7.专题七 隐圆与四点共圆问题 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

由对称性质可得 P'A=AP"=PA=(37-33)km CADEF=DE+DF+EF .∠AP'E=∠AP"F=30. =DE +DF EF", ·.·P'P"=2PA·cos∠AP'E=√J3PA .当F,D,E,F"四点共线时， =(3√/2i-9)(km), CADEF FF". ∴.△PEF周长的最小值为 ∠ABC=45°， ∴.∠FBF"=90° (3√/21-9)km. △BFF"是等腰直角三角形. 故答案为(3/21-9) 当BF最小时，FF"最小，此时 专题七隐圆与四点共圆 BF⊥AC. ∠A=60°，AB=4√2， 1.v vV 2G 3.5 ∴.BF=26. 4.65.7-26.5-1 CADER FFW=4 7.解：∠ADE=∠ABE=90°， A,D,B,E四点共圆，AE为四点 即△DEF周长的最小值为43. 所在圆的直径， 10.B 又：△ABC为等腰直角三角形， 11.解：如图，假设点P即为所求，分 .∠AED=∠ABD=45° 别作点P关于AB,AC的对称点 ∴.△DAE为等腰直角三角形 P',P",连接P'P",分别交AB,AC 于点E,F,连接PA,PA,PE,PF, ∴.AE=2AD=2√2. 8.解：如图，连接BD, P D AD∥BC, ∴.∠ADC=180°-∠C=135°. 又∠ABE=45°， ∴.∠ABE+∠ADE=180° 由对称性可知， ∴A,D,E,B四点共圆. PE +EF +PF P'E +EF FP" 又AB=AE, =P'p", ∴.△ABE是等腰直角三角形 且点P',E,F,P在一条直线上， ∴.∠ADB=∠AEB=45°=∠C. .P'p"即为最短距离，其长度取 ∠BAD+∠BED=180°， 决于PA的长度 ∠BEC+∠BED=180°， 如图，连接BC,作出BC的圆心 ∴.∠BAD=∠BEC. .:.△ABD∽△EBC 0,连接A0,与BC交于点P,点 AD AB2 P即为使PA最短的点， EC EB 2 AB=6 km,AC=3 km, ∴.CE=√2AD=150W2(米). ∠BAC=60°， 9.证明：(1)：FG⊥AF, ∴.△ABC是直角三角形， ∴.∠AFG=90° ∠ABC=30°，BC=3√5km 四边形ABCD是正方形， :BC所对的圆心角为60°， .∠ABC=90°，∠DBC=45° .△OBC是等边三角形， A,B,G,F四点共圆. ∠CB0=60°，B0=BC=3√3km. .∠AB0=90° .A0=√AB+B0=3√7(km). .PA=(3√万-33)km .∠P'AE=∠EAP,LPAF=∠FAP B .∴.∠EAG=∠DBC=45° .∠P'AP"=2∠BAC=120°， 阅盟学堂XTPZK GZSX46课堂本参考答案 ∴.△AFG是等腰直角三角形， (2).∠EAG=45 .四边形ABCD是正方形 ∴.∠EAG=∠DBC=∠ABD=45. A,B,G,F四点共圆. ∴.∠AGF=∠ABD=45 .∴.∠AFG=180°-45°-45°=90. .FG⊥AF 10.2m+211.22+122-1 12.(1)证明：.四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=90. ∠ABE=15°， ∴.∠EBC=75° :BF,BC关于BE对称， .BF=BC,∠FBE=∠EBC=75. .BF=BC=BA, ∠FBA=∠FBE-∠ABE=60° ∴.△ABF为等边三角形 (2)解：①△BGF能为等腰三角形. 点E不与点A,D重合， .只能FG=BG. .∠F=∠BAF=∠FBG, .△BAFM△GBF. 设∠FGB=a,LGFB=B. 在△BAF中，a+2B=180°. 由∠GBC=∠GBF,得 a+90°-B=B. 由a+28=180, l+90°-B=B, 解得a=45, lB=67.5. ∴.∠ABE=90°-67.5°=22.5°. ②如图，作BM⊥AF于点M,连接 CG,作BN⊥CG于点N, .∠FMB=∠CNB,∠F=∠BCN, FB=CB, ∴.△FMB≌△CNB(AAS). 又，BF=BA, .∠FBM=∠ABM=∠CBN. .