17.专题十七 二次函数压轴拆分专练 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题十七二次函数压轴题拆分专练 一二次函数核心考点 二次函数核心考点：点的坐标与图象关系；待定系数法求函数解析式；方程（组）、不等式（组）的 解法；求二次函数的最值；二次函数的增减性、对称性；函数思想、数形结合思想、分类思想、建模 思想， 类型1)求函数解析式 1.(2024·荔湾区模拟)抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A,B两点，点B的坐标为(3,0)，对称轴 为直线x=1.则该抛物线的解析式为 2.（(2023·杭州)设二次函数y=ax2+bx+1(a≠0，b是实数)，已知函数值y和自变量x的部分对 应取值如表所示. (1)若m=4,求二次函数的表达式； (2)写出符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而 23 减小； (3)若m,n,p这三个实数中，只有一个是正数，求a的取 值范围。 类型2求参数值或取值范围 3.(2023·丽水)已知点(-m,0)和(3m,0)在二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象上. (1)当m=-1时，求a和b的值； (2)若函数图象经过点A(n,3)且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围； (3)求证：b2+4a=0. 阅盟学堂ZKSX225 4.（2022·广州)已知直线1：y=x+b经过点(0,7)和(1,6). (1)求直线1的解析式； (2)若点P(m,n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0，-3)，且开口向下，求m的取值范围。 类型3求最值 5.(2022·天河区模拟)若抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，c>1)过点A(c,0),且0<x<c 时，总有y>0. (1)当a=2,c=2时，求6的值； (2)当a=时，求该抛物线顶点纵坐标的取值范围. 226阅盟学堂ZKSX 6.（2022·越秀区模拟)已知抛物线G:y=ax2+bx+c经过点A(-1,a-b+9),且与y轴交于点 B,与x轴仅有一个交点 (1)求点B的坐标； (2)当a+b取最小值时，求抛物线G的解析式. 7.(2024·香曷区模拟)过点B(4,2),C(-1,②)的抛物线y=:+bc+e与y轴交于点 (1)求b,c的值； (2)直线C交)轴于点D,E是地物线y-子：+：+：上位于直线AB下方的一动点，过点E 作直线AB的垂线，垂足为F,求EF的最大值， 阅盟学堂ZKSX227 二二次函数与一元二次方程综合 类型①求交点 1.已知：抛物线y=mx2+(m-3)x-3. (1)求证：无论m取何值，抛物线y=mx2+(m-3)x-3总与x轴有交点； (2)求证：抛物线y=mx2+（m-3)x-3一定过x轴上的定点A,过y轴上的定点C,并求出点A, C的坐标； (3)设抛物线y=mx2+(m-3)x-3与x轴交于A,B两点（点A,B分别在原点左侧和右侧）， B=记求0的值 2.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B,则m的取值范围 为 类型2求交点间距离 3.（2023·越秀区模拟)已知抛物线G:y=a2+bx+c(a≠0)经过点A(1,a+5b) (1)用含b的代数式表示c; (2)若抛物线G与x轴交于点B,C(点B在点C左侧)，且BC=6,求点B的坐标. 228阅盟学堂ZKSX 4.(2023·增城区模拟)综合与探究 已知抛物线C1:y=ax2+bx-5(a≠0). (1)当抛物线经过(-1，-8)和(1,0)两点时，求抛物线的函数表达式； (2)当b=4a时，无论a为何值，直线y=m与抛物线C1相交所得的线段AB(点A在点B的左 侧)的长度始终不变，求m的值和线段AB的长. 5.(2023·增城区模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-4ax+3a(a为常数，a≠0) (1)当a>0时，设抛物线与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），顶点为C,若△ABC为等边 三角形，求a的值； (2)过点T(0,t)(其中-1≤t≤2)且垂直y轴的直线1与抛物线交于M,N两点.若对于满足条 件的任意t值，线段MN的长都不小于1，求a的取值范围. 阅盟学堂ZKSX229 6.若抛物线y=x2-2x-3与直线y=x+m有2个交点A和B,且AB=5,求m的值. 类型3解一元二次不等式、解一元二次方程 7.(1)设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的实数根分别为a,b,且a<b,则a,b满足（) A.1<a<b<2 B.1<a<2<b C.a<1<b<2 D.a<1且b>2 (2)设一元二次方程(x-1)(x-2)=m(m>0)的实数根分别为a,b,且a<b,则一元二次不等 式(x-1)(x-2)<m的解集为 ·(用a,b表示) 三二次函数与几何综合 类型1)特殊三角形存在性 1.(2024·达州)如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点 C,D是抛物线的顶点.