5.专题五 半角模型 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题五 半角模型 基础强化 1.如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边2.（1)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC= BC,CD上，且∠EAF=45°. AC,△DCE为等腰直角三角形，CE= 求证：EF=BE+DF. DE,DC与AB交于点M,CE与AB交于 点N.探究线段AM,MN,BN的数量 关系 (2)如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边 BC,CD上，且∠EAF=∠CEF=45°.探究 线段BE,EF,DF之间的数量关系： (直接写出结 论，不必证明)》 A D 重点类型 类型11题的拓展与应用 4.如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边 3.如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的边 CB,DC的延长线上，且∠EAF=45°，直接写 BC,CD上，且∠EAF=45°，下列判断正确的 出EF,DF,BE的关系式为 有 ①FA平分∠EFD,EA 平 分∠BEF; ②作AH⊥EF于点H,则 AH=AB,AF平分∠DAH; B ③过点E作EG⊥AE交CD于点G,则EG平 分∠CEF; ④△CEF的周长是定值， 阅盟学堂ZKSX187 5.如图1，已知点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且∠EAF=45°，正方形ABCD的边长 AB=4, (1)若BE=1,求CF的长； (2)△CEF面积的最大值为 (3)如图2，若将正方形ABCD换成矩形ABCD,且AD=6,AB=4,其他条件不变，求△AEF面积的 最小值. 图1 图2 类型22题的拓展与应用 6.如图，已知点E,F分别在正方形ABCD的 (2)求证：△ANE是等腰直角三角形； 边BC,CD上，且∠EAF=45°，连接BD,分 (证法提示，方法1：△AMN∽△BME→ 别交AE,AF于点M,N,连接EN △AMB∽△WME→∠MEN=∠ABM=45°； (1)请找出图中所有和△AMN相似的三 方法2：证A,B,E,N四点共圆立马得) 角形； 188阅盟学堂ZKSX (3)MN:EF DN:EC=BM:CF= ； (4)求证：①BN-ND=√2BE; (提示：△ABM∽△ACF,△ADN∽△ACE, ②2AM=BM2+MD2; △AMN∽△AEF) 2AN2 DN2+BN2. 7.(2022·白云区模拟改编)如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别 交AB于点M,交AC于点N,连接MN,则△AMN的周长为 阅盟学堂ZKSX189 实战中考 8.(2023·白云区模拟)如图，在正方形ABCD中，⊙B的半径AB=1,AC在⊙B上，F为AC上的一 动点，过点F作⊙B的切线交AD于点P,交DC于点Q,交BC的延长线于点M. (1)当F为线段PQ的中点时，求证：△ABP≌△CBQ; (2)将△DPQ沿直线PQ翻折后得△D1PQ,当△AD,D与△PD,Q相似时，求PQ的长； (3)如图，连接AC,交BP于点E.求证：CE-AE=√2CQ 190阅盟学堂ZKSX 9.(2023·增城区模拟)在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，连接EF (1)如图1，若BE=2,DF=3,求EF的长度； (2)如图2，连接BD,BD与AF,AE分别相交于点M,N,若正方形ABCD的边长为6，BE=2,求 DF的长； (3)如图2，判断线段BN,MN,DM三者之间的数量关系并证明你的结论 图1 图2 阅盟学堂ZKSX1915.