2.专题二 “手拉手”模型 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

专题二“手拉手”模型 重点类型 类型工)等腰直角三角形手拉手 1.如图，△AEF和△ABC都是等腰直角三角(2)求证：BE1CF; 形，∠EAF=∠BAC=90°，将其中一个三角 形绕点A旋转到如图所示的位置，连接BE, CF,且BE,CF交于点O,BE,AC交于点P. (1)求证：BE=CF; (3)连接OA,求证：OA平分∠BOF; (4)求证：CF=0E+V20A+OC; (5)求证：S△FAB=S△EAC; (6)过点A作AQ⊥FB,交CE于点G,求证：G 是EC的中点.（婆罗摩笈多模型） B 172阅盟学堂ZKSX 类型2等边三角形手拉手 类型3】相似三角形手拉手 2.如图，△4BD,△BCE都是等边三角形，DC,AE3.(2020·武汉)【问题背景】 相交于点F, (1)如图1，已知△ABC∽△ADE,求证： △ABD∽△ACE; (1)求证：AE=CD; 【尝试应用】 (2)求∠EFC的度数； (2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC= (3)求证：FB平分∠DFE; ∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°，AC (4)求证：CD=AF+CF+BF; 与DE相交于点F,点D在边BC上， (5)若∠ACB=60°，M是AB的中点，连接 品=3，求2的值： CM,求证：CD=2CM. 【拓展创新】 (3)如图3，D是△ABC内一点，∠BAD= ∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4,AC= 2√3，直接写出AD的长. 阅盟学堂ZKSX173 类型④全等三角形手拉手 4.(2022·番禺区模拟)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5,BC=3,将△ABC绕点B顺时针旋 转得到△A'BC',其中点A,C的对应点分别为A',C (1)如图1，当点A'落在AC的延长线上时，求AM'的长； (2)如图2，当点C'落在AB的延长线上时，连接CC',交A'B于点M,求BM的长； (3)如图3，连接A4',CC',直线CC'交A4'于点D,E为AC的中点，连接DE.在旋转的过程中， DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由， 图1 图2 图3 174阅盟学堂ZKSX 5.(2024·成都)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点， 然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知在三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°. 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CR,在纸片ADE绕点A旋转的过程中，试探究C的值： 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转的过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上 时，延长ED交AC于点F,求CF的长； 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写 出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由 图 图2 备用图 阅盟学堂ZKSX175 实战中考 6.(2022·广州)如图，在矩形ABCD中，BC=2AB,P为边AD上的一个动点，线段BP绕点B顺时 针旋转60°得到线段BP',连接PP',CP'.当点P落在边BC上时，∠PP'C的度数为；当 线段CP'的长度最小时，∠PP'C的度数为 7.