'C, ∴.∠C'0A=∠B0A=15°， 即∠C0N=30°. 在Rt△CON中，∠C'0W=30°， cN=20c=7x10=5 .CM+MN最小值为5. 专题七隐圆与四点共圆 1.282.83.9-3 4.D 2 5.解：如图，连接DE. B :∠CAD=∠CBE, .A,B,D,E四点共圆 .∠AED=∠ABD=90° AB=BC. ∠G=∠BMC=号×(180- 90°)=45° 又.·∠DEC=180°-∠AED =180°-90°=90°， ∴.△DEC为等腰直角三角形 ÷Dc=2mE,即DE=号0c AB=BC=4,D是BC的中点， BD=CD-78C-2. ·DE=2DC=2 21 在Rt△ABD中，∠ABD=90°， AD=√AB2+BD=√4+22=25. 在Rt△AED中，∠AED=90°， AE=V√AD2-DE =√/(25)2-(2)2=3√2. 6.解：存在.如图，连接AC,BD,在 AC上取一点M,使得CM=DC,连 接DM. 答案专题四旋转变换与费马点问题 1.如图，在等边三角形ABC中，PA=2,PB=3,则PC的取值范围是 2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含点B)上任意一点，将BM绕 点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN,AM,CM. (1)求证：△AMB≌△ENB; (2)当点M在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； (3)当AM+BM+CM的最小值为√3+1时，求正方形的边长. D 阅盟学堂XTPZK GZSX69分层作业本专题突破 3.（2024·河南改编)综合与实践 定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形， 【操作判断】 (1)用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形 的有 ·(填序号) 【性质探究】 (2)如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线. ①写出图中相等的角，并说明理由； ②若BC=m,DC=n,∠BCD=20,求AC的长.（用含m,n,0的式子表示） 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3,BC=4,分别在边BC,AC上取点M,N,使四边形ABMW是 邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BW的长. ① ② 图1③ 图2 图3 阅盟学堂XTPZK GZSX70 分层作业本专题突破