解：(1)①等边 .HC=A'C2-A'Π=√42-22 两点之间线段最短120°②A =23(km). (2)如图4，将△APC绕点C顺时 .BH=BC+CH=2√5+25 针旋转60°得到△A'P'C,连 =43(km). 接PP'. ∴.A'B=√BH+A' =√(43)2+2 =2/13(km), 即PA+PB+√2PC的最小值为 图4 2/13km. 由(1)可知当点B,P,P',A'在同 ·总铺设成本为 一条直线上时，PA+PB+PC取 a(PA+PB+√2PC)=2/13a(元)： 最小值，最小值为A'B, 故答案为2/13a. :∠ACP=∠A'CP, 6.(1)证明：：△ABC是等边三角形， ∴.∠ACP+∠BCP=∠A'CP'+∠BCP ∴.∠ABC=∠BAC=∠ACB=60° =∠ACB=30°. :∠ADC=∠ABC=60°， 又∠PCP'=60°， ∠BDC=∠BAC=60°， .∠BCA'=90°， .∠ADC=∠BDC. 根据旋转的性质可知AC=A'C=3, .DC是∠ADB的平分线. .A'B=√42+32=5， (2)解：四边形ADBC的面积S是 即PA+PB+PC的最小值为5. 线段DC的长x的函数，理由 (3)依题意，得总铺设成本为 如下： PA·a+PB·a+PC·2a 如图，将△ADC绕点C逆时针旋 转60°，得到△BHC, =a(PA+PB+√2PC), ∴.当PA+PB+√2PC最小时，总 铺设成本最低 如图5，将△APC绕点C顺时针旋 转90°得到△A'P'C,连接PP, A'B. H 则CD=CH,∠DAC=∠HBC, :四边形ACBD是圆内接四边形， .∠DAC+∠DBC=180°， 图5 .∠DBC+∠HBC=180°. 由旋转性质可知PC=PC, D,B,H三点共线. ∠PCP'=∠ACA'=90°， :DC=CH,∠DCH=60°， P'A'=PA,A'C AC=4 km, ∴.△DCH是等边三角形. .PP =2PC. ,四边形ADBC的面积 S=SAADG+S△Bnc=S△cDH .PA+PB+2PC=P'A'+PB+PP'. 当点B,P,P',A'在同一条直线上 c, 时，P'A'+PB+PP取最小值， 即PA+PB+√2PC取最小值为 5-) A'B. 7.解：如图，在AC的上方作∠ACM= 如图5，过点A'作A'H⊥BC于 120°，且使CM=CA,连接AM,DM. D 点H, .∠ACB=60°，∠ACA'=90°， .∠A'CH=30° 六4h=74G=2 B 阅盟学堂XTPZK GZSX43课堂本参考答案 ∴.∠ACD+∠DCM=∠ACM=120. .将BC绕点C顺时针旋转120° 得到CD, ∴.∠BCD=∠BCA+∠ACD=120°， BC=CD. .∴.∠ACB=∠DCM. 在△BAC和△DMC中， rBC=DC, ∠BCA=∠DCM, LAC=MC, ∴.△BAC≌△DMC(SAS) ∴.DM=BA,∠CMD=∠CAB=120° 设DM=AB=x,则AC=4-x=CM, .AC=CM,∠ACM=120°， ∴.∠AMC=∠MAC=30°. ∴.∠AMD=∠CMD-∠AMC=90. .AM=3AC=√3(4-x). .AD2 =AM2 DM2 =3(4-x)2+x2 =4(x-3)2+12≥12. .AD的最小值为2√5. 专题五半角模型 1.证明：如图，延长CB到点G,使 GB=DF,连接AG D G B E C 四边形ABCD是正方形， ∴.AB=AD,∠ABC=∠D=90. .∠ABG=∠D=90. .△ABG≌△ADF(SAS) .∠3=∠2，AG=AF :∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴.∠1+∠2=45 .∠GAE=∠1+∠3=45°=∠EAF. .·AE=AE,∠GAE=∠FAE, AG=AF, .△AGE≌△AFE(SAS). .GE=EF,即GB+BE=EF ∴EF=DF+BE. 2.