11.专题十一 逆等线模型 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

80--5,r0=L0, AF=AB:如LABC=2×亨=瓦， .△PCD△ACP. .2EN+BN的最小值为2√5. 贸方m写H, 8.解：(1)抛物线Gy=ax2-2ax+a+1 子AP+BP=Pm+职 a0过减4，-》， 7 同(1)的方法得出了4P+BP的 16a-8a+a+1=-2 最小值为0=√4+(2 解得a=一分 1 .y=-2x2+x+2 6.(1)①8√/10②6√10(2)26 7.(1)证明：如图1，连接AN, 2x-102+1 D .顶点A的坐标为(1,1) (2):直线l:y=3x+1经过点 B(m,4), .√3m+1=4.解得m=√5， 图1 B(3,4). :四边形ABCD是菱形， 如图，过点B作x轴的平行线BK 1 ·∠ABD=LCBD=2LABC=30°， 交y轴于点K,过点H作y轴的平 行线交BK于点E,连接AE,过点 BA=BC. A作AF⊥BE于点F,交直线I于 又：BN=BN, 点H,设直线l交y轴于点L, .∴.△ABN≌△CBN(SAS). .AN=CN. STE F/ ,MW是AE的垂直平分线， 3 ∴.AN=EN. 2 ∴.EN=CN. (2)解：如图2，过点N作NF⊥BC 3-2-0 34 于点F,连接AN,AF, 2 D -4 -54 则∠BEH=∠BKL=90°，BK=3, B E K(0,4),L(0,1), 图2 .KL=4-1=3. ·∠DBC=30°， ÷NP=28N 六mL然-9 .∠BLK=30°. 由(1)得AN=EN, EH∥KL, .2E+BN -2(EN+BW)- .∠BHE=∠BLK=30° .EH=BH·cOs∠BHE 2(AN+NF)≥2AF. 当A,N,F三点共线时，AN+NF =BH·cas300=5BH 取得最小值，如图3，即AF⊥BC D :AM+冷M=AM+BI≥A≥A .当E,H,A三点共线，且AE⊥BK 时，AM+亭M的值最小 B(E)F AF=4-1=3, 图3 .在Rt△ABF中， ∴仙+班的最小值为3 阅盟学堂XTPZK GZSX49课堂本参考答案 9解(1：地物线y=-子+征+c 与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,点A坐标为(-1,0)，点B 坐标为(3,0). .抛物线的函数解析式为 y=-号(x+10(x-3) =2++2 (2)当x=0时， y++2=2. .点C坐标为(0,2). 设直线BC的解析式为y=kx+2, 将B(3,0)代入， 得3k+2=0, 解得k=一子， ∴.直线BC的解析式为 2 y=-3x+2, 设点P坐标为 (,-子++20<x<3), 点D坐标为(，子+2 ..2PD+PE -号+学+2+-2列+ 当x= 2×(-) g时。 2Pm+PE有最大值，最大值为亮 此时点P的坐标为8,32 1569 专题十一 逆等线模型解题策略 1.452.45 3.证明：如图，作EG∥AB,AG∥DE, 连接CG, B 则四边形ADEG是平行四边形. .EGLAD. .∠BAC=∠AEG=90°. .·AD=EC, ∴.EG=EC. .∠ACG=45°. .AG=3BC=65,GF=√5BE. 又AB=AC,∠BAC=90°， ∴.CF+√3BE=CF+GF≥CG .∠B=∠ACB=45°. .∠ACG=∠B. 当点G,F,C共线时，CF+√3BE AF⊥DE, 最小，最小值为 .AF⊥AG CC=√HG2+HC .LCAG+∠FAC=90°. =√(93)2+32=67 又：∠BAF+∠FAC=90°， 6.100 ∴.LBAF=∠CAG 7.解：当四边形ABEF的面积最小 又：AB=AC, 时，CE+√3CF的值也最小 .△ABF≌△ACG(ASA). ..AF=AG. 如图1，设DF=x,则BE=√3DF=√5x, 又：AG=DE, DE=BD-BE=6√5-√3x. ∴AF=DE 作FN⊥BD于点N,作CQ⊥BD 4.