∴.∠MBN=∠ABM+∠ABW =∠CBN+∠ABN =90°. ∴.∠AGC=90°. .A,B,C,D,G五点共圆. .·△GBF≌△GBC, ∴.当G为AD的中点时，边BC上 的高最大，SAcc最大 即动点M的运动路径为△ABC的 如图，过点G作GH⊥BC于点H. 中位线 则GH过圆心O,即过正方形中 “点M所经过的路线长为24B=1 心0. .GH =OH+0G 故答案为1. (2)如图，作△ABC的中位线1.作 点A关于直线l的对称点A',连 Saer=SAec=2CH·BC 接AA'交直线I于点D,连接A'B 交直线I于点M'. =4(1+2)AB 由(1)知点M在直线l上， MA MB=MA'+MB, =21+152 ∴.当点M运动至直线l与A'B的 4 交点M'时，MA+MB取得最小值. 此时，∠AGB=45°，∠ABE=22.5. ∠A'DM'=∠A'AB=90°， 如图，在AB上截取AP=AE=x. .在Rt△AA'B中， 连接PE,得PB=PE=√2x, M'A+M'B=A'B=√AA2+AB AB=√5+6， =√12+22=√5. ∴√5+√6-x=2x解得x=√5. 故答案为√5. SǎBa最大值为21+152 3.224.√41 4 5.（1)证明：：AD,B1分别平分 此时AE=5. ∠BAC,∠ABC, 专题八动点轨迹、路径长问题 ∴∠ABI=∠IBC, 1.解：如图，作⊙0，OD⊥AB于点D, ∠BAD=∠DAC=∠DBC=∠DCB. 连接OA,OB. .BD CD .·∠BID=∠BAD+∠ABI, 120°D4 ∠IBD=∠IBC+∠DBC, ∴.∠BID=∠IBD. .DB =DI=DC. ∠ACB=120°， (2)解：∠BAC=120°， .∠A0B=120. .∠BDC=60° OD⊥AB, 如图，将△ADC绕点D逆时针旋 六LA0D=2∠A0B=60， 转60°到△CDB位置. AD=24B-2. 04=45 3 D 120m×43 383π :∠ABD+∠ACD=180°， .l = 180 91 ∠C'BD=∠ACD. 2.解：(1)如图，连接0M,0C,MC, ∴.∠ABD+∠C'BD=180° B 点A,B,C共线。 AD=DC,∠ADC'=60°， ∴.△ADC是等边三角形. .S四边形ABDC=SAARD+SAADG =SAABD+S△DBC ∠POQ=∠ACB=90°，M为PQ 的中点， .oMC-P. 当AD为直径时，S四边形BDc最大， .点M在OC的中垂线上， 最大值为9×20=10，(cm). 阅盟学堂XTPZK GZSX47课堂本参考答案 (3)解：由(1)得DB=DI=DC .动点I运动路径为以点D为圆 心，以DB为半径的圆弧. 由(2)得∠BDC=60°， .动点I的运动路径长为 60m×10_10元 180 3 m. 6.解：如图，连接AC,将△ACE绕点 A顺时针旋转60°得到△ABR,连 接RE, R 则△AER是等边三角形 EA2 EB2 +EC2,EA RE, EC=RB, .RE2 RB2 +EB2. ∴.∠EBR=90. .∠RAE+∠RBE=150°. .∠ARB+∠AEB=∠AEC+∠AEB =210°. .∠BEC=150 .点E的运动轨迹在以点0为圆 心的圆上 如图，在⊙O上取一点K,连接 KB,KC,OB,OC, .·∠K+∠BEC=180°， .∠K=30°，∠B0C=60°. ·0B=0C, ∴.△OBC是等边三角形. ∴.OB=0C=BC=1. ∴.点E的运动路径的长度为 01-号 180 7.(1)3(2)3 8.2m3 9.解：：∠ACB=90°，∠B=30°， .∠A=60°. 动点P在边AB上运动，且以 CP为边向右侧作等边△PCQ, ∴当点P与点A重合时，点Q为边 AB的中点，分别记作点P1,Q1: ①当点P在线段AQ1上运动时， 如图1，连接QQ1, A(P】 B 图1专题七 隐圆与四点共圆问题 知识结构 定理工)到定点距离相等的各点共圆 定理2同斜边的两个直角三角形的顶点 几何语言：如图， 共圆 .0A=OB=OC=OD, 几何语言：如图， A,B,C,D四，点共圆. .·∠B=∠D=90°， .A,B,C,D四点共圆. 证明提示：取斜边中点，连接OD,OB. 