9.专题九 最值问题 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题九 最值问题 知识结构 最值问题包括动点最值和函数最值，不少动 (8)同孤所对的圆内角大于圆周角，也大于圆 点问题既可用几何方法求解，也可转化为函 外角； 数最值问题来解。 (9)最大张角—米勒定理； 【求最值问题常用知识工具】： (10)瓜豆原理； (1)两，点之间线段最短； (11)费马点； (2)垂线段最短； (12)胡不归模型； (3)三角形两边之和大于第三边，两边之差小 (13)阿氏圆模型； 于第三边； 14已知y=am+bx+c(a≠0)，当x=名 (4)圆中最长弦是直径； (5)圆上动点与定点的最近（远）距离； 时，y最值 4ac-b2 (6)圆上的动，点到定直线的最近（远）距离； (7)将军饮马模型； (15)根的判别式 基础强化 1.二次函数y=-(x-1)2+3的最大值为2.二次函数y=x2-4x的最小值为 |! 重点类型 类型工两点之间线段最短 类型2垂线段最短 3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB4.(2022·南沙区模拟)如图，圆0半径为5，弦 上且BE=1,F为对角线AC上一动点，则 AB=8,M是弦AB上一动点，则线段OM的 △BFE周长的最小值为 最小值是 A.5 B.6 C.7 D.8 类型3圆上动点与定点最近（远）距离 类型④圆上的动点到定直线的最近（远） 5.如图，⊙0的半径为3，EF为直径，OA=5, 距离 P是⊙0上一动点，则PA的取值范围6.如图，已知⊙0的半径为5，AB=8,C为⊙0 是 上一动点，连接AC,BC,则△ABC面积的最 大值为 202阅盟学堂ZKSX 类型⑤三角形三边关系 7.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A,B8.如图，在正方形ABCD中，AB=8,AC与BD 分别在边OM,ON上，当点B在边ON上运 相交于点O,N是AO的中点，点M在边BC 动时，点A随之在边OM上运动，矩形ABCD 上，且BM=6.P为对角线BD上一点，则 的形状保持不变，其中AB=2,BC=1,运动 PM-PN的最大值为 过程中，点D到点O的最大距离为 (利用三角形三边关系求最值) M 类型6将军饮马模型 类型9)圆上动点与定点的最近（远）距离；圆 9.如图，A,B两个电话机离电话线1的距离分 上动点到定直线的最近（远）距离 别是3m,5m,CD=6m,若由l上一点分别 综合 向点A,B连线，最短为 12.如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E在AB A.11m 上，BE=1,F为边BC上一动点（不与点C B.10m 重合)，△BEF关于EF的轴对称图形为 C.9m △B'EF. D.8m (1)求DB'的最小值； (2)连接AB,CB',求四边形AB'CD面积的 类型几何体上最值问题转化为平面上最 最小值. 值问题 10.如图所示的圆柱体中底面圆的半径是2，高 为2，若一只小虫从点A出发沿着圆柱体的 侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路程是 .（结果保留根号) 类型8化归求解 11.如图，已知点4在反比例函数y=6的图象 上，且点A的横坐标为2.现将一个含30°角 的三角板的直角顶点与点A重合并绕点A 旋转，旋转时三角板的两直角边与x轴的交 点分别为B,C,则当 △ABC的面积最小时， BC= 阅盟学堂ZKSX203 类型10动点最值问题转化为函数最值问题 13.（2023·广州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,AC=6,M是边AC上一动点，D,E分别 是AB,MB的中点，当AM=2.4时，DE的长是 若点N在边BC上，且CN=AM,F,G 分别是MW,AN的中点，当AM>2.4时，四边形DEFG面积S的取值范围是 B 14.如图，线段AB的长为4，C为AB上一动点，分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直 角三角形ACD和BCE,连接DE,求DE长的最小值. D 类型11一次函数、二次函数最值问题 15.某商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售.调查发现，线 下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x<24)满足一次函数的关系，部分 数据如表所示。 (1)求y与x的函数关系式； (2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件.试问：当x为多少 时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润. x(元/件)1213141516 y(件)120011001000900800 实战中考 16.(2024·宜宾)如图，在△ABC中，AB=3√2，AC=2,以BC为边作Rt△BCD,BC=BD,点D与点 A在BC的两侧，则AD的最大值为 A.2+32 B.6+2√2 C.5 D.8 17.(2024·天河区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,E,F分别是边CD,BC上的动点， 且∠AFE=90°. (1)当BF=5时，tan∠FEC= (2)当∠AED最大时，DE的长为 204阅盟学堂ZKSX:△CAQ,和△CPQ是等边三} 8.29.B10.2211.6 角形， 12.解：(1)如图，连接DE, ∴.CA=CQ1,CP=CQ, D ∠ACQ1=∠PCQ. .∠PCA=∠QCQ. .△PCA≌△QCQ,(SAS). .∠CQQ=∠A=60°. 又，∠AQ,C=60°， ,∠QQ1B=60°. 依题意，得EB'=EB=1. ②当点P在线段Q,B上运动时， .动点B'在以点E为圆心，半径 如图2，连接QQ, 为1的⊙E上. 当点D,B',E共线时，DB'最小 DA=AB=4,BE=1, A(P) .AE=AB-BE =3. OP .DE=√32+42=5. 图2 ∴DB最小值=DE-EB=5-1=4. 同理可证△PCA≌△QCQ,(SAS), (2)如图，连接AC,过点E作EHL .∠QQ1B=60°. AC于点H, 综上所述，动点Q的运动路径为 Q1Q2(点Q2为点P与点B重合 则S阳边形ABCD=S△ADc+S△AC, 1 时的点Q), 由△PCA≌△QCQ,可知， ∴.当SAACE最小时，S四边形Bcm最小 Q1Q2=AB=6, 当点E,B',H共线时，S△Acg最小 即动点Q的运动路径长为6. 1o49 此时Sw=之4AC·B'H 11.(1)45(2)1 12.解：存在，如图，过点D作DM1 =×43-} AB于点M, =6-2√2. .S四边形8cm的最小值为14-22. 13.1.23≤S≤4 14.解：设AC=x,则BC=4-x △ACD,△BCE均为等腰直角 三角形， .AB=BC=6,BD=4, ∴.CD=2. ,6E94 CD= :∠ACD=45°，∠BCE=45°， ∴DF=2 ∴点F在以点D为圆心，DF为半 .∠DCE=90°. .DE2 CD2+CE2 径的圆上 .当点F在DM上时，S△Br最小 =+24-划2 BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°， =x2-4x+8 ∴.MD=23. =(x-2)2+4. .SAABF的最小值为 当x取2时，DE取最小值，最 3×625-2)=65-6 小值为2. 15.解：(1)y与x满足一次函数的 1 $数大做=2×2×35-(65-6) 关系， .设y=x+b. =-33+6. 将x=12,y=1200;x=13,y= 专题九最值问题 1100分别代入得 1.32.-43.B4.3 r12k+b=1200, 5.2≤PA≤86.327.√2+1 L13k+b=1100, 阅盟学堂XTPZK GZSX48课堂本参考答案 k=-100, 解得 b=2400. ∴y与x的函数关系式为 y=-100x+2400(12≤x<24). (2)设线上和线下月利润总和为 m元， :y=-100x+2400, ∴.m=400(x-2-10)+y(x-10) =400x-4800+(-100x+ 2400)(x-10) =-100(x-19)2+7300. .当x为19元/件时，线上和线 下月利润总和达到最大，此时的 最大利润为7300元. 16.D 1n.(号 (29 专题十AB+k·CD型最值问题 125253(0图4B 5.解：(1)如图1，在CB上截取CD=1, 连接CP,AD,PD. 图1 ·GP=CD1 CB-CP=2,∠PCB=LDCP, ∴.△CBP∽△CPD .PD=PC1 PB CB2 PDPB. PA+2BP=AP+PD≥AD 当点A,P,D共线时，AP+PD最小， 即AP+PB的最小值为D CD=1,AC=6,∠ACB=90°， AD=√+6=√37， 即AP+之PB的最小值为√。 (2)如图2，在c4上裁取c0=号 D外3 图2