若N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以N,A,C为顶 点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由， A 230阅盟学堂ZKSX 2.（2023·烟台)如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4,抛物 线的对称轴为直线x=3,与经过点A的直线y=x-1交于点D,与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式； (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形？若存在，求出所有 点M的坐标；若不存在，请说明理由， 2024·广安)如图，抛物线y=二x2+6:+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A 为(-1,0)，点B坐标为(3,0) (1)求此抛物线的函数解析式； (2)M为该抛物线上的一点，当∠MCB=45时，求出所有满足条件的点M的坐标. 阅盟学堂ZKSX231 4.（2023·武汉)抛物线G:y=x2-2x-8交x轴于A,B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标； (2)如图，作直线x=t(0<t<4),分别交x轴、线段BC、抛物线G于D,E,F三点，连接CF.若 △BDE与△CEF相似，求t的值： 类型2特殊四边形存在性 5.(2024·泸州)如图，在平面直角坐标系x0y中，已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(3,0),与y 轴交于点B,且关于直线x=1对称. (1)求该抛物线的解析式 (2)C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y轴上 是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不 存在，说明理由。 O 232阅盟学堂ZKSX 6.（2023·增城区模拟)已知抛物线C1:y=ax2+bx-5(a≠0).当b=4a时，直线y=-5与抛物线 C1相交所得的线段AB=4(点A在点B的左侧)，将抛物线C1沿直线y=-5翻折得到抛物线 C2,抛物线C1,C2的顶点分别记为G,H.是否存在实数a使得以A,B,G,H为顶点的四边形为正 方形？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由. 类型3与圆综合 7.(2022·增城区模拟)已知抛物线y=x2+6mx+9m2-6m-8的顶点为P.若抛物线与直线l:y= 2x-8交于P,Q两点，以PQ为直径的圆与坐标轴相切，求m的值. 阅盟学堂ZKSX233 8.（2024·南沙区二模)已知抛物线y=-x2+2mx+n经过点(2,2m-3) (1)用含m的式子表示n; (2)当m<0时，设该抛物线与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,△ABC的 外接圆与y轴交于另一点D(点D与点C不重合)，求点D的坐标 9(2023·广州)已知点P(m,川在函数y=2(x<0)的图象上，抛物线y=(x-m)(x-n与# 轴交于M,N两点（点M在点N的左边），与y轴交于点G,记抛物线的顶点为E,设△GMN的外 接圆圆心为点C,⊙C与y轴另一个交点为F,当m+n≠0时，是否存在四边形FGEC为平行四 边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，说明理由。 234阅盟学堂ZKSX于点G, 设FG=m,则BG=MG=x+m, 在Rt△GFM中，MG=V3FG, 即x+m=3m, 整理得m=5+ 2t, 6=+3 2* 又设DE与BC交于点N,则 DN=BD=x+4. .y=SABDN-S△BFW -RD DN-Z BF:NG =x+4)2_3+32 2 =-+4+8: ②如图5，当2<x≤6-23时， 两块三角板重叠部分的面积 y SAABC -SABFM =4B·Ac-f,CM =7x6x6-分，3， 2x, 即y34+18 ③如图6，当6-25<x≤6时， BF=x,∴.AF=6-x, .AN=√3(6-x), ∴.两块三角板重叠部分的面积 y-AFAN 2 =9-68+18,g 综上所述，y与x的函数解析式为 (_5+12+4x+8(0≤x≤2)， 4 y= _5+3x+18(2<x≤6-25)， 4 2-6+186-25<e6 (注：第(3)题取值范围可以这样解： ①当点F与点B重合时，x=0, 当点D与点A重合时，x=2. “.第一段函数的取值范围在 0≤x≤2； ②当点M与点C重合时， AC=6,.AF=25, 阅盟学 得到BF=6-2√3， =3√2-2； .第二段函数的取值范围为 ②当A'B=BM时，如图3， 2<x≤6-2√3； ③当点F与点A重合时，x=6, “.第三段函数的取值范围为 6-25<x≤6) 6.D7.1+58.3 9.解：(1)90 图3 (2)当PA'⊥AB时，如图1所示， 此时△A'BM是等腰直角三角形， 连接OP,OA',则OP=OA',PA=PA 则△A'BA也是等腰直角三角形， .AM'=√A'02+A02=32; ③当A'B=A'M时，如图4，作A'D1 AB于点D, 图1 PA'⊥AB,AB为⊙0的直径， ∴.AP=AA'. .∠A'OP=2∠A'OD. ∴.AP=A'P=AA' 图4 ..△AA'P是等边三角形 同理0D=A'D=50A=32 ∴.∠PAA'=60. 21 .∴.