10.专题十 AB+K.CD型最值问题 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题十AB+k·CD型最值问题 基础强化 1.（2023·增城区模拟)如图，四边形ABCD是2.如图，AC是⊙0的直径，AC=4,弦BC=2,D 菱形，AB=4,且∠ABC=60°，M为对角线BD 是弦AB上一动点，那么0D+号BD的最小 (不含点B)上任意一点，则AM+?BM的最 值是 小值为 总结：求解AB+k·CD型最值问题基本策略：构造一条动线段Y=k·CD 重点类型 类型)胡不归模型 3.如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC,点A4.【变式】如图，在△ABC中，AB=AC=10, (0,2√2)，C(1,0),D为射线A0上一点，一动 tanA=2,BE⊥AC于点E,D是线段BE上的 点P从点A出发，运动路径为A→D→C,点P -个动点，则CD+5BD的最小值是( 在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使 V 整个运动时间最少，则点D A.2√5 的坐标应为 B.4W5 C.53 D.10 类型2】阿氏圆模型 5.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，CB=4,CA=6,P为⊙C上一动点，⊙C的半径为2，连接AP,BP. (1)求AP+2BP的最小值；(2)求号AP+BP的最小值 阅盟学堂ZKSX205 6.(1)【变式】如图1，在扇形OAB中，∠A0B=90°，OA=12,点C在0A上，AC=4,D是0B的中 点，E为弧AB上的动点， ①CE+2DE的最小值为 :②号CE+DE的最小值为 (2)如图2，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=OB=12,D是OB上一点，BD=2,E为弧AB上 的动点，C为OA的中点，则2CE+DE的最小值为 图 图2 实战中考 7.(2024·凉山州)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=2,E是边BC上一动点，连接AE,AE 的垂直平分线MW交AE于点M,交BD于点N,连接EN,CN (1)求证：EN=CN; (2)求2EN+BN的最小值 B E 206阅盟学堂ZKSX 8.(2023·从化区模拟)已知抛物线G:y=a2-2ax+a+1(a≠0)，且过点4，-) (1)求抛物线G的函数表达式及其顶点A的坐标； (2)直线y=3x+1经过点(m,4),点H在直线1上运动，求AH+H的最小值 如图，抛物线y=-了2+bx+c与x轴交于A,B两点，与y轴交 为(-1,0)，点B坐标为(3,0). (1)求此抛物线的函数解析式； (2)P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过点P作y轴 的垂线，垂足为E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点P的 坐标；若没有最大值，请说明理由. 阅盟学堂ZKSX207:△CAQ,和△CPQ是等边三} 8.29.B10.2211.6 角形， 12.解：(1)如图，连接DE, ∴.CA=CQ1,CP=CQ, D ∠ACQ1=∠PCQ. .∠PCA=∠QCQ. .△PCA≌△QCQ,(SAS). .∠CQQ=∠A=60°. 又，∠AQ,C=60°， ,∠QQ1B=60°. 依题意，得EB'=EB=1. ②当点P在线段Q,B上运动时， .动点B'在以点E为圆心，半径 如图2，连接QQ, 为1的⊙E上. 当点D,B',E共线时，DB'最小 DA=AB=4,BE=1, A(P) .AE=AB-BE =3. OP .DE=√32+42=5. 图2 ∴DB最小值=DE-EB=5-1=4. 同理可证△PCA≌△QCQ,(SAS), (2)如图，连接AC,过点E作EHL .∠QQ1B=60°. AC于点H, 综上所述，动点Q的运动路径为 Q1Q2(点Q2为点P与点B重合 则S阳边形ABCD=S△ADc+S△AC, 1 时的点Q), 由△PCA≌△QCQ,可知， ∴.当SAACE最小时，S四边形Bcm最小 Q1Q2=AB=6, 当点E,B',H共线时，S△Acg最小 即动点Q的运动路径长为6. 1o49 此时Sw=之4AC·B'H 11.(1)45(2)1 12.解：存在，如图，过点D作DM1 =×43-} AB于点M, =6-2√2. .S四边形8cm的最小值为14-22. 13.1.23≤S≤4 14.解：设AC=x,则BC=4-x △ACD,△BCE均为等腰直角 三角形， .AB=BC=6,BD=4, ∴.CD=2. ,6E94 CD= :∠ACD=45°，∠BCE=45°， ∴DF=2 ∴点F在以点D为圆心，DF为半 .∠DCE=90°. .DE2 CD2+CE2 径的圆上 .