16.专题十六 动态问题 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

②-①，得2S-S=20-1, 为2时，梯形ABCN的面积取最大 .S=1+2+22+…+29 值，最大值为10. =20-1. (3)解：∠B=∠AMN=90°， 故答案为210-1. ·.要使Rt△ABM∽Rt△AMN,必 (2)设S=3+32+33+…+ 324,① 须有品-心 则3S=32+32+3+…+32晒，② ②-①，得2S=32-3, (1)蜘兴-品品-怨 S=3205-3 .·.BM=MC. 2 ∴.当点M运动到BC的中点时， 7解：()-1<x<2 Rt△ABM∽Rt△AMN,此时x=2. 2.D (2)根据“同号两数相除，商为正， 3.解：(1)如图1，连接AC,交BD于 零除以任何不为零的数，商为零” 点0， 及“分式分母不为零”得 ①-1≥0或2 3x-1≤0， x+2>0, lx+2<0. 由①解得x≥3，由②解得x<-2. 图1 .原不等式的解集为x≥3或x<-2 在菱形ABCD中，AB=6, 8.B9.210 ∠ABC=60° 10.解：(1)换元 ∠AB0=30°，AC⊥BD,BD=20B. (2)设x2=y,那么原方程可化为 .B0=AB·c0s30°=3V3. y2-y-6=0, BD=6√3. 解得y1=3,y2=-2. (2)①△BEQ能为等腰三角形. 当y=3时，x2=3, 设点E,Q的运动时间为ts,依题 解得x=±√5； 意，得0≤t≤3， 当y=-2时，x2=-2,无解. 则BE=2t,DQ=√3t, 故原方程的解为x1=√5，x2=-√5. .BQ=BD-DQ=6√5-√5t. 专题十六动态问题 如图2，当BE=EQ时，过点E作 1.(1)证明：在正方形ABCD中， EH⊥BQ,垂足为H, ∠B=∠C=90°， D .AM⊥MW, ∴.∠AMN=90°. ∴.∠NMC+∠AMB=90°. 图2 在Rt△ABM中， ∠MAB+∠AMB=90°， 则m=80=36- ∴.∠MAB=∠NMC. ∴.Rt△ABM∽Rt△MCN. ·LCBD= 2∠ABC=30°， (2)解：：Rt△ABM∽Rt△MCN, 品微即4六 cos30°=明-5 BE 2 .CN=+4x 4 M:9e, ∴.y=S梯形BCN 即35-5=5，解得1=2： 2 =4 同理，当BQ=QE时， =+2+8 68-刷·2-2分 =-2x-2y2+10 解得：-（合去） .当点M运动到离点B的距离 当BE=BQ时，2t=65-√3t, 阅盟学堂XTPZK GZSX52课堂本参考答案 解得t=12√5-18. .当点E,Q的运动时间为2秒或 (12√3-18)秒时，△BEQ为等腰 三角形 ②设点E,Q的运动时间为ts,则 BE =2t,DQ=3t. 如图3，作AH⊥BC于点H,连接 AC交BD于点O, D 图3 则∠AHE=∠AOQ=90°， ∠2+∠3=30° ∠EAQ=30°. .∠1+∠2=30°. ∴.∠1=∠3 ∴.△AOQ∽△AHE. 易证△BAO≌△ABH, ..AH=B0. 器-m提-器 又0Q=35-√3t,HE=2t-3, 3二号解得1号 ∴.AE=√A㎡+HE =√32+(2x号-3 =621 5 40=9c=5.6va.6互 3 5 5 AE+A0=62T+6万 5 4.90°或180°或270° 5.解：(1)在三角板ABC中， ∠BAC=90°，AB=AC=6, .∠ACB=45. 在三角板DEF中，∠FDE=90°， DF=4,DE=45, ∴.EF=8,∠E=30°， ∴.∠EMC=45°-30°=15° 故答案为15. (2)由平移可知，∠ACF=∠E=30°， 在Rt△ACF中，AC=6, FC=-AC c0s300=43. (3)分三种情况讨论： ①如图4.当0≤x≤2时，设BC, FE交于点M,过点M作MG⊥AB 于点G, 设FG=m,则BG=MG=x+m, 在Rt△GFM中，MG=V3FG, 即x+m=3m, 整理得m=5+ 2t, 6=+3 2* 又设DE与BC交于点N,则 DN=BD=x+4. .y=SABDN-S△BFW -RD DN-Z BF:NG =x+4)2_3+32 2 =-+4+8: ②如图5，当2<x≤6-23时， 两块三角板重叠部分的面积 y SAABC -SABFM =4B·Ac-f,CM =7x6x6-分，3， 2x, 即y34+18 ③如图6，当6-25<x≤6时， BF=x,∴.AF=6-x, .AN=√3(6-x), ∴.两块三角板重叠部分的面积 y-AFAN 2 =9-68+18,g 综上所述，y与x的函数解析式为 (_5+12+4x+8(0≤x≤2)， 4 y= _5+3x+18(2<x≤6-25)， 4 2-6+186-25<e6 (注：第(3)题取值范围可以这样解： ①当点F与点B重合时，x=0, 当点D与点A重合时，x=2. “.第一段函数的取值范围在 0≤x≤2； ②当点M与点C重合时， AC=6,.AF=25, 阅盟学 得到BF=6-2√3， =3√2-2； .第二段函数的取值范围为 ②当A'B=BM时，如图3， 2<x≤6-2√3； ③当点F与点A重合时，x=6, “.第三段函数的取值范围为 6-25<x≤6) 6.D7.1+58.3 9.解：(1)90 图3 (2)当PA'⊥AB时，如图1所示， 此时△A'BM是等腰直角三角形， 连接OP,OA',则OP=OA',PA=PA 则△A'BA也是等腰直角三角形， .AM'=√A'02+A02=32; ③当A'B=A'M时，如图4，作A'D1 AB于点D, 图1 PA'⊥AB,AB为⊙0的直径， ∴.AP=AA'. .∠A'OP=2∠A'OD. ∴.AP=A'P=AA' 图4 ..△AA'P是等边三角形 同理0D=A'D=50A=32 ∴.∠PAA'=60. 21 .∴.∠A'0D=60° AD=0A+0D=3+32 2 A'D=0M'·sim60=33 2 .AA'=√A'D2+AD2 .AM'=A'P=2A'D=3√5. =3√2+2. (3)△A'BM能为等腰三角形 综上所述，△A'BM能为等腰三角 点M在直线AB的下方且将AB 形，此时AA'的长度为3√2或 平分， 3√2-√2或3√2+√2 ∴.