∠A'0D=60° AD=0A+0D=3+32 2 A'D=0M'·sim60=33 2 .AA'=√A'D2+AD2 .AM'=A'P=2A'D=3√5. =3√2+2. (3)△A'BM能为等腰三角形 综上所述，△A'BM能为等腰三角 点M在直线AB的下方且将AB 形，此时AA'的长度为3√2或 平分， 3√2-√2或3√2+√2 ∴.∠B0M=90°. 分三种情况讨论： 专题十七二次函数压轴题拆分专练 ①当A'B=A'M时，如图2，延长 一、二次函数核心考点 A'O交BM于点C,作A'D⊥AB于 1y=++4 点D, 2.解：(1)把点(-1,4)，(2,1)分别 代入y=ax2+bx+1,得 a-6-4，解得a=1, l4a+2b+1=1, 1b=-2 .y=x2-2x+1. 图2 (2)点(0,1)，(2,1)在y=ax2+ A'B=A'M,OM=OB, bx+1的图象上， .A'C是线段BM的垂直平分线. ∴.抛物线的对称轴为直线 ∠B0C=7∠B0M=45 x=0+2=1. 2 =∠A'OA .当a>0,x<1时，y随x的增大 ∴.△A'OD是等腰直角三角形. 而减小； 0A'=0A=3, 当a<0,x>1时，y随x的增大而 0m=An=0r= 减小. 2 六AD=0A-0D=3-32 （3)由(2)得-元1， 21 .∴.b=-2a. ∴.AA'=√A'D2+AD ..y=ax2 +bx+1 ax2-2ax +1. 堂XTPZK GZSX53课堂本参考答案 把点(-1，m)代入y=ax2-2ax+1, 抛物线经过点(0，-3)， 得m=a+2a+1=3a+1. .am2+7-m=-3. 把点(1，n)代入y=ax2-2ax+1, .a=m-10 得n=a-2a+1=-a+1. m2 把点(3，p)代入y=ax2-2ax+1, :抛物线开口向下， 得p=9a-6a+1=3a+1. a<0. ∴.m=p. a=m-10<0. :m,n,p这三个实数中，只有一 m2 个是正数， .m<10且m≠0. ∫-a+1>0 六{3a+1≤0， 解得a≤-写 5.解：1)依题意得y=7+x+2 过点A(2,0), 3.(1)解：当m=-1时，图象过点 .b=-2. (1,0)和(-3,0)， 「a+b+3=0, 解得-1， (2)当a=时，抛物线解析式为 19a-3b+3=0 1b=-2. .a=-1,b=-2. y=+证+e, (2)解：函数图象过点(-m,0) :点A(c,0)在抛物线上， 和(3m,0), ∴.函数图象的对称轴为直线x=m ∴2+c+e=0 :图象过点(n,3),(0,3), c(年+b+1=0, ∴.根据图象的对称性得n=2m. -2<m<-1, c>1, .-4<n<-2. 年+b6+1=0,即6=-1-÷ (3)证明：：图象过点(-m,0)和 ∴.抛物线的对称轴为直线 (3m,0), “根据图象的对称性得一 =m. =一 2a 1 .b=-2am,顶点坐标为 (m,am2+bm+3). 将点(-m,0)和(3m,0)分别代入表 当x-2+时=+分+ 达式可得 (-1-42+)+c=6e- 「am2-bm+3=0,① 当1<c≤4时，y随c的增大而 l9am2+3bm+3=0,② 增大 ①×3+②，得12am2+12=0. 当c=4时，y有最大值0； ∴.am2=-1. .am2+bm+3=am2-2am2+3 当c=1时，y有最小值-品 =-am2+3=4. 9 12a-6=4. -16<y≤0， 4a ·当c>4时，抛物线顶点纵坐标 .12a-b2=16a. 小于0，而0<x<c时，总有y>0, .b2+4a=0. .不存在c>4这种情况. 4.解：(1)将点(0,7)和(1,6)分别 ·该抛物线顶点纵坐标的取值范 代人y=x+b, 「b=7, 围为-6<y≤0 解得 k=-1, 1k+b=6 b=7. 6.解：(1)抛物线G:y=ax2+br+c ∴.直线的解析式为 经过点A(-1,a-b+9), y=-x+7. .a-b+c=a-b+9. (2)点P(m,n)在直线l上， .c=9. .n=-m+7. ∴.抛物线为y=ax2+bx+9. 设抛物线的解析式为 当x=0时，y=9. y=a(x-m)2+7-m, .B(0,9) 阅盟学堂XTPZK GZSX54课堂本参考答案 (2):y=ax2+bx+9与x轴仅有 一个交点， .b2-4ac=b2-36a=0. a=36 a+6= 36*6 4当6=-1 -=-18时， 1 2￥36 a+b的最小值为 36×(-18)2-18=-9, 1 即a+b=-9. ∴.a=-b-9=9. ∴.抛物线G的解析式为 y=9x2-18x+9. 7.解：(1)把B(4,2),C(-1,N2)代入 抛物线y=吗：+红+c 2 ×42+4b+c=√2， 可得 2 2 ×(-1)2-b+c=2, b=-32 解得 2 lc=-2. (2)由(1)，得抛物线的解析式为 .点A的坐标为(0，-√2). 设直线AB的解析式为y=kx+m, 把A(0,-√2)，B(4,√2)代入解析 式y=kx+m,得 [0+m=-2, k= 2 解得 2 4k+m=√2， lm=-√2. 小直线极的解析武为y=号-反 如图所示，过点E作EH⊥x轴并 延长交BC于点H,交AB于点G, 1 ∴.∠EFG=∠BHG=90°. ∴.∠FEG=∠HBG 依题意，得点D的坐标为(0,2)， 又A(0,-√2)，B(4,√2)， C(-1,2), .BD=4,AD=2√2. 由勾股定理得AB=√AD2+BD =√(2√2)2+42=26， 'cos∠FEG=cos LHBG, 即F=D.4,6 CEAB263 F-EG 设点个，号 2x-2, 其中0<x<4, 则GE 。-9.-2+22 当x=2时，GE有最大值22. :F的最大值为x2,-4 31 二、二次函数与一元二次方程综合 1.(1)证明：4=(m-3)2-4m× (-3)=(m+3)2≥0， ∴.