解：如图，构造△AEG,使△AEG≌ 于点Q,作CP⊥AD于点P. △BDC,连接BG,作GH⊥BA的延 长线于点H, H 图1 :四边形ABCD是菱形， ∠BAD=120°， ∠ADC=60°，∠1=∠2=30°. CD=EG, ·.CD+BE=BE+EG≥BG. FN-2DF 当点B,E,G共线时，CD+BE最 .S四边形ABEP 小，最小值为BG SADAB SADFE :∠H=∠BAC,∠HGA=∠CAG= ∠ABC,AG=CB 26x33-1.1 2‘2t·(6,5-B ∴.△GHA≌△BAC(AAS). ∴.AH=AC=4,GH=AB=3. --3r+20<60 4 .'BH=AB +AH=7. 当x=3,S四边形ABEF取最小值为 .BG=√7+3=√58， 275此时P,E分别为AD,BD 即CD+BE的最小值为√58. 4 5.解：如图，构造△AFG,使△AFG∽ 的中点 △CEB.连接CG,作CH⊥GA的延 如图2，构造△BEI,使△BEI∽ 长线于点H. △DFC,连接CI. :BC=AC=6,∠A=30°， 图2 ∴.∠ABC=∠A=30°. BI IE BE ∴.∠ACH=60°，∠HAC=30° DC-CR=DR=3. ic=4C=3,AM=3, .IE=√3CF 器= ∴.BI=6√3，∠IBD=60°， LCBI=90°. 阅盟学堂XTPZK GZSX50课堂本参考答案 .:.CE+3CF=CE+IE≥IC 当点C,E,I共线时，CE+√3CF最 小，最小值为 1C=/(63)2+62=12. 此时，an∠10B=65=5. 6 .∠BCI=60°.即点1，A,E,C共线 即E为BD的中点，BE=33. 5DF=35,DF=3, 即F也为AD的中点， ∴.当四边形ABEF面积取得最小 值7，时，cB+3CP的值也取 得最小. 专题十二分类讨论思想 1.5或42.50或80°3.C 4.(1,0)或(3,0)5.D 6.40°或70°7.8或4.5 8.140°或80°9.6或23或63 10.解：(1)存在，如图， :抛物线解析式为y=-x2-2x+3, ·其对称轴为x=-二2=-1 -2 .C(0,3) .M(-1,0). 设点P的坐标为(-1，a), 则PM2=a2,CM2=(-1)2+32, CpP2=(-1)2+(3-a)2. 分类讨论： ①当PC=PM时， (-1)2+(3-a)2=a2, 解得a=号 点P的坐标为P(-1,》月 ②当MC=MP时， (-1)2+32=a2, 解得a=±√10， .点P的坐标为P2(-1,√10) 或P3(-1,-√10)； ③当CM=CP时， (-1)2+32=(-1)2+(3-a)2,专题十一 逆等线模型 重点类型 策略工等线段转化 策略2】平移线段，将逆等线转化为共端点等 1.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分 线段 别是边BC,CD上的动点，且BE=CF,则BF+3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°， DE的最小值为 D,E分别是边AB,AC上的动点，且AD=EC, AF⊥DE.求证：AF=DE. 第1题图 第2题图 2.如图，已知正方形ABCD的边长为4，E,F分 别是边BC,CD上的动点，且CE=CF,则AF+ DE的最小值为 策略3全等搬家，动线段相连 策略④全等搬家+伸缩变换 4.(2022·增城区一模改编)如图，在Rt△ABC5.如图，在△ABC中，BC=AC=6,∠A=30°， 中，AB=3,AC=4,∠BAC=90°，D,E分别是 E,F分别是边AC,AB上的动点，AF=√3CE, 边AB,AC上的动点，且BD=AE,求CD+BE 求CF+3BE的最小值， 的最小值 208阅盟学堂ZKSX 实战中考 6.(2024·白云区二模)如图，在等腰△ABC中，AB=AC,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连 接DE,若AD=BC=CE=DE,则∠BAC= 0 B 7.(2022·广州)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6,连接BD,E,F分别是BD,AD上的 两个动点，且满足BE=√3DF,当四边形ABEF的面积取最小值时，CE+√3CF的值是否也最小？ 如果是，求它的最小值. 阅盟学堂ZKSX209