(2023·天河区模拟)如图，△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=6,∠BAC=90°，动点D在边 BC上运动.以A为直角顶点，在AD右侧作等腰直角三角形△ADE,G为AC的中点，连接EG,则 线段EG的最小值为 D 8.如图，AB=AC,∠BAC=90°，∠ADC=45°，AD=1,CD=3,求BD的长. 176阅盟学堂ZKSX 9.(2024·无锡)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=60°，AD=AB=2,BC=4,E为线段CB 上的动点，将线段AE绕点A顺时针旋转120°得到AE'.设CE=x,△BEE'的面积为S. (1)当x=3时，求BE'的长； B (2)当x≠4时，求S关于x的函数表达式； (3)求DE'的最小值. 阅盟学堂ZKSX177 10.(2023·黄冈)【问题呈现】△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，CB= m·CA,CE=m·CD,连接AD,BE,探究AD,BE的位置关系. 图1 图2 备用图 (1)如图1，当m=1时，直接写出AD,BE的位置关系： (2)如图2，当m≠1时，（1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由， 【拓展应用】(3)当m=√3，AB=4√7，DE=4时，将△CDE绕点C旋转，使A,D,E三点恰好在同 一直线上，求BE的长， 178阅盟学堂ZKSX8.证明：如图，作DE⊥BC于点E, ,.∠EAF+∠EAC=∠BAC+∠EAC. ∴.∠FAC=∠EAB. 在△ACF和△ABE中， R AF=AE. ∠FAC=∠EAB, :△ABC为等腰直角三角形， LAC=AB. AB=AC,BD为角平分线， .△ACF≌△ABE(SAS). ∴.∠A=90°，∠C=45°，AD=DE. .BE=CF. .DE =EC =AD. (2)证明：由(1)得 在Rt△ABD和Rt△EBD中， △ACF≌△ABE, 「BD=BD, .∠ACF=∠ABE. AD=ED, 又.∠OPC=∠APB, ∴.Rt△ABD≌Rt△EBD(HL). .∠POC=∠PAB=90°. .'AB =EB. .BE⊥CF. BC=BE +EC, (3)证明：如图，作AK⊥BE于点 .BC=AB +AD. K,AL⊥CF于点L, 91710分1v而 12.C 13.D14.1 15.（1)证明：如图，连接AE,CD, BP 依题意，得∠ALF=∠AKE, :△ABD和△BCE都是等边三 ∠AFL=∠AEK,AF=AE, 角形， .△AFL≌△AEK(AAS). .AB=DB,∠ABE=∠DBC=120°， ..AL =AK. BE=BC. ∴.OA平分∠BOF ∴.△ABE≌△DBC(SAS). (4)证明：如图，过点A作AM⊥ .AE =CD AO交FC于点M, P,M,N分别为AC,AD,CE的 中点， .PM-CD,PN-E. ∴.PM=PN (2)解：设PM交AE于点F,PW 交CD于点G,AE与CD的交点 .BE⊥CF,OA平分∠BOF, 为H, .∠A0M=45°. .·△ABE≌△DBC ∴.OA=AM,OM=√20A. ∴.∠AEB=∠DCB. 易证△AFM≌△AEO(SAS). .∠CHE=∠CBE=60°. .∴.FM=EO. .∠AHC=120. .CF FM+OM+OC P,M,N分别为AC,AD,CE的 =0E+√20A+0C. 中点， (5)证明：如图，过点C作CS⊥AE ∴.PN∥AE,PM∥CD. 于点S,过点B作BT⊥AF于点T, ∴.四边形FPGH是平行四边形 ∴.∠MPN=∠AHC=120°. 专题二手拉手模型 1.(1)证明：：△AEF和△ABC都是 等腰直角三角形， .AE=AF,AC=AB, 易证△ABT≌△ACS(AAS): ∠EAF=∠BAC=90 ∴BT=CS. 