无论m取何值，抛物线总与x 轴有交点. (2)证明：当x=0时，y=-3, .C(0,-3). 当y=0时，mx2+(m-3)x-3=0, 即(mx-3)(x+1)=0. 解得与品4=-1 .A(-1,0) (3)解：由(2)得点A(-1,0), C(0,-3), .∴.0A=1,0C=3. 111 OA OB OC' m=2. 2.m≠0且m≠4 1 3.解：(1)抛物线G:y=ax2+bx+c (a≠0)经过点A(1,a+5b), ..a+b+c=a+5b. .c=4b. (2)c=4b, 阅盟学 ..y=ax2+bx+46. 令y=0,即ax2+bx+46=0. 名+名= ,书6 b a :抛物线G与x轴交于点B,C -5-43-2-10 (点B在点C左侧)，且BC=6,即 x2-x1=6(x2>x1)①， (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x -5 =6166 图1 a 当y=0时，ax2-4ax+3a=0, =36. 解得x1=1,x2=3. 解得6=-2或0=18 依题意，得顶点C的坐标为(2，-a). 当2=-2时，1+2=2.② a>0,.-a<0. a :△ABC为等边三角形， 由0,2得=-2， BC=AB=2, 2=4 DC=BC·sin60°=√5. B(-2,0); .点C的坐标为(2，-√3). 当2=18时，x,+02=-18.③ .-a=-5. 由0，③得5-12， a=√3. x2=-6. (2)分两种情况考虑，如图2 .B(-12,0). 所示 综上所述，B(-2,0)或B(-12,0). 4.解：(1)抛物线y=ax2+bx-5 经过(-1，-8)和(1,0)两点， 「a-b-5=-8, la+b-5=0. 5-43-2-1 ∫a=1, :b=4 ∴.抛物线的函数表达式为 y=x2+4x-5. 图2 (2)联立y=ar+x-5,得 :MW≥1，设点M在对称轴左边， ly=m, 3 ax2+bx-5-m=0. 当MN=1时，xw= +x期= --4, ①当a>0时，t=-1, a a=5-m 3-x3-3-1, .AB=xB-%A, 解得a≥分 :AB2=()2 ②当a<0时，l=2, =(x+)2-4xA%8 =16+20+4m a3-3-32. a 无论a为何值，直线y=m与抛 解得a≤-号 物线C,相交所得的线段AB(点A 综上所述，a的取值范围为a≥ 在点B的左侧)的长度始终不变， 3 .∴.20+4m=0. m=-5. 或a≤-号 AB=16,即AB=4. 6.解：将两个函数联立，得到 5.解：(1)依题意，画出图形，如图1 x2-2x-3=x+m, 所示 整理，得x2-3x-3-m=0. XTPZK GZSX55课堂本参考答案 设A(x1,y1),B(x2,y2), y=x2-6x+5. .x1+x2=3,x1x2=-3-m. (2)存在点M, .AB=5, :直线AD的解析式为y=x-1, .AB .当x=3时，y=x-1=2. =√(x1-x2)2+(y1-y2) .D(3,2). =√(x1-x2)2+(x1+m-名2-m) ①当∠DAM=90时， 设直线AM的解析式为y=-x+c, =√2(x1-x2)月 将点A(1,0)代人， =√2(x1+x2)2-8x1x2 得-1+c=0,解得c=1. =√8m+42 ∴.直线AM的解析式为y=-x+1. =5, 由=-x+1, 解得网=一号 1y=x2-6x+5, 7.(1)D(2)a<x<b 解得任三或任=4， y=0或y=-3. 三、二次函数与几何综合 点M的坐标为(4，-3)； 1.解：存在以N,A,C为顶点的三角 ②当∠ADM=90°时， 形是等腰三角形 设直线DM的解析式为y=-x+d, 由y=x2+2x-3,得点C的坐标为 将点D(3,2)代入， (0,-3),点D的坐标为(-1，-4). 得-3+d=2,解得d=5. A(-3,0),C(0,-3), ∴.直线DM的解析式为y=-x+5. .AC2=32+32=18. 由=-x+5, :N是抛物线对称轴上位于点D y=x2-6x+5, 上方的一动点，设N(-1,n),其 中n>-4, -g支6 .AW2=(-3+1)2+n2=4+n2, 点M的坐标为(0,5)或(5,0) CW2=12+(n+3)2=n2+6n+10. 综上所述，点M的坐标为(4，-3) ①当AN=AC时，4+n2=18, 或(0,5)或(5,0). 解得n=√14或n=-√14； ②当NA=NC时， 3解：：抛勒线y=子+血+c 4+n2=n2+6n+10, 与x轴交于A,B两点， 解得n=-l; 点A坐标为(-1,0)，点B坐标为 ③当CA=CN时，18=n2+6n+10, (3,0), 解得n=√7-3或n=-√7-3 y=-号(x+1x-3) (舍去). +2 、 4 综上所述，存在以N,A,C为顶点 的三角形是等腰三角形， (2)如图1，以CB为对角线作正 点N的坐标为(-1，√14)或 方形CTBK, (-1,-√14)或(-1，-1)或 (-1,√17-3). 2.解：(1)·抛物线的对称轴为直线 x=3,AB=4, .A(1,0),B(5,0) 将点A(1,0)代人直线y=x-1,得 k-1=0,解得k=1. 图1 ∴.直线AD的解析式为y=x-1. .∴.∠BCK=∠BCT=45°. 将点A(1,0),B(5,0)代入 .CK,CT与抛物线的另一个交点 y=ax2+bx+5,得 即为M. [+b+5=0,。解得a1 如图1，过点T作x轴的平行线交 25a+5b+5=0,r1b=-6. y轴于点Q,过点B作BG1T0于 ∴.抛物线的解析式为 点G,则OB=CQ=3, 阅盟学堂XTPZK GZSX56课堂本参考答案 .∠CTB=90°=∠CQT=∠TGB. ∴.