∠B0M=90°. 分三种情况讨论： 专题十七二次函数压轴题拆分专练 ①当A'B=A'M时，如图2，延长 一、二次函数核心考点 A'O交BM于点C,作A'D⊥AB于 1y=++4 点D, 2.解：(1)把点(-1,4)，(2,1)分别 代入y=ax2+bx+1,得 a-6-4，解得a=1, l4a+2b+1=1, 1b=-2 .y=x2-2x+1. 图2 (2)点(0,1)，(2,1)在y=ax2+ A'B=A'M,OM=OB, bx+1的图象上， .A'C是线段BM的垂直平分线. ∴.抛物线的对称轴为直线 ∠B0C=7∠B0M=45 x=0+2=1. 2 =∠A'OA .当a>0,x<1时，y随x的增大 ∴.△A'OD是等腰直角三角形. 而减小； 0A'=0A=3, 当a<0,x>1时，y随x的增大而 0m=An=0r= 减小. 2 六AD=0A-0D=3-32 （3)由(2)得-元1， 21 .∴.b=-2a. ∴.AA'=√A'D2+AD ..y=ax2 +bx+1 ax2-2ax +1. 堂XTPZK GZSX53课堂本参考答案专题十六 动态问题 重点类型 类型)点动问题 1.例如图，正方形ABCD的边长为4，M,N分别是BC,CD上的两个动点，当点M在BC上运动 时，保持AM和MW垂直. (1)求证：Rt△ABM∽Rt△MCN; (2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式；点M运动到什么位置时， 梯形ABCN的面积最大？并求出最大面积. (3)点M运动到什么位置时有Rt△ABM∽Rt△AMN?并求此时x的值， 2.【变式】(2023·黄埔区模拟)如图，在边长为2的正方形ABCD中，点P从点A出发，沿A→B →C→D匀速运动到点D.若E是BC的中点，则△APE的面积y与点P运动的路程x之间形 成的函数关系图象是 0123456 0123456 0123456 0T1234563 A 公 D 3.(2024·白云区二模)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠ABC=60°. (1)连接BD,求BD的值. (2)点E以每秒2个单位长度的速度从点B出发沿BC向点C运动，同时点Q以每秒3个单 位长度的速度从点D出发沿DB向点B运动，当其中一点到达终点时，另外一点随之停止 运动. ①连接EQ,△BEQ能否为等腰三角形？如果能，求点E,Q的运动时间；如果不能，请说明 理由 ②连接AE,AQ,当∠EAQ=30时，求AE+AQ的值. B 备用图 阅盟学堂ZKSX221 类型2线动问题 4.(2023·江西)如图，在☐ABCD中，∠B=60°，BC=2AB,将AB绕点A逆时针旋转角α(0°<a< 360)得到AP,连接PC,PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为 D 类型3面动问题 5.例有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6;在三角板DEF中，∠FDE=90°， DF=4,DE=4√3.将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与 FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运 动到点A时停止运动. (1)如图2，当三角板DEF运动到点D与点A重合时，设EF与BC相交于点M,则 ∠EMC=; (2)如图3，在三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长； (3)在三角板DEF运动过程中，设BF=x,两块三角板重叠部分的面积为y,求y与x的函数 解析式，并求出对应x的取值范围. (D)A (B 图1 图2 图3 222阅盟学堂ZKSX 方法总结： 解决动态几何问题的关键是要善于运用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握图形运动与 变化的全过程，抓住变化中的不变，化动为静.具体做法是： (1)全面阅读题目，了解运动的方式与形式，全方位考察运动中变与不变的量及其位置关系； (2)运用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，化 动为静； (3)在各类“静态图形”中运用相关的知识和方法（如方程、相似等）进行探索，寻找各相关几何 量之间的关系，建立相应的数学模型进行求解。 实战中考 6.(2023·乐山)如图，在平面直角坐标系x0y中，直线y=-x-2与x轴、y轴分别交于A,B两 点，C,D是半径为1的⊙0上两动点，且CD=√2，P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动 时，△PAB面积的最大值是 () A.8 B.6 C.4 D.3 7.(2023·凉山)如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A,B分别在两条射线OM,ON上滑动， 若OM LON,则OC的最大值是 8.(2015·广州)如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3√3，AD=3,M,N分别为线段BC,AB 上的动点（含端点，但点M不与点B重合），E,F分别为DM,MWN的中点，则线段EF长度的最大 值为 阅盟学堂ZKSX223 9.如图，AB为⊙O的直径，OA=3,点M在直线AB的下方且将AB平分，动点P在⊙O上且位于直 线AB上方，连接OP,作点A关于直线P0的对称点A',连接OA' (1)当点A'与点B重合时，∠AOP=°； (2)当PA'⊥AB时，求AA'的长度； (3)△A'BM能否为等腰三角形？如果能，求出此时AA'的长度；如果不能，请说明理由. 0 M M M 备用图 备用图 224阅盟学堂ZKSX