阅盟学堂XTPZK GZSX37课堂本参考答 又，AE=AF, 'SAFAB =SAEAC (6)证明：如图，作EH⊥QG于点 H,CI⊥QG于点I, O 易证△AQF≌△EHA(AAS), △AQB≌△CIA(AAS), ,∴.AQ=EH=CI SAAGE =SAAGC 又：点G在EC上， ∴.EG=GC,即G是EC的中点. 2.(1)证明：易证△DBC≌△ABE(SAS) .·.AE=CD (2)解：由(I)可得∠BEF=∠BCF ,∴.∠ECF+∠CEF=∠BCE+∠CEB =120°. .∠EFC=180°-120°=60° (3)证明：如图，作BG⊥DC于点 G,BH⊥AE于点H. 0 O 易证△DBG≌△ABH(AAS). .BG=BH. .FB平分LDFE. (4)证明：如图，在CD上截取NF= BF,连接BN 易证△BFN是等边三角形， △DBN≌△ABF(SAS). .AF =DN. .CD =DN+NF+CF =AF BF+CF. (5)证明：如图，延长CM至点Q, 使MQ=CM,连接AQ,BQ. 易证△AMQ≌△BMC(SAS) .AQ=BC=CE,∠AQM=∠BCM, AQ∥BC. ∠ACB=60°， .∠QAC=120°， ∠ACE=∠ACB+∠BCE=120° ∴.∠ACE=∠QAC,AC=AC. .△QAC≌△ECA(SAS). ∴.EA=CQ=2CM. 又由(1)得CD=EA, .CD=2CM. 3.(1)证明：：△ABC△ADE, 8 ,∠BAC=∠DAE. AB AD ·AC=AE ,∠BAD=∠CAE. .△ABD△ACE. (2)解：如图2，连接CE,设BD=t, 则AD=3BD=√3t. B D 图2 ·∠BAC=LDAE=90°， ∠ABC=∠ADE=30°， .∴.△ABC∽△ADE. 由(1)可得△ACE∽△ABD, ·∠ACE=LB=30,Cg_4C-3 'BD AB 3 c6-9 34 AD :∠ADE=∠ACE=30°， ∠AFD=∠EFC, ∴.△ADF∽△ECF. …路-0=3 DF AD (3)解：如图3，过点A作AB的垂 线，过点D作AD的垂线，两垂线 交于点M,连接BM, 图3 .·∠BAD=30° ∴.∠DAM=60°. .∠AMD=30°. ∴.∠AMD=∠CBD. 又：∠ADM=∠CDB=90°， .△MDA△BDC. 品品0治 PCD AD 又.'∠BDC+∠CDM=∠ADM+∠CDM, 即∠BDM=∠CDA, ∴.△BDM∽△CDA. …0a AC=25, ∴.BM=25×√5=6. .AM=√BM2-AB=√62-42 阅盟学堂 =2V5. .AD=AM-5. 1.解：(1)∠ACB=90°，AB=5, BC=3, 图3 ∴.AC=√/AB2-BC=4. ·△ABC绕点B顺时针旋转得到 :∠ACB=90°，△ABC绕点B顺 △A'BC 时针旋转得到△A'BC',点A'落 .BC=BC,∠ACB=∠A'CB=90°， 在AC的延长线上， AC=A'C'. ∴.∠A'CB=90°，A'B=AB=5. .∠BCC'=∠BC'C. 在Rt△A'BC中， 而∠ACP=180°-∠ACB-∠BCC =90°-∠BCC A'C=A'B2 -BC2=4, =90°-∠BC'C, ∴.AA'=2AC=8. ∠A'CD=∠A'C'B-∠BC'C (2)如图2，过点C作CE∥A'B交 =90°-∠BC'C, AB于点E,过点C作CD⊥AB于 ∴.∠ACP=∠A'C'D. 点D, AP∥A'C', ∠P=∠A'CD. ∴.∠P=∠ACP ..AP=AC. E D B .'AP =A'C'. 图2 在△APD和△A'C'D中， :△ABC绕点B顺时针旋转得到 ∠PDA=∠C'DA', △A'BC', ∠APD=∠A'C'D, ∴.∠A'BC'=∠ABC,BC'=BC=3. LAP=A'C', CE∥A'B, .△APD≌△A'C'D(AAS). ∴.∠A'BC'=∠CEB. .AD=A'D,即D是AA'的中点， ∠CEB=∠ABC. E为AC的中点， .CE =BC=3. .DE是△AA'C的中位线. 在Rt△ABC中， S=分4CBc=4B.cD, DE-TG 要使DE最小，只需A'C最小，此 AC=4,BC=3,AB=5, 时点A',C,B共线，A'C的最小值 .CD=AC.BC_12 为A'B-BC=AB-BC=2, AB 在Rt△CED中， DE最小值为2AC=1. 