∠QCT+∠CTQ=90°=∠CTQ+ ∠BTG. .∠QCT=∠BTG 又CT=BT, ∴.△CQT≌△TGB(AAS). ∴.QT=GB,CQ=TG. 设TQ=GB=m, 则CQ=TG=3-m, 把x=0代入抛物线y,得C(0,2), ∴.0C=2. .Q0=CQ-0C=1-m. .T(m,m-1). 由0Q=TQ,可得1-m=m, 解得m=2 1 …分》 设直线CT的解析式为y=nx+2, …2+2=号，解得a=-5. 1 .直线CT为y=-5x+2. 联立 +x+2, .4 y=-3 ly=-5x+2, 解得=0或 ly=2 91 y=- 2 72）c0,2),8(3.0. 四边形CTBK为正方形， 3) 1 同理可得直线CK为y=5+2, 4 3t+2, 联立 1 y=5x+2, 17 x=10 x=0, 解得 117 或 y=2. y=50 M品0) 综上所述，点M的坐标为 (9,2)(00) 4.解：(1)抛物线解析式为 y=x2-2x-8, .当y=0时，x2-2x-8=0, 解得x1=-2,x2=4. 当x=0时，y=-8. ∴.A(-2,0),B(4,0),C(0,-8). (2):F是直线x=t与抛物线G 的交点， .F(t,2-2t-8) ①如图，若△BE,D,∽△CE,F1时， D.D. :∠BCF1=∠CBO,∴.CF1∥OB. C(0,-8),.2-2t-8=-8. 解得t=0(舍去)或t=2; ②如图，若△BE2D2∽△F2E2C时， 过点F2作F2TLy轴于点T ·LBCF2=∠BD2E2=LB0C=90° ∴.∠OCB+∠OBC=LOCB+∠TCF2 =90° ∴.∠TCF2=∠OBC. 又：∠CTF2=∠B0C=90°， .△CF2T∽△BCO. FT CT ·C0=B0 B(4,0),C(0,-8), .∴.0B=4,0C=8. .FT=t, CT=-8-(t2-2t-8)=2t-t2, 解得：=0（舍去）或：=多 综上所述，符合题意的t的值为2 5.解：(1)抛物线y=ax2+bx+3 经过点A(3,0),且关于直线x=1 对称， b -2a=1, 解得1， l9a+3b+3=0, 1b=2. y=-x2+2x+3. (2)存在.当x=0时， y=-x2+2x+3=3, B(0,3). 设直线AB的解析式为y=x+3, 把A(3,0)代入，得k=-1, .y=-x+3. 设C(m,-m2+2m+3)(0<m<3), 阅盟学堂 则D(m,-m+3), .AB∥x轴. ∴.CD=-m2+2m+3+m-3 .AB⊥GH =-m2+3m, .当以A,B,G,H为顶点的四边 BD=√m2+(-m+3-3)7 形是正方形时，AB,GH为该正方 =2m, 形的对角线。 .AB GH. BC2=m2+(-m2+2m)2. 当以B,C,D,E为顶点的四边形 .1-4a-5-(4a-5)1=4. 是菱形时，分两种情况，如图 .∴.8a=4. 所示， 1 .a=±2 7.解：联立 「y=2x-8, ly=x2+6mx+9m2-6m-8, B 得=-3m,或 x=-3m+2, ly=-6m-8ly=-6m-4. ∴.P(-3m,-6m-8）, Q(-3m+2,-6m-4). ①当BD为边时，即菱形为BDCE' ..PQ 时，则有CD=BD,即 =√（-3m+3m-2)+(-6m-8+6m+4)2 -m2+3m=√2m, =25, 解得m=0(舍去)或m=3-2. 以PQ为直径的圆的圆心坐标为 此时菱形的边长为 （-3m+1,-6m-6). BD=√2m=3√2-2； 以PQ为直径的圆与坐标轴相切， ②当BD为对角线时，即菱形为 分两种情况： BCDE时，则有BC=CD, ①以PQ为直径的圆与x轴相切， .BC=CD2,即 则|-6m-6=2P0,即 m2+(-m2+2m)2=(-m2+3m)2, 解得m=2或m=0(舍去). |-6m-6|=√5， 此时菱形的边长为 解得m=-1+或m=-1- 6 6 CD=-m2+3m=-22+3×2=2. 综上所述，存在以B,C,D,E为顶 ②以PQ为直径的圆与y轴相切 时，则|-3m+1|=√5， 点的四边形是菱形，边长为3√2-2 或2. 解得风兮或m与5 3 解：存在.抛物线C,的解析式为 综上所述，以PQ为直径的圆与坐 y =ax2+bx-5=ax2+4ax-5 =a(x+2)2-4a-5, 标轴相切时，m=一1+5或m= 6 ∴点G的坐标为(-2，-4a-5). 设抛物线C2上任意一点的坐标 6 3或m=1-5 -1-5或m-1+ 31 为(x1,y1),则点(x1,y)关于直线 8.解：(1)抛物线y=-x2+2mx+n y=-5的对称点坐标为 经过点(2,2m-3), (x1,-10-y1), .-22+2m×2+n=2m-3, .-10-y1=ax+4ax1-5. 整理，得n=-2m+1. .y1=-ax1-4ax1-5 (2)由(1)，得抛物线的解析式为 =-a(x1+2)2+4a-5. y=-x2+2mx-2m+1, ∴.抛物线C2的解析式为 令y=0,得-x2+2mx-2m+1=0, y=-a(x+2)2+4a-5. 解得x1=2m-1,x2=1. ∴.点H的坐标为(-2,4a-5). m<0, ∴.点G,H都在直线x=-2上 ∴.2m-1<m<0. .GH⊥x轴. ∴A(2m-1,0),B(1,0). 点A,B都在直线y=-5上， 抛物线y=-x2+2mx-2m+1中， XTPZK GZSX57课堂本参考答案 当x=0时，y=-2m+1>0, 由点M(m,0),G(0,-2)知 .C(0,-2m+1),它在y轴的正 半轴上. mL0cv-8-2, 如图，设△ABC的外接圆圆心为 如图，作MG的中垂线交MG于点 点M,则点M在线段AB的垂直 T,交y轴于点S,交x轴于点K, 平分线上，且BM=CM, 则点2m,-, X=714 tanLMKT=子m ∴.