8.专题八 动点轨迹、路径长问题 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

的高最大，SAcc最大 即动点M的运动路径为△ABC的 如图，过点G作GH⊥BC于点H. 中位线 则GH过圆心O,即过正方形中 “点M所经过的路线长为24B=1 心0. .GH =OH+0G 故答案为1. (2)如图，作△ABC的中位线1.作 点A关于直线l的对称点A',连 Saer=SAec=2CH·BC 接AA'交直线I于点D,连接A'B 交直线I于点M'. =4(1+2)AB 由(1)知点M在直线l上， MA MB=MA'+MB, =21+152 ∴.当点M运动至直线l与A'B的 4 交点M'时，MA+MB取得最小值. 此时，∠AGB=45°，∠ABE=22.5. ∠A'DM'=∠A'AB=90°， 如图，在AB上截取AP=AE=x. .在Rt△AA'B中， 连接PE,得PB=PE=√2x, M'A+M'B=A'B=√AA2+AB AB=√5+6， =√12+22=√5. ∴√5+√6-x=2x解得x=√5. 故答案为√5. SǎBa最大值为21+152 3.224.√41 4 5.（1)证明：：AD,B1分别平分 此时AE=5. ∠BAC,∠ABC, 专题八动点轨迹、路径长问题 ∴∠ABI=∠IBC, 1.解：如图，作⊙0，OD⊥AB于点D, ∠BAD=∠DAC=∠DBC=∠DCB. 连接OA,OB. .BD CD .·∠BID=∠BAD+∠ABI, 120°D4 ∠IBD=∠IBC+∠DBC, ∴.∠BID=∠IBD. .DB =DI=DC. ∠ACB=120°， (2)解：∠BAC=120°， .∠A0B=120. .∠BDC=60° OD⊥AB, 如图，将△ADC绕点D逆时针旋 六LA0D=2∠A0B=60， 转60°到△CDB位置. AD=24B-2. 04=45 3 D 120m×43 383π :∠ABD+∠ACD=180°， .l = 180 91 ∠C'BD=∠ACD. 2.解：(1)如图，连接0M,0C,MC, ∴.∠ABD+∠C'BD=180° B 点A,B,C共线。 AD=DC,∠ADC'=60°， ∴.△ADC是等边三角形. .S四边形ABDC=SAARD+SAADG =SAABD+S△DBC ∠POQ=∠ACB=90°，M为PQ 的中点， .oMC-P. 当AD为直径时，S四边形BDc最大， .点M在OC的中垂线上， 最大值为9×20=10，(cm). 阅盟学堂XTPZK GZSX47课堂本参考答案 (3)解：由(1)得DB=DI=DC .动点I运动路径为以点D为圆 心，以DB为半径的圆弧. 由(2)得∠BDC=60°， .动点I的运动路径长为 60m×10_10元 180 3 m. 6.解：如图，连接AC,将△ACE绕点 A顺时针旋转60°得到△ABR,连 接RE, R 则△AER是等边三角形 EA2 EB2 +EC2,EA RE, EC=RB, .RE2 RB2 +EB2. ∴.∠EBR=90. .∠RAE+∠RBE=150°. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB =210°. .∠BEC=150 .点E的运动轨迹在以点0为圆 心的圆上 如图，在⊙O上取一点K,连接 KB,KC,OB,OC, .·∠K+∠BEC=180°， .∠K=30°，∠B0C=60°. ·0B=0C, ∴.△OBC是等边三角形. ∴.OB=0C=BC=1. ∴.点E的运动路径的长度为 01-号 180 7.(1)3(2)3 8.2m3 9.解：：∠ACB=90°，∠B=30°， .∠A=60°. 动点P在边AB上运动，且以 CP为边向右侧作等边△PCQ, ∴当点P与点A重合时，点Q为边 AB的中点，分别记作点P1,Q1: ①当点P在线段AQ1上运动时， 如图1，连接QQ1, A(P】 B 图1 :△CAQ,和△CPQ是等边三} 8.29.B10.2211.6 角形， 12.解：(1)如图，连接DE, ∴.CA=CQ1,CP=CQ, D ∠ACQ1=∠PCQ. .∠PCA=∠QCQ. .△PCA≌△QCQ,(SAS). .∠CQQ=∠A=60°. 又，∠AQ,C=60°， ,∠QQ1B=60°. 依题意，得EB'=EB=1. ②当点P在线段Q,B上运动时， .动点B'在以点E为圆心，半径 如图2，连接QQ, 为1的⊙E上. 当点D,B',E共线时，DB'最小 DA=AB=4,BE=1, A(P) .AE=AB-BE =3. OP .DE=√32+42=5. 图2 ∴DB最小值=DE-EB=5-1=4. 同理可证△PCA≌△QCQ,(SAS), (2)如图，连接AC,过点E作EHL .∠QQ1B=60°. AC于点H, 综上所述，动点Q的运动路径为 Q1Q2(点Q2为点P与点B重合 则S阳边形ABCD=S△ADc+S△AC, 1 时的点Q), 由△PCA≌△QCQ,可知， ∴.当SAACE最小时，S四边形Bcm最小 Q1Q2=AB=6, 当点E,B',H共线时，S△Acg最小 即动点Q的运动路径长为6. 1o49 此时Sw=之4AC·B'H 11.(1)45(2)1 12.解：存在，如图，过点D作DM1 =×43-} AB于点M, =6-2√2. .S四边形8cm的最小值为14-22. 13.1.23≤S≤4 14.解：设AC=x,则BC=4-x △ACD,△BCE均为等腰直角 三角形， .AB=BC=6,BD=4, ∴.CD=2. ,6E94 CD= :∠ACD=45°，∠BCE=45°， ∴DF=2 ∴点F在以点D为圆心，DF为半 .∠DCE=90°. .DE2 CD2+CE2 径的圆上 .当点F在DM上时，S△Br最小 =+24-划2 BD=4,DM⊥AB,∠ABC=60°， =x2-4x+8 ∴.MD=23. =(x-2)2+4. .SAABF的最小值为 当x取2时，DE取最小值，最 3×625-2)=65-6 小值为2. 