5.解：(1)AB=AD=3,∠ABC= ∠ADE=90°，BC=DE=4, 9 .△ABC≌△ADE(SAS), = 5, AC=AE=√32+4=5. ·BE=2DE=18 ∴.∠BAC=∠DAE. , ∴.∠DAE-∠DAC=∠BAC-∠DAC, CE=BC'+BE= 33 即LCAE=∠BAD. :CE,∥AB,CE=CE BMBC' 又品能1. ∴.△ADBn△AEC. BM 3 3 w是 BD AB 3 331 5 ·CE=A0-5 (2):'BM是Rt△ABC斜边AC上 (3)DE存在最小值1，理由如下： 的中线， 如图3，过点A作AP∥A'C交C'D .AM BM CM= 4c= 5 的延长线于点P,连接A'C, XTPZK GZSX38课堂本参考答案 .∠ABM=∠BAM. F .AB=AD, ∴.∠ABM=∠ADB. ∴.∠BAM=∠BDA 又·∠ABM=∠DBA, 图1 ∴.△ABMM△DBA. AD∥BC, .四边形AFCD是平行四边形. 品即品-子 .CF=AD=2. .BF=BC-CF=4-2=2=AB. 解得BD= 又：∠ABC=60°， DM=BD-BM=18-§=1L .△ABF是等边三角形 5-2=101 ..∠BAF=60° ∠EAD=∠CAB=∠ADB, .DM∥AE. :BE=BC-CB=4-3=1=2B, .△FDM∽△FEA. ∠BME=∠FM=∠BAP=30r, 11 DM-F,即 FM , AE=AB=受4B=月 FM*2 ∠EAE=120°， 解得FW-碧 .∠BAE'=90°. .BE'=√AB2+AE2 ∴.CF=CM-FM= 55570 2-78=39 =√22+(3)2=7. (3)C,D,E三点能构成直角三角 (2)如图2，连接AC,以点A为圆 形，直角三角形CDE的面积为4 心，AC长为半径画弧交CB的延 或16或12或餐 长线于点F,作EG⊥CF于点G, 连接EF, 6.120°75° 7.32 2 8.解：如图，过点A作AE⊥AD交CD 于点E,连接BE. B 图2 ∴.AC=AF. .∠ACB=∠AFC. 由图1，可知CD=2, .∴.AD=CD. .∠ACD=∠CAD. .∠DAE=90°，∠ADE=45°， AD∥BC, ∴.∠AED=∠ADE=45. ∴.∠ACB=∠CAD. .AE =AD=1,DE =2. ∴，∠ACB=∠ACD '∠DAE=∠BAC=90°， 由图1易证∠DCB=60°， ∴.∠BAE=∠CAD. ∴∠AFC=∠ACB=30°. 又，AB=AC,AE=AD, ∴.∠CAF=120. '.△BAE≌△CAD(SAS). ∠CAF=∠EAE'=120°， ∴.CD=BE=3, ∴.∠CAE=∠FAE ∠AEB=∠ADC=45° 又：AE=AE, .∠BED=90°. ∴.△ACE≌△AFE'(SAS). .E'F=CE=x, .BD=√BE+DE ∠AFE=∠ACE=30°. =√32+(2)2=√I ∴.∠BFE'=∠AFC+∠AFE'=6O°. 9.解：(1)如图1，作AF∥CD,交BC 于点F, 5G-98- 2 阅盟学堂XTPZK GZSX39课堂本参考答案 =EG=4-)×: =-+ (3)由(2)知∠CFE'=60°， .点E在与过点F且与CF成 60°的直线l上运动. 如图3，作AW⊥CF于点W,作 DM⊥l于点M,作DH∥I交BF于 点H,作HQ⊥l于点Q,当点E在 点M处时，DE最小， W 图3 ∴.DM=HQ,∠CHD=∠CFE'=60°. 又.∠DCB=60°， ∴.△DCH是等边三角形. .CH=CD=2. 由(1)知AW=√5， ∠ACF=∠AFC=30°， .CF=2CW=2×5AW=6. ∴.FH=CF-CH=4. .DM=HQ=FH·sin∠CFE =4×sin60°=23. ∴.DE的最小值为2√5. 10.解：(1)如图1，延长BE交AC于 点H,交AD于点N, 图1 ·.·∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACD=∠BCE. 