直线TS的表达式为 V=-m y-2--1 1 234X 当x=m时， 2 4 1 ∴.点M在抛物线的对称轴直线 2m x=2x-D=m上，BM=C. 点C的坐标为("”，-2) 设M(m,p),由勾股定理可得 由垂径定理知点C在FG的中垂 BM=(1-m)2+p2, 线上，.FG=2(yc-yc）=2× CM2=m2+(-2m+1-p)2, (-3+2)=3 .(1-m)2+p2=m2+(-2m+ 1-p)2, 四边形FGEC为平行四边形， 1-2m+m2+p2=m2+(-2m+ ..CE=FG=3=Yc-y6=-2-Y8, 1)2-2p(-2m+1)+p2, 7 （-2m+1)p=-m(-2m+1). 解得yg=- 2’ .-2m+1>0, ..p=-m. 即-子m-小=-子 ∴.M(m,-m). 且mn=-2. C,D是⊙M与y轴的两个交 m+n=±√6. 点，且-2m+1>-m, .点D与点C关于直线y=-m对 引（要引 称，且点D在直线y=-m的下方. 四、抛物线中的面积问题 .-2m+1-(-m)=-m+1, 1.解：(1)令y=0,即-x2-2x+3=0, -m-(-m+1)=-1. 解得x1=-3,x2=1. .点D的坐标为(0，-1). .A(-3,0),B(1,0) 9.解：存在，理由如下： 1 如图，对于y=(x-m)(x-n),当 Sax=7x2x4+2×(4+ x=0时，y=m=-2,即点G(0,-2), 3)x1-号×3x3=3 故答案为3. (2)设直线AP的解析式为 y=x+b(k≠0)， 将点A(-3,0),P(0,3)代入，得 -3k+b=0,解得 k=1, lb=3, b=3. 令y=0,∴.(x-m)(x-n)=0, 直线AP:y=x+3. 解得x=m或x=n. ①当点Q在直线AP上方时，过点 ∴.M(m,0),N(n,0), C作CQ∥AP,设直线CQ解析式 (,-(m-, 为yc0=x+n.将点C(-1,4)代 入得n=5, 对称轴为直线x=m+” 2 ..yco=x+5. 阅盟学堂XTPZK GZSX58课堂本参考答案 .当x+5=-x2-2x+3时， 解得x1=-1(舍去)，x2=-2. ∴.点Q的坐标为(-2,3)： ②当点Q在直线AP下方时，将直 线AP向下平移2个单位长度得 y=x+1, .当x+1=-x2-2x+3时， 科=仍34=四-3 2 g-3,-成 0-3,四- 2 综上所述，点Q的坐标为(-2,3) 或-3，-成 (-3,- (3)设过点Q且平行于AP的直 线的解析式为y=x+m, 点Q在第二象限， .当直线与抛物线只有一个交点 时，SaP%最大，即 x+m=-x2-2x+3,4=0. 21 m=4 成Q的坐标为(-，) 同1)可得8w受 2.（1)解：将点A(-2,5)代入二次 函数表达式，得5=-4+c, 解得c=9, 即二次函数的表达式为 y=-x2+9. (2)证明：令y=-x2+9=0, 则x=±3，则点B(3,0) 由点A,B的坐标，得直线AB的表 达式为y=-x+3. 设点P,Q,D的坐标分别为 (x1,-x+9),（x2,-x+9), (x1,-x1+3), 则Saw=2PD.(,-） =分(-云+9+斯-3)(-) =3(-云++6)， 同理可得S。=D(,-,)= (-云++6. 一这3器特慎为定血 3.解：(1)令y=0,得 S△BM的最大值为4. 7ar-(a-2x-4=0, (2}÷×(2)4 解得x,=-4 =2. .∴.a=±1. 又.a>0,∴.a=1. :抛物线)分 2-(a-2)x-4 当m=-2 =-2时， a 与轴的交点为-4叭，(2.0八 am2-(a-2)m-4=7×1× 1 抛物线开口向上，∴.a>0. (-2)2-(1-2)×(-2)-4=-4. -4<0<2 .M(-2,-4). 综上所述，M(-2,-4),a=1. 又点B在点C的左侧， 五、二次函数区间最值问题 -4.0c2.0. 基础知识点 (1)-3≤y≤12(2)-4≤y≤0 (2)如图，在AB下方的抛物线上 (3)-3≤y≤5 任取一点M,过点M作MN⊥x轴 1.解：(1)把点(-2，c)代入抛物线 交直线AB于点N,连接BM,AM, y=ax2+bx+c中， 得4a-2b+c=c, ∴.4a-2b=0. .b=2a (2)当c=-1时，y=ax2+bx-1, b=2a, ∴.y=ax2+2ax-1=a(x+1)2-a-1. 令x=0,得 当x=-1时，y=-a-1; 2a×0-(a-2)×0-4=y, 当x=-2时，y=-1; 当x=3时，y=15a-1. 解得y=-4. 分两种情况： A(0,-4), ①当a>0时，-a-1<-1<15a-1, 1)知-吾 ∴.抛物线y=ax2+bx+c在-2≤ x≤3中的最大值为15a-1. 设直线AB的解析式为y=kx+b, .∴.15a-1=a+2. ,0×k+b=-4, 「k=-a, 3 -吾+b=0 b=-4. ..a=14 ②当a<0时，在顶点处取最 ∴.直线AB的解析式为 大值， y=-ax-4. ∴.抛物线y=ax2+bx+c在-2≤ 设点m,7am2-a-2m-4小， x≤3中的最大值为-a-1. .-a-1=a+2. ∴.N(m,-am-4). 3 .∴.MN a=-2 =-am-4-[2am2-(a-2)m-4 综上所述a的值是名或-多 -am2-2m 2.解：(1)令x=0,则y=1, .A(0,1). ∴.S△ABM .y =ax2-3ax +1 =-m-2m儿0-(- eax-号+4-90 4 =-m2、4 a m 一抛物线的对称轴为直线x= 2 (2)y=aax2-3ax+1 当m2x()=-时， a 312 4-9a =a（x-2)+ 4 阅盟学堂XTPZK GZSX59课堂本参考答案 ·.