当点F在DM上时，S△Br最小 =+24-划2 BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°， =x2-4x+8 ∴.MD=23. =(x-2)2+4. .SAABF的最小值为 当x取2时，DE取最小值，最 3×625-2)=65-6 小值为2. 15.解：(1)y与x满足一次函数的 1 $数大做=2×2×35-(65-6) 关系， .设y=x+b. =-33+6. 将x=12,y=1200;x=13,y= 专题九最值问题 1100分别代入得 1.32.-43.B4.3 r12k+b=1200, 5.2≤PA≤86.327.√2+1 L13k+b=1100, 阅盟学堂XTPZK GZSX48课堂本参考答案 k=-100, 解得 b=2400. ∴y与x的函数关系式为 y=-100x+2400(12≤x<24). (2)设线上和线下月利润总和为 m元， :y=-100x+2400, ∴.m=400(x-2-10)+y(x-10) =400x-4800+(-100x+ 2400)(x-10) =-100(x-19)2+7300. .当x为19元/件时，线上和线 下月利润总和达到最大，此时的 最大利润为7300元. 16.D 1n.(号 (29 专题十AB+k·CD型最值问题 125253(0图4B 5.解：(1)如图1，在CB上截取CD=1, 连接CP,AD,PD. 图1 ·GP=CD1 CB-CP=2,∠PCB=LDCP, ∴.△CBP∽△CPD .PD=PC1 PB CB2 PDPB. PA+2BP=AP+PD≥AD 当点A,P,D共线时，AP+PD最小， 即AP+PB的最小值为D CD=1,AC=6,∠ACB=90°， AD=√+6=√37， 即AP+之PB的最小值为√。 (2)如图2，在c4上裁取c0=号 D外3 图2 80--5,r0=L0, AF=AB:如LABC=2×亨=瓦， .△PCD△ACP. .2EN+BN的最小值为2√5. 贸方m写H, 8.解：(1)抛物线Gy=ax2-2ax+a+1 子AP+BP=Pm+职 a0过减4，-》， 7 同(1)的方法得出了4P+BP的 16a-8a+a+1=-2 最小值为0=√4+(2 解得a=一分 1 .y=-2x2+x+2 6.(1)①8√/10②6√10(2)26 7.(1)证明：如图1，连接AN, 2x-102+1 D .顶点A的坐标为(1,1) (2):直线l:y=3x+1经过点 B(m,4), .√3m+1=4.解得m=√5， 图1 B(3,4). :四边形ABCD是菱形， 如图，过点B作x轴的平行线BK 1 ·∠ABD=LCBD=2LABC=30°， 交y轴于点K,过点H作y轴的平 行线交BK于点E,连接AE,过点 BA=BC. A作AF⊥BE于点F,交直线I于 又：BN=BN, 点H,设直线l交y轴于点L, .∴.△ABN≌△CBN(SAS). .AN=CN. STE F/ ,MW是AE的垂直平分线， 3 ∴.AN=EN. 2 ∴.EN=CN. (2)解：如图2，过点N作NF⊥BC 3-2-0 34 于点F,连接AN,AF, 2 D -4 -54 则∠BEH=∠BKL=90°，BK=3, B E K(0,4),L(0,1), 图2 .KL=4-1=3. ·∠DBC=30°， ÷NP=28N 六mL然-9 .∠BLK=30°. 由(1)得AN=EN, EH∥KL, .2E+BN -2(EN+BW)- .∠BHE=∠BLK=30° .EH=BH·cOs∠BHE 2(AN+NF)≥2AF. 当A,N,F三点共线时，AN+NF =BH·cas300=5BH 取得最小值，如图3，即AF⊥BC D :AM+冷M=AM+BI≥A≥A .当E,H,A三点共线，且AE⊥BK 时，AM+亭M的值最小 B(E)F AF=4-1=3, 图3 .在Rt△ABF中， ∴仙+班的最小值为3 阅盟学堂XTPZK GZSX49课堂本参考答案 9解(1：地物线y=-子+征+c 与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C,点A坐标为(-1,0)，点B 坐标为(3,0). .抛物线的函数解析式为 y=-号(x+10(x-3) =2++2 (2)当x=0时， y++2=2. .点C坐标为(0,2). 设直线BC的解析式为y=kx+2, 将B(3,0)代入， 得3k+2=0, 解得k=一子， ∴.直线BC的解析式为 2 y=-3x+2, 设点P坐标为 (,-子++20<x<3), 点D坐标为(，子+2 ..2PD+PE -号+学+2+-2列+ 当x= 2×(-) g时。 2Pm+PE有最大值，最大值为亮 此时点P的坐标为8,32 1569 专题十一 逆等线模型解题策略 1.452.45 3.证明：如图，作EG∥AB,AG∥DE, 连接CG, B 则四边形ADEG是平行四边形. .EGLAD. .∠BAC=∠AEG=90°. .·AD=EC, ∴.EG=EC.