定理3对角互补的四边形的顶点共圆 定理④若两点在一条线段的同侧，且和这条线 几何语言：如图， 段的两个端点的连线的夹角相等，那么 ∠A+∠C=180°， 这两个点和线段的两个端点共圆 .A,B,C,D四点共圆 几何语言：如图， ∠C=∠D, ∴A,B,C,D四点共圆. 推论：A,B是两定点，C是平面内的动点，且 ∠C是定值，则动点C的运动轨迹是孤线. (特别地，A,B是两定点，C是平面内的动点，且 ∠C=90°，则动点C的运动轨迹是半圆) 基础强化 1.判断： 2.如图，OA=OB=OC且∠ACB=30°，则 矩形四个顶点共圆. ( ∠AOB的大小是 菱形四边中点共圆. ( A.40° 等腰梯形四个顶点共圆。 B.50° C.60° D.70° 重点类型 类型动点到定点定长 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=4.如图，已知正方形ABCD和Rt△AEF,AB=5, 8,点F在边AC上，并且CF=2,点E为边BC AE=AF=4,连接BF,DE.若△AEF绕点A 上的一动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C 旋转，当LABF最大时，S△ADE= 落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是 阅盟学堂ZKSX195 类型2)定弦定角 类型390°圆周角所对的弧为半圆，所对的 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3, 弦为直径 BC=√3，点P在Rt△ABC内部，且∠PAB=6.如图，在Rt△ABC中，BC=AC=2,点M在 ∠PBC,连接CP,则CP的最 AC上运动，连接BM,以CM为直径的⊙O交 小值等于 BM于点N,则线段AN的最小值为 类型④共斜边的直角三角形的四顶点共圆 类型5对角互补的四边形的顶点共圆 7.如图，若D为等腰直角三角形ABC的边BC8.(2024·白云区模拟)如图，四边形ABCD是 上一点，且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2,求AE 赵叔叔家的果园平面示意图，点E为果园的 的长 一个出入口（点E在边CD上），AE,BE为果 园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计）， 经测量，AD∥BC,AB=AE,∠C=∠ABE= 45°，AD=150米，赵叔叔计划在△BCE区域 内种植某种果树，并沿CE修建一条安全栅 栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你 帮赵叔叔计算出CE的长度 196阅盟学堂ZKSX 类型6定边同侧张角相等的四点共圆 9.如图，在正方形ABCD中，E是边CD上的动点，连接AE交BD于点F,G是边BC上的点，连接 AG,FG. (1)若FG⊥AF,求证：△AFG是等腰直角三角形；(2)若∠EAG=45°，求证：FG⊥AF, 实战中考 10.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3,现有一根长为2的木棒EF紧贴着 矩形的边（即两个端点始终在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则 木棒EF的中点P在运动过程中所产生的运动轨迹长度为 11.(2024·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD 绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD= 1,则AE的最大值为 ,最小值为 12.(2023·广州)如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的动点（不与点A,D重合），边BC关于 BE对称的线段为BF,连接AF. (1)若∠ABE=15°，求证：△ABF为等边三角形； (2)延长FA,交射线BE于点G ①△BGF能否为等腰三角形？如果能，求此时∠ABE的度数；如果不能，请说明理由. ②若AB=√3+√6，求△BGF面积的最大值，并求此时AE的长 阅盟学堂ZKSX197