12.专题十二 分类讨论思想 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题十二 分类讨论思想 基础强化 1.直角三角形的两边长分别为3,4，则斜边长4.若点P在x轴上，与点M(2,0)的距离为1， 为 ! 则点P的坐标为 2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则此等5.如图，若⊙0的弦AB所对圆心角∠A0B= 腰三角形的顶角的度数为 60°，则弦AB所对的圆周角的度数为()】 3.已知等腰三角形的一条边长等于6，另一条边 长等于4，则此等腰三角形的周长是( A.16 B.14 C.16或14 D.16或12 A.30° B.60° : C.150° D.30°或150° 重点类型 类型工)相似三角形无明确对应关系 6.如图，点D在AB上，若点E在AC上，7.【变式】如图，在△ABC中，AB=12,AC=9,D ∠B=40°，∠C=70°，当以A,D,E为顶点的 是AC上一点，AD=6,在AB上取一点E,使 三角形与△ABC相似时，则∠ADE的度数 A,D,E三点组成的三角形与△ABC相似，则 为 AE= 类型2)等腰或直角三角形无明确边或角 8.如图，在△ABC中，∠A=120°，∠B=40°，如9.【变式】如图，已知∠A0N=30°，0A=6,点P 果过点A的一条直线I把△ABC分割成两个 是射线ON上一动点，当△AOP为等腰三角 等腰三角形，直线I与BC交于点D,那么 形时，则OP= ∠ADC的度数是 B 210阅盟学堂ZKSX 10.如图，已知抛物线y=-x2-2x+3与x轴：类型3与平行四边形有关的分类讨论 交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于11.已知平面内点A(1,3),B(-2,-1),则线 点C,设抛物线的对称轴与x轴交于点M. 段AB的中点G的坐标为 (1)在对称轴上是否存在点P,使△CMP为 等腰三角形？若存在，请求出所有符合 12.已知平面内点A(0,3),B(-2,-1),C(4,1), 条件的点P的坐标；若不存在，请说明 在平面内找一点D,使得以A,B,C,D四点 理由. 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有 (2)在对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为 符合条件的点D的坐标： 直角三角形？若存在，请求出所有符合 条件的点Q的坐标；若不存在，请说明 13.如图，抛物线y=x2-2x-3过点A(2,-3), 理由 且与x轴的交点坐标为B(-1,0).若点M 在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是 否存在以A,B,M,N为顶点的四边形是平 行四边形？若存在，直接写出所有符合条件 的点M的坐标；若不存在，请说明理由 M 小结：如图，若四边形ABCD是平行四边形，则 x+xc=xB+xp,ya +yc=yB+yD- ! yA D(xpYp) A(XV) C(xcve) B(xB-yB) 阅盟学堂ZKSX211 类型④与函数结合的分类讨论 14.抛物线y=-x2+2x+3的图象如图所示 15.【变式】如图，已知反比例函数y=的图象与直 (1)连接AC,BC,求△ABC的面积； (2)若抛物线上存在点C',使S AABC=SA4Bc, 线y=ax+b相交于点A(-2,3),B(1,m). 求点C的坐标 (1)求直线y=ax+b的表达式； (2)在x轴上有一点P,使得△PAB的面积 为18，求点P的坐标. 16.(2023·荆州)已知y关于x的函数y=(a-2)x2+(a+1)x+b与坐标轴有两个公共点，且 a=4b,则a的值是 方法总结： 1.分类讨论的主要情况： 2.分类讨论的一般步骤： (1)概念本身是分类定义的（如绝对值）； (1)明确需讨论的对象； (2)某些公式、定理、性质、法则是有条件和 (2)正确选择分类的标准，进行合理分类（统 范围限制的； 一标准，不重不漏)； (3)题目条件和结论的不唯一； (3)逐类讨论解决； (4)含有字母系数的问题，需对该字母的不 (4)归纳并做出结论. 同取值范围进行讨论； (5)图形的位置和形状不确定. 212阅盟学堂ZKSX 实战中考 17.