抛物线顶点坐标为 34-9a 2,4 ①当a>0时，抛物线开口向上， “是-(-10>3-3， 3 .当x=-1时， y=a+3a+1=4a+1为最大值. 即4a+1=3,解得a=2 1 ②当a<0时，抛物线开口向下， 当=时y取最大值 .4-90=3, 4 解得a=-号 综上所述，a=或a=-8 3.解：(1)：抛物线G:y=ax2+bx+1 (a>0)经过点A(2,1), .1=4a+2b+1. ∴.b=-2a. (2)由(1)得y=ax2+bx+1=ax2- 2ax+1=a(x-1)2+1-a, ∴其对称轴为直线x=1,顶点为 B(1,1-a) 过点A作AM⊥L,垂足为M,且 MB=2AM, .1-(1-a)=2×(2-1). ∴.a=2. .y=2x2-4x+1. 当|m-1-1|>|m+1-1, 即m<1时，抛物线在x=m-1时 取得最大值2m2-8m+7; 当|m-1-1≤|m+1-1|,即 m≥1时，抛物线在x=m+1时取 得最大值2m2-1. 综上所述，抛物线G的最高点的 纵坐标为2m2-8m+7或2m2-1. 4.C 5.解：y=x2+mx-(m+1) 当x<0时，都有y随x的增大 而减小， -受≥0，即m≤0 y=-4-m-1=子m+2, yA≤0. 6.解：(1)抛物线G:y=ax2-2ax+ (2)由题意可得B(-2m-2,-2), a+1(a≠0)过点(4，-2 7 m<-1, .-2m-2>0, .16a-8a+a+1=-2’ 抛物线与y轴的交点的纵坐标 -2m+1>3. 解得a=-2 1 当x=-2m-2时， y=- ++号 .1 y=(-2m-2)2+2m(-2m-2)- 2m+1=2m+5, =-2(x-102+1 当点A,B分别在对称轴左侧时， 如图1， .顶点A的坐标为(1,1) (2)a=7<0, 当x>3时，y随x的增大而 减小. :对于t≤x1≤t+1,x2≥3时，均 有y1≥y2成立， .-1≤x1≤3. 图1 ≥-1，解得-1≤≤2 此时需要满足的条件为 t+1≤3， 【-m≥-2m-2, 7.解：(1)把点(2,2m-3)代入抛物 l2m+5<2, 线y=-x2+2mx+n,得 3 解得-2≤m<-2: -4+4m+n=2m-3, ∴.n=1-2m. 当点A,B分别在对称轴右侧时， 如图2， (2)依题意，得抛物线的对称轴为 直缓受 m-1<m, ∴.点G在抛物线对称轴的左侧. t>-3,y2>y1, ∴.点E一定也在抛物线对称轴的 左侧. 图2 取点G和点E关于抛物线对称轴 此时需要满足的条件为 的对称点G,E, 「-m<-2m-2, .G(m+1,y3),E'(2m+3,y1). l2m+5≤-2， 当点F在抛物线对称轴左侧时， 「m-1>4 解得m≤-子 解得m>5. 3≥-3， 综上所述，m的取值范围为 y3=-(m-1)2+2m(m-1)+ 1-2m=m2-2m=(m-1)2-1, m≤-子或-2m<-是 .y3>15; 六、抛物线与线段交点问题 当点F在抛物线对称轴右侧时， 1.情况1： m+13,解得子<m≤2 即4=(1-a)2-4a·4=0, l2m+3>4, 1 .-1≤y3≤0. .a=21 综上所述，y3的取值范围为 1 -1≤y3≤0或y3>15. y=+2+ 8.解：(1)y=x2+2mx-2m+1, ∴.抛物线对称轴为直线 此时抛物线顶点(-之，0)在线段 AB上. 情况2： 阅盟学堂XTPZK GZSX60课堂本参考答案 4a-1>0, 即 1 4a+2<0, 不等式组无解， 即此情况不存在. 情况3： .9 4a-1<0, 即 19 4a+2>0, 解得-8<a<号且a0 综上所述，-8<a<号且a≠0 或a=2 2.解：由点E(-1,-1),F(3,7)易 得直线EF的解析式为y=2x+1, 由=2x+1, y=x2-(m+1)x+2m+3, 得直线y=2x+1与抛物线y=x2- (m+1)x+2m+3的交点为 (2,5)和(m+1,2m+3), 点(2,5)在线段EF上，由已知 可得点(m+1,2m+3)不在线段 EF上，或点(m+1,2m+3)与点 (2,5)重合， .m+1<-1或m+1>3或 m+1=2. 可得抛物线顶点横坐标x顶点= 0<-或a>号或版=1 即抛物线顶点横坐标的取值范围 为x<-分或x>2或x=1 3.解：(1)在y=ax2+2ax-3a中， 令y=0,得ax2+2ax-3a=0, 解得x=-3或x=1. ∴.A(-3,0),B(1,0). (2).y=ax2+2a-3a =a(x+1)2-4a, ∴.抛物线y=ax2+2ax-3a的对 称轴为直线x=-1, 顶点坐标为(-1，-4a), 抛物线与y轴的交点为(0，-3a). ①当a>0时，-3a<0,-4a<0, ∴.抛物线y=ax2+2ax-3a与y 轴的交点在点D下方，顶点在直 线y=5下方，如图1， 图1 在y=ax2+2ax-3a中， 令x=-4,得y=16a-8a-3a=5a, C(-4,5), ∴.令5a=5,即a=1时抛物线过 点C. 由图可知，当a≥1时，二次函数 y=ax2+2ax-3a的图象与线段 CD只有一个交点； ②当a<0时，若顶点在线段CD 上，如图2， yA B 0 图2 此时-4a=5,解得a=-4 5 若顶点在直线y=5上方，即 -4a>5时，如图3， D B 0 图3 二次函数y=ax2+2ax-3a的 图象与线段CD只有一个交点，且 C(-4,5),D(0,5), 50<55解得a5-司 -3a25 此时满足-4a>5, a-骨 综上所述，二次函数y=ax2+2ax 3a的图象与线段CD只有一个交 点时，a的取值范围是a≥1或 a=-或a<- 4.解：(1)：点A(-2,0)在抛物线 y=aax2+bx-6a上， ∴.4a-2b-6a=0. .b=-a. 