解：(1)如图，将△AMC绕点C逆 时针旋转90°得到△BM'C,连接 M'N, :△ABC与△DCE为等腰直角三 角形，∠ACB=90°，∠DCE=45°， ---2 BM .∠A=LCBA=45°， Sg=子5心 ∠ACM+∠BCN=45°. ,△BCM'是由△ACM旋转得 当S AAFC最小时，SAAEF最小， 到的， 由(2)可求SAFGN最大值为 .∠BCM'=∠ACM,CM=CM', 108-72√2. AM=BM',∠CBM'=∠A=45°. 2SAAG+SAFGN=S正方形AMND: .∠MCN=∠M'CN=45°， .S△Arc最小值为36√2-36. ∠NBM'=90°. .S△Br最小值为 又：CN=CW, 2 ∴.△MCW≌△M'CN(SAS). ×(362-36)=242-24 .MN=M'N. 6.(1)解：△AMW∽△BME∽△DFN∽ 在R△BM'N中，根据勾股定理得 △DMA∽△BAW∽△AFE. M'NP =BN +BM2, (2)证明：∠EAF=45°， .MN2 =AM2+BN2. 四边形ABCD是正方形， (2)EF2=2BE2+2DF2 ∴.∠EBN=∠EAF=45. 3.①②③④4.EF=DF-BE .A,B,E,N四点共圆. 5.解：(1)设CF=x,则DF=4-x. ∴.∠MEN=∠ABM=45°. .BE=1, ∴.NA=NE,∠ANE=90°， .EC=3,EF=1+4-x=5-x. 即△ANE是等腰直角三角形. .32+x2=(5-x)2,解得x= 8 5 (3)1:2 (4)证明：①如图，连接NC,作NH1 CP-5 BC于点H. (2)设BE=a,DF=b,则 EC=4-a,FC=4-b,EF=a+b. 在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2 .(4-a)2+(4-b)2=(a+b)2, 解得6=16-4a a+4 由正方形关于对角线所在的直线 s=4-41） 对称，得AN=NC,∠NBH=45°. a+4 -16a-4a2 由(2)得NE=AN, a+4 .NE=NC. 令a+4=m,则a=m-4(m≥4)， ∴.EH=HC. S=48m-4m2-128 在Rt△BNH中，∠NBH=45°， ∴.BN=√2BH. 2 =-2m-82m -32√2+48. .DN=BD-BN=√2BC-√2BH. m ∴.BN-ND .Smx=48-322. =√2BH-(√2BC-√2BH) 故答案为48-322. =√2(2BH-BC) (3)如图2，将矩形ABCD补成正 方形AMND,延长AE交MN于点 =√2(2BE+EC-BC) G,连接FG, =2BE. ②如图，过点M作MK⊥AB于点 K,作MQ⊥AD于点Q, 则四边形AKMQ为矩形. ..AK=MO. ..AM =AK2+MK2 =MO2+MK2 图2 BC∥MN, 阅盟学堂XTPZK GZSX44课堂本参考答案 =2Dr+2ar, 即2AM2=BM2+DM. 同理可得2AW2=DW2+BW. 7.6 8.（1)证明：：四边形ABCD是正 方形， ∴.∠BAD=∠BCD=90°，AB=BC=1. ∴.AD,CD与⊙B相切 依题意，得PQ与⊙B相切， .PA=PF,OC=QF. F为PQ的中点， ..PF=FQ. .AP=CQ. 在△ABP和△CBQ中， rAP=CQ, ∠BAP=∠BCQ, LAB=CB, ∴.△ABP≌△CBQ(SAS). (2)解：如图1，将△DPQ沿直线PQ 翻折后得△D,PQ,连接AD,DD, D C M 图1 .△DPQ≌△DPQ. 若△AD,D与△PD,Q相似，则 △AD,D与△PDQ相似. ①当∠AD,D=∠PDQ,∠D,AD= ∠DPQ时，PQ∥AD1· 点D,D关于直线PQ对称， ∴.PQ垂直平分DD,即DF=DF ∴.AP=PD. :正方形ABCD的边长为1， ∴AP=PD=0.5. ∴.PF=0.5. 