定义一种新运算a*b=,0≥b则不等式(2x+1）)*(2-)>3的解集是 lb,a<b, A.x>1或x<3 1 B-1<x<号 C.x>1或x<-1 D.x>}或x<-1 18.已知一次函数y=x+b(k≠0)的图象过点(0,2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则 一次函数的解析式为 19.如图，直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上，PH=4cm,0为直线b上一动点，若以1cm为半径 的⊙0与直线a相切，则OP的长为 20.如图是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上一点，AE=5.现要剪下一张等腰 三角形纸片（△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长 为 D 21.(2022·番禺区模拟)如图，在△ABC中，AB=AC=5cm,BC=6cm,点P从点A出发，沿AB以 每秒1cm的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以相同的速度向点C运动，问：当 运动几秒后，△PBQ为直角三角形？ 阅盟学堂ZKSX213.∠ACG=45°. .AG=3BC=65,GF=√5BE. 又AB=AC,∠BAC=90°， ∴.CF+√3BE=CF+GF≥CG .∠B=∠ACB=45°. .∠ACG=∠B. 当点G,F,C共线时，CF+√3BE AF⊥DE, 最小，最小值为 .AF⊥AG CC=√HG2+HC .LCAG+∠FAC=90°. =√(93)2+32=67 又：∠BAF+∠FAC=90°， 6.100 ∴.LBAF=∠CAG 7.解：当四边形ABEF的面积最小 又：AB=AC, 时，CE+√3CF的值也最小 .△ABF≌△ACG(ASA). ..AF=AG. 如图1，设DF=x,则BE=√3DF=√5x, 又：AG=DE, DE=BD-BE=6√5-√3x. ∴AF=DE 作FN⊥BD于点N,作CQ⊥BD 4.解：如图，构造△AEG,使△AEG≌ 于点Q,作CP⊥AD于点P. △BDC,连接BG,作GH⊥BA的延 长线于点H, H 图1 :四边形ABCD是菱形， ∠BAD=120°， ∠ADC=60°，∠1=∠2=30°. CD=EG, ·.CD+BE=BE+EG≥BG. FN-2DF 当点B,E,G共线时，CD+BE最 .S四边形ABEP 小，最小值为BG SADAB SADFE :∠H=∠BAC,∠HGA=∠CAG= ∠ABC,AG=CB 26x33-1.1 2‘2t·(6,5-B ∴.△GHA≌△BAC(AAS). ∴.AH=AC=4,GH=AB=3. --3r+20<60 4 .'BH=AB +AH=7. 当x=3,S四边形ABEF取最小值为 .BG=√7+3=√58， 275此时P,E分别为AD,BD 即CD+BE的最小值为√58. 4 5.解：如图，构造△AFG,使△AFG∽ 的中点 △CEB.连接CG,作CH⊥GA的延 如图2，构造△BEI,使△BEI∽ 长线于点H. △DFC,连接CI. :BC=AC=6,∠A=30°， 图2 ∴.∠ABC=∠A=30°. BI IE BE ∴.∠ACH=60°，∠HAC=30° DC-CR=DR=3. ic=4C=3,AM=3, .IE=√3CF 器= ∴.BI=6√3，∠IBD=60°， LCBI=90°. 阅盟学堂XTPZK GZSX50课堂本参考答案 .:.CE+3CF=CE+IE≥IC 当点C,E,I共线时，CE+√3CF最 小，最小值为 1C=/(63)2+62=12. 此时，an∠10B=65=5. 6 .∠BCI=60°.即点1，A,E,C共线 即E为BD的中点，BE=33. 5DF=35,DF=3, 即F也为AD的中点， ∴.当四边形ABEF面积取得最小 值7，时，cB+3CP的值也取 得最小. 专题十二分类讨论思想 1.5或42.50或80°3.C 4.(1,0)或(3,0)5.D 6.40°或70°7.8或4.5 8.140°或80°9.6或23或63 10.解：(1)存在，如图， :抛物线解析式为y=-x2-2x+3, ·其对称轴为x=-二2=-1 -2 .C(0,3) .M(-1,0). 