阅盟学堂 ..y ax2-ax-6a 此时，x=2, 4 4(m-2)2+1=-1, :点P的坐标为2，- /1 25a 解得m=2+2√2或m=2-2√2 4 (舍去) (2)a=1,b=-a, .y=x2-x-6. 综上所述，2≤m≤2+2√2. y=x2-x-6与x轴交于点 6.解：(1)将点(2，-1)代入 A(-2,0),B(3,0), y=+中，得 .新函数为 -1+2b=-1,解得b=0. 「x2-x-6(x≥3或x≤-2)， y={-2+x+6(-2<x<3). 抛物线C的解析式为=子 ①当直线y=-x+t过点B(3,0) 由平移可得抛物线C2的解析式 时，直线与新函数图象有3个不 同的交点。 为2=-子(x-m)2+m, 即-3+t=0,解得t=3; ∴.点E的坐标为(m,n). ②当直线y=-x+t与抛物线 (2).抛物线C2与坐标轴有且只 y=-x2+x+6(-2<x<3)有唯 有两个公共点， 一公共点时，直线与新函数的图 ∴.当抛物线不经过原点时，点E 象有3个不同的交点. 在x轴上，n=0; 即方程-x2+x+6=-x+t有两 1 个相等的实数根. 当抛物线经过原点时，n=4m 整理，得x2-2x+t-6=0. 综上所述，点E的纵坐标为n=0 .△=4-4(t-6)=0,解得t=7. ∴.t的取值范围为3≤t≤7. 或n- 4m2. 解：(1)当x1+x2=0时，y=, 七、二次函数与角 b 1.解：(1)由题意，得 =0,解得b=0. 2×（-4 b1, [a= 2a 3 (2)抛物线C2最大值和开口大小 解得{ 9a+3b+4=0, b= 8 不变，m只影响图象左右平移.下 3 面考虑满足题意的两种临界 ∴抛物线的表达式为 情形： ①当抛物线C2过点(0,0)时，如 y=++4 图1， (2)当点P在直线BC下方时，如 图所示， 支3678 图1 此时x=0y=-子m2+1=0, 设CP交x轴于点H(m,0), 解得m=2或m=-2(舍去)； , 当x=0时y=二3父+ ②当抛物线C2过点(2，-1)时， 3*+4=4, 如图2， .C(0,4) :∠PCB=∠ABC, .BH=CH,即(3-m)2=m2+16, 6456 解得8=一石 点日的坐标为(-石 图2 由点C,H的坐标，得直线CH的 XTPZK GZSX61课堂本参考答案 表达式为y=头+4， 联立上式和抛物线的表达式，得 +4=++4， 解得x=0(舍去)或x=-7 4 则点P的坐标为州-号罗》： 当点P(P')在直线BC上方时，如 图所示， :∠P'CB=∠ABC, ∴.CP'∥x轴. ∴点C,P'关于抛物线的对称轴对 称 则点P'的坐标为(2,4) 综上所述，点P的坐标为 (-号罗)或2,4). 2.解：存在，理由如下： 由抛物线的表达式知点D(0,-6), 由点A,B,D的坐标得AD=2/O, BD=35, 如图，过点A作AN⊥BD于点N, 则Sm=74B:00=号0：A, 即5×6=35AN,解得AN=2√5. 则sin LADN=A4N-25-2 AD2102' 即∠ADN=45°=∠MAB, 则直线AM的表达式为y=x+2或 y=-x-2. 联立=x-x-6, y=x+2, 或y=-x-6, ly=-x-2, 解得二4：或：=2（不合题 ly=6 ly=-4 意的值已舍去) 综上所述，点M的坐标为(4,6) 或(2，-4). 3.解：(1)依题意，得 {1-b+0=0,解得=2， 1-9+3b+c=0, lc=3. ∴.抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. 阅盟学堂 (2)存在.理由如下： 0C=0B=5, 易得抛物线y=-x2+2x+3的对 .△OCB为等腰直角三角形， 称轴是直线x=1, ∠0CB=45°. 当x=0时，y=3, 由勾股定理得CB=5,√2. .C(0,3). 由CE⊥BC,得∠BCE=90. 如图，点C关于对称轴的对应点 :∠AC0=∠PBC, P(2,3)符合要求. ∴.tan∠ACO=tan∠PBC, 时" .CE=2. :∠ECF=180°-∠BCE-∠OCB =45°， .△EFC是等腰直角三角形 ∴.FC=FE=1. .点E的坐标为(1,6). 设直线BC的解析式为 过点B,E的直线的解析式为 y=kx+3(≠0)， ∴.3k+3=0,解得k=-1. y=-3x+15 2x+2 .直线BC的解析式为y=-x+3. 315 设与BC平行的直线AP2的解析 令 [y=-2x+2 式为y=-x+m, y=-(x+1)(x-5), 则1+m=0,解得m=-1. x= ∴直线AP2的解析式为y=-x-1. x=5, 2 联立=~x-1, 解得 或 y=0 27 Y= y=-x2+2x+3, 4 西=4，西=1（舍去) 解得 点P的坐标为（分） y1=-5,ly2=0 .P2(4,-5). 5.解：由抛物线的表达式，得点 综上所述，点P的坐标为(2,3)或 A(0,-2), (4,-5). 由点A的坐标，得直线AB的表达 4.解：(1)二次函数的图象与x轴 交于A(-1,0),B(5,0)两点 武为是吃 .设二次函数的表达式为 如图所示，过点A作AN∥CB交抛 y=a(x+1)(x-5). 物线于点N,则LABC=∠BAN, :A0=1,m∠AC0=5 1 ∴.0C=5,即点C的坐标为(0,5) ∴.a(0+1)(0-5)=5,得a=-1. 二次函数的表达式为 y=-(x+1)(x-5). (2)如图，P是抛物线上的一点， 且在第一象限，当∠AC0= ,∠ABC= 2∠FAE. ∠PBC时， 连接PB,过点C作CE⊥BC交BP ∠BAN= 2∠FAE. 于点E,过点E作EF⊥OC于 .∠BAN=∠EAN. 点F, .直线AE与直线AB的斜率恰为 相反数 直线仙的表达式为y=号-2， ∴.直线AE的表达式为 B 2-2. XTPZK GZSX 62 课堂本参考答案