又.当m=1时， DC=EC,CA=CB. .△ACD≌△BCE(SAS) ∴.∠DAC=∠CBE. ',∠CAB+∠ABE+∠CBE=9O°， ∴.∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°. .∠ANB=90°. .AD⊥BE. 故答案为AD⊥BE. (2)(1)中的结论成立，证明如下： 如图2，延长BE交AC于点H,交 AD于点N, ∴.∠BAD=∠CAE :△ABC和△ADE是等边三角形， ∴.∠B=∠AED, 又：∠BAD=∠CAE, B 图2 .△ABD△AEF. 由(1)得∠ACD=∠BCE. ∴.AB:BD=AE:EF DC=AC=1 同理，△CDF∽△EAF, 又：CE=CBm ∴.CD:CF=AE:EF .△DCA△ECB. ∴.AB:BD=CD:CF .∠DAC=∠CBE. 即4：1=(4-1)：CF. ·:∠CAB+∠ABE+∠CBE=90° ∴.∠CAB+∠ABE+∠DAC=90°. ·CP=3 .∠ANB=90°..AD⊥BE. 4.(1)证明：在正方形ABCD和正方 (3)分两种情况：如图3，当点E 形AEFG中， 在线段AD上时，连接BE, ∠BAD=∠EAG=90°，AB=AD, AE=AG, .∴.∠BAE=∠DAG. ..△BAE≌△DAG(SAS). ∴DG=BE B 图3 (2)解：如图1，过点F作FM⊥BN △DCA∽△ECB, 于点M, BE_BC=m=, :AD-AC .BE=5AD=√5(4+AE). :AD⊥BE, .'AB2 AE2 +BE2. .112=AE2+3(4+AE)2. E C .AE=2或AE=-8(舍去) 图1 .BE=63; 则∠B=∠AEF=∠FME=90°. 如图4，当点D在线段AE上时， ∴.∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB 连接BE, =90°. ∴.∠BAE=∠MEF, 又：AE=EF, .△BAE≌△MEF(AAS): ∴.FM=BE,EM=AB. 图4 BE +EC=AB,EM=EC +CM, :△DCA∽△ECB, .∴.CM=FM. BE BC AD-AC =m=√3. 在Rt△FCM中， .BE=3AD=√3(AE-4). tzPGN--8别-1 AD⊥BE, 设BE=x,则EC=2-x. .AB2=AE2+BE2. .112=AE2+3(AE-4)2. Sm=22-0 ∴.AE=8或AE=-2(舍去) 1 .BE=4√3. 综上所述，BE=63或4√5. 当x=1时，SAECF最大，最大值 专题三 一线三等角模型 为分 1 1.y=3x-12.A (3)解：由(2)得∠DCF=45. 3.解：易证△ABD≌△ACE(SAS). .动点F在∠DCN的平分线上运 ∴.CE=BD=1. 动，路径长为2BC=22. 阅盟学堂XTPZK GZSX40课堂本参考答案 (4)解：tan∠FCW的值是定值. 如图2，过点F作FM⊥BN于点M, G B CMN 图2 则∠B=∠AEF=∠FME=90°， ∴.∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB =90°. 即∠BAE=∠FEM. 同理可证∠GAD=∠BAE, .∠GAD=∠FEM. 又.∠GDA=∠FME=90°，AG=EF ∴.△DAG≌△MEF(AAS), △BAE∽△MEF. 六EM=AD=BC=8,AB=BE EM FM 设BE=a, EM=EC CM=BC=BE +EC, ∴.CM=BE=a. 名-品w a 3 8a aa∠0w=w3-& CM=a=3 即tan∠FCN的值为定值. 5.(1)①解：如图1， B 图1 ·.·∠A=∠MDN=45°， ∠MDB=∠MDN+∠2=∠A+∠1， .∠1=∠2. .∴.△AMD∽△BDN. AM AD BDBN :AM=2,AD=BD=24B=3, 号-品w=是 ②证明：由△AMD∽△BDN得 AM MD BD DN' 础品 :0=m微架 又：∠A=∠MDW=45°，