在Rt△DPQ中，PD+DQ=PQ, 设QF=x,则QC=x,DQ=1-x, PQ=x+0.5, .0.52+(1-x)2=(x+0.5)2, 1 解得x=3 PQ=6 5 ②当∠ADD=∠QDP,∠DAD= ∠DQP时，∠ADD1=∠DPQ, 又：PQ垂直平分DD, .∠ADD,=∠QPD=45°. .△PDQ和△DD,A是等腰直角 三角形. 设AP=a,则PD=DQ=1-a, 四边形ABCD为正方形， QC=QF=a,PQ=2a, ∴.∠DAB=∠ABC=∠BCD= 在Rt△PDQ中，cos∠QPD= PD ∠ADC=90°，AB=AD. PO' ∴.∠ABG=90 号器 在△ABG和△ADF中， rAB=AD, 解得a=√2-1. ∠ABG=∠ADF, 由∠D,PQ=∠DPQ=45°，得 BG=DF, D1P⊥AD. .∴.△ABG≌△ADF(SAS). △DD1A是等腰直角三角形， .∠BAG=∠DAF,BG=DF,AG=AF ·AP=PD=2,故不符合题意， .:∠EAF=45°， ∴.∠DAF+∠BAE=∠BAG+∠BAE 应舍去 =∠EAG=45°. 综上所述，PQ的值为名 .∠EAF=∠EAG. 在△AEG和△AEF中， (3)证明：如图2，连接BD,BF, rAG=AF, D ∠EAG=∠EAF, LAE =AE, .△AEG≌△AEF(SAS). ∴.EG=EF BE=2,DF=3, 图2 .EF =EG=BG+BE DF +BE ,四边形ABCD是正方形， =5. ∴.∠BAE=∠BDQ=∠ABD=45. (2):四边形ABCD是边长为6 由切线长定理可知 的正方形， ∠PBA=∠PBF,∠QBC=∠QBF, .BC=CD=6. ∠P8Q=7∠ABC=45 设DF=x,则CF=6-x, 由(1)知，EF=DF+BE, .∠ABE=∠DBQ. BE=2, .△BAE∽△BDO. .CE BC-BE =4,EF=2+x. BAAE BD=DQ 在Rt△CEF中，CE2+CF2=EF2, .42+(6-x)2=(2+x)2, .·cos∠ABD= BA2 解得x=3. DB .DF=3. AB=马D0. (3)BN+DM=MN2,证明如下： 2 如图2，延长CB至点G,使BG= 又：cos L BAC=4B=2 DF,连接AG,在AG上截取AH= AC=2, AM,连接HN,BH, .AC =2AB =2CD .CE-AE =(AC-AE)-AE =AC-2AE =20-2×号0 =2CQ. 图2 9.解：(1)如图1，延长CB至点G, 由(1)知，∠BAG=∠DAF, 使BG=DF,连接AG, ∠EAG=∠EAF=45°， ·四边形ABCD为正方形， ∴.AB=AD,∠ADB=∠ABD=45° 在△ABH和△ADM中， rAH AM, B ∠BAH=∠DAM, 图1 LAB=AD, 阅盟学堂XTPZK GZSX45课堂本参考答案 ,.△ABH≌△ADM(SAS). .BH=DM,∠ABH=∠ADM=45°， .∠HBN=∠ABH+∠ABN=90°. 在△AHN和△AMN中， AH AM, ∠NAH=∠NAM, LAN=AN, ∴.△AHN≌△AMW(SAS). .NH =MN. 在Rt△BHN中，BW2+Bf=NH, .BN2 DM2 MNP. 专题六将军饮马模型 1.(1)(4,0) 2(等) 2.D3.22+T4.85.√10 3 6.207.4 8.解：如图，过点D作DD'⊥AE于 点F,交AC于点D',再过点D'作 D'P'⊥AD于点P', P DD'⊥AE, .∠AFD=∠AFD'. AE平分∠DAC, ∴.∠DAE=∠CAE. 又：AF=AF, ∴.△DAF≌△D'AF(ASA). ∴.D'是点D关于AE的对称点， AD'=AD=4. .D'P'即为DQ+PQ的最小值. :四边形ABCD是正方形， .∠DAD'=45. .'AP'=P'D'. ∴.△AD'P'为等腰直角三角形 又AD'=4, .P'D'=22, 即DQ+PQ的最小值为22. 9.解：如图，作点F关于AB,BC的 对称点F',F",连接BF,BF",BF, FE, B