设点P的坐标为(-1，a), 则PM2=a2,CM2=(-1)2+32, CpP2=(-1)2+(3-a)2. 分类讨论： ①当PC=PM时， (-1)2+(3-a)2=a2, 解得a=号 点P的坐标为P(-1,》月 ②当MC=MP时， (-1)2+32=a2, 解得a=±√10， .点P的坐标为P2(-1,√10) 或P3(-1,-√10)； ③当CM=CP时， (-1)2+32=(-1)2+(3-a)2, 解得a=6或a=0(舍去)， ∴点P的坐标为P4(-1,6) 综上所述，存在符合条件的点 P,其坐标为(-1，√10)或 (-1,-√10)或(-1,6) 或(-1，) (2)存在，设点Q的坐标为(-1，b), .AC2=(-1)2+32,AQ=22+b2, QC2=(-1)2+(b-3)2. 分类讨论： ①当∠CQA=90°时，点Q的坐 标为Q(-1,1)或Q2(-1,2); ②当∠CAQ=90°时，点Q的坐 标为Q(-1,-号)月 ③当∠QCA=90°时，点Q的坐 标为Q.(-1,) 综上所述，存在符合条件的点 Q,其坐标为(-1,1)或(-1,2) 或(-1，)(1，》 (- 12.(6,5)或(2，-3)或(-6,1) 13.解：依题意，得抛物线的对称轴 为直线=品2品1 -2 A(2,-3),B(-1,0), 设N(1,n),M(m,m2-2m-3). 分类讨论： ①当AB与MN为对角线时，AB与 MN互相平分， 22-1)=2(m+10. .m=0.∴.M(0,-3); ②当AN与BM为对角线时，AW与 BM互相平分， 21+2)=2(m-1) .m=4..M(4,5); ③当AM与BN为对角线时，AM 与BN互相平分， 2(m+2)=21-10. m=-2.∴.M(-2,5). 综上所述，满足条件的点M的坐 标为(0，-3)或(4,5)或(-2,5). 14.解：(1)由抛物线y=-x2+2x+3 =(x+1)(-x+3)知C(0,3), A(-1,0),B(3,0), 阅盟学 Sm=7×4x3=6 19.3cm或5cm 20.52或45或5 (2)·△ABC与△ABC有公共 21.解：设运动x秒后，△PBQ为直 边AB, 角三角形. ∴，边AB上的高相等则面积 此时PB=5-x,BQ=x, 相等. y=3,y=±3 8号 令-x2+2x+3=3, 解得x1=0,x2=2, ①当∠BPQ=90时，5-x= 5 .C(0,3)或(2,3). 令-x2+2x+3=-3, 解得-受 解得x1=1+V7,x2=1-√万. 3 ②当LB0P=90时，5-x= .C(1+7,-3)或C(1-7,-3) 综上所述，点C'的坐标为(0,3) 解得x日 或(2,3)或(1+√7，-3) 综上所述，当运动日安受秒时， 或(1-7，-3). △PBQ为直角三角形 15.解：(1)将点A的坐标代入反比 例函数表达式，得 专题十三！ 阴影面积计算 k=-2×3=-6, 2 1.C2.4-π3.3m-5 故反比例函数表达式为y=- 4号m25m6没-9 7.4 将点B的坐标代入上式，得 m=-6, 故点B的坐标为(1，-6) 8誓9.5 将点A,B的坐标代入一次函数 10.解：依题意半圆的半径为2 表达式，得 .S阴影 f-2a+b=3, la+b=-6, 解得=-3， 1b=-3, =8X 902】 a 故直线y=ax+b的表达式为 360 2 y=-3x-3. Ta2 2 -a2. (2)设直线与x轴的交点为E,当 y=0时，x=-1,故点E(-1,0). 专题十四规律探究 如图，分别过点A,B作x轴的垂 1.11 2n+12.483.2-1 线AC,BD,垂足分别为C,D, 3.36(n+1)24.565.10132 6.B7.6n+68.199.B 10.411.C ( 13.22023 (22,-2×3) 14.A15.8097 73 16.100 则SAPB= PECA+PE RD 17.(2024,0) 18.(1,1) =PE+PE (√/202+√/202z,√2023-√/22m) 号s=18, 专题十五 阅读理解 1.202442.83.24.A 解得PE=4, 故点P的坐标为(3,0)或(-5,0) 5-分或好 16.2或0或- 6.解：(1)设S=1+2+22+…+ -17.C 2°，① 18.y=x+2或y=-x+2 则2S=2+22+23+…+210,② XTPZK GZSX51课堂本参考答案