15.解：(1)y与x满足一次函数的 1 $数大做=2×2×35-(65-6) 关系， .设y=x+b. =-33+6. 将x=12,y=1200;x=13,y= 专题九最值问题 1100分别代入得 1.32.-43.B4.3 r12k+b=1200, 5.2≤PA≤86.327.√2+1 L13k+b=1100, 阅盟学堂XTPZK GZSX48课堂本参考答案 k=-100, 解得 b=2400. ∴y与x的函数关系式为 y=-100x+2400(12≤x<24). (2)设线上和线下月利润总和为 m元， :y=-100x+2400, ∴.m=400(x-2-10)+y(x-10) =400x-4800+(-100x+ 2400)(x-10) =-100(x-19)2+7300. .当x为19元/件时，线上和线 下月利润总和达到最大，此时的 最大利润为7300元. 16.D 1n.(号 (29 专题十AB+k·CD型最值问题 125253(0图4B 5.解：(1)如图1，在CB上截取CD=1, 连接CP,AD,PD. 图1 ·GP=CD1 CB-CP=2,∠PCB=LDCP, ∴.△CBP∽△CPD .PD=PC1 PB CB2 PDPB. PA+2BP=AP+PD≥AD 当点A,P,D共线时，AP+PD最小， 即AP+PB的最小值为D CD=1,AC=6,∠ACB=90°， AD=√+6=√37， 即AP+之PB的最小值为√。 (2)如图2，在c4上裁取c0=号 D外3 图2专题八动点轨迹、路径长问题 基础强化 点拨： 1.如图，AB=4,∠C=120°，求AB的长 (1)求动点路径长以及最值第一步是弄清动点 的运动轨迹； 120° (2)找到动，点的轨迹的方法：动静结合，挖掘动 点和相关定点、定直线、定圆之间的联系， 抓住运动过程中的不变量. 重点类型 类型工)到定线段两端点距离相等的动点轨迹是定线段的垂直平分线 2.如图，在等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为边AC上的动点，0Q LOP 交BC于点Q,M为PQ的中点 (1)当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为 (2)连接MA,MB,则MA+MB的最小值为 198阅盟学堂ZKSX 类型2到定角两边距离相等的动点轨迹是 类型3到定直线距离相等的动点轨迹是平 定角的平分线 行于定直线的两条直线 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,4.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3,动点 BC=5,D是边BC上一点，且CD=1,P是线 段DB上一动点，连接AP,以AP为斜边在 P清足Sw=子S,则点P到A,B两点 AP的下方作等腰Rt△AOP,当点P从点D 距离之和PA+PB的最小值为 出发运动到点B停止时，点O的运动路径长 为 D 类型④到定点距离相等的动点轨迹是圆 类型5定边对定角（不是零度或平角）的动 5.如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC与 点轨迹是圆弧 ∠ABC的平分线相交于点I,延长AI交圆06.(2018·广州)如图，在四边形ABCD中， 于点D,连接BD,DC. ∠B=60°，∠D=30°，AB=BC.若AB=1,点 (1)求证：BD=DC=D; E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2= (2)若圆0的半径为10cm,∠BAC=120°， BE2+CE2,求点E运动路径的长度， 求四边形ABDC面积的最大值； D (3)若点A在弧BC上运动，∠BAC=120°， BD=10,求动点I的运动路径长 阅盟学堂ZKSX199 类型6主动、从动（瓜豆原理） 7.如图，已知线段AB=6,P是AB上的动点，在8.如图，以点O为圆心，1为半径的圆上有一动 AB的同侧分别以AP,PB为斜边作等腰直角 点B,A是圆外一点，A0=2,△ABC是以线段 三角形APC和BPD,连接CD. AB为边所作的等边三角形，连接OC,当点B (1)CD的最小值为 在圆O上运动一周时，则点C走过的路径长 (2)G为线段CD的中点，当点P由点A移动到 为 ,OC的最大值是 点B时，点G移动的路径长度为 D 0 9.如图，AB=6,∠ACB=90°，∠B=30°，P是△ABC边AB上一动点，连接CP,以CP为边向右侧 作等边△PCQ,求点P从点A运动到点B时，动点Q的运动路径长. 200阅盟学堂ZKSX 类型⑦解析法求动点运动路径 10.(2024·江苏)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC上，过点P作PD⊥AB, 垂足为D,过点D作DF⊥BC,垂足为F.连接PF,取PF的中点E.在点P从点A到点C的运 动过程中，点E所经过的路径长为 实战中考 11.(2024·江苏)如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2√3，E,F分别是线段AD,BC上的动点，且 AE=CF,过点D作EF的垂线，垂足为H,连接CH. (1)当AE=√3-1时，∠BFE= (2)当点E在AD上运动时，CH的最小值为 H F C 12.(2019·广州)如图，在等边△ABC中，AB=6,点D在BC上，BD=4,E为边AC上一动点（不与 点C重合)，△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE.设△ACD的面积为S1,△ABF的面积为 S2,记S=S1-S2,S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由. 阅盟学堂ZKSX201