20.第五章 第20节 特殊三角形 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

14.证明：∠B=∠C,.AB=AC. .'AF=2AE..BD=2AE. 在△ABD和△ACE中， (3)0C=OB+AF,证明如下： rAB=AC, 如图3，作AE⊥OC于点E, ∠B=∠C, BD=CE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 15.解：(1)如图1，过点A作AD1 CO于点D, 图3 AE⊥0C,AF⊥y轴，.四边形 OFAE是矩形，∠AEC=90°. ..AF=OE. :△ABC是等腰直角三角形， 图1 BC=AC,直角顶点C在x轴上， :点C的坐标是(2,0)，点A的 ∠B0C=90°， 坐标是(-2，-2)， .∴.∠BCA=90°，∠BC0+∠CB0= ∴.AD=2,CD=4,C0=2 90°，∠BC0+∠ACE=90°. ,△ABC是等腰直角三角形， ·∠CBO=∠ACE. .BC=AC, 在△BOC和△CEA中， ∠B0C=∠ADC=90, ∠BOC=∠CEA, ∠CBO=∠ACE, AC=√AD2+CD2=2W5. BC CA, ∴.BC=2V5. .△BOC≌△CEA(AAS) BC2=0C2+0B2, ∴.OB=CE. ∴.0B=4,即点B的坐标为(0,4). .OC=EC+OE.OE=AF.OB= (2)BD=2AE,理由如下： EC,∴.OC=OB+AF. 如图2，延长AE交BC的延长线 第20节特殊三角形 于点F, 知识梳理 1.(1)70或40° (2)①CD∠2 ②BD⊥ ③1= (3)是是否 图2 2.(1)是是是(2)D △ABC是等腰直角三角形， 3.(1)①90°②AB2③= ④BC BC=AC,直角顶点C在x轴上， (2)①D②是是是 AE⊥y轴于点E, 4.3 .∠BCA=∠ACF=90°， 核心考点 ∠AED=90°， 1.证明：（1)：△ABC为等边三 ∴.∠DBC+∠BDC=90°， 角形， ∠DAE+∠ADE=90°. ∴.∠ABD=∠C=60°，AB=BC. .·∠BDC=∠ADE, 在△ABD和△BCE中， ∴.∠DBC=∠FAC rAB=BC, 在△BDC和△AFC中， ∠ABD=∠C, r∠BCD=∠ACF, BD =CE, BC=AC, .△ABD≌△BCE(SAS). L∠DBC=∠FAC, ∴AD=BE .△BDC≌△AFC(ASA). (2)由(1)得△ABD≌△BCE, .BD=AF. .∠BAD=∠CBE. ,BE⊥AE,y轴恰好平分∠ABC, ∠ABC=60°， 阅盟学堂XTPZK GZSX14课堂本参考答案 ,∠ABE+∠CBE=∠ABE+ ∠BAD=60°，即∠AFE=60°. 2.证明：如图，连接DF,DE. D AB=AC,∴∠B=∠C. 在△BDF和△CED中， BD=CE, ∠B=∠C, BF=CD. ∴.△BDF≌△CED(SAS) ∴.DF=ED 又G是EF的中点，∴.DG⊥EF 3.证明：在△ABD和△BAC中， .AD=BC. BD=AC, LAB BA, .∴.△ABD≌△BAC(SSS). ∴.∠ABD=∠BAC.∴.OA=OB. ∴.△OAB是等腰三角形 4.解：CE,CF分别平分∠ACB和它 的外角∠ACG, .∴.∠BCE=∠ACE, ∠ACF=∠GCCE. :EF∥BC, ∴.∠DEC=∠BCE. ∠GCF=∠CFD. .∠DEC=∠ACE, ∠ACF=∠CFD. .DE DC,DC=DF. .DE DF. 5.c 6.（1)证明：∠ACB=90°， M为边AB的中点， ∴.MC=MA=MB. .∠MCA=∠A=50°， ∠MCB=∠B=40°. ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80°. .:∠ACE=30° ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°. .∠MEC=∠EMC..CE=CM. （2)解：AB=4, *.CE-CM-]AB-2 ·EF⊥AC,∠ACE=30°， ∴.FC=CE·cos30°=√5. 7.证明：(1)在△ABE和△CBD中， AB=CB,∠ABE=∠CBD, BE=BD, ·.△ABE≌△CBD(SAS). ∴.AE=CD,∠FAB=∠BCD. :F是Rt△ABE斜边AE的中点， .'.AE=2BF. .CD=2BF. BF-TAE-AF, .∠FAB=∠FBA. ∴.∠FBA=∠BCD. :∠FBA+∠FBC=90°， ∴.∠FBC+∠BCD=90. .BF⊥CD, (2)①BF⊥CD ②如图2，延长BF到点G,使FG= BF,连接AG. D 图2 AF=EF,∠AFG=∠EFB, FG=FB, .△AGF≌△EBF(SAS). ∴.LFAG=∠FEB,AG=EB. .AG∥BE. ∴.∠GAB+∠ABE=180°. :∠ABC=∠EBD=90°， ∴.∠ABE+∠DBC=180. ∴.∠GAB=∠DBC BE BD, ∴AG=BD. 在△AGB和△BDC中， :AG=BD,∠GAB=∠DBC, AB=BC, .∴.△AGB≌△BDC(SAS). .CD=BG. BG=2BF. .CD =2BF. 8.证明：(1)由折叠可得DM=MA, CN=NB,CD∥MN∥AB, .PF=GF. 由折叠可得∠PFA=∠D=90°， ∴.∠AFG=∠AFP=90°. 在△AFP和△AFG中， 阅盟学 PF=GF, :△ABC为等边三角形， ∠AFP=∠AFG, ∴.∠MCP=60°. LAF=AF. .∠MCP=∠ANP. .△AFP≌△AFG(SAS) 又.∠MPC=∠APN, (2)由折叠知∠1=∠2， .△MCP△ANP. 由(1)知△AFP≌△AFG, ,∠2=∠3=∠1=30°，AP=AG. 架器即品 PAPMP .∠PAG=∠2+∠3=60°. 又∠NPC=∠APM, ∴.△APG为等边三角形. ∴.△NPC△APM. 9.(1)证明：如图，过点M作MQ∥ .∠NCP=∠AMP=60. BC,交AC于点Q. ∴.∠NCH=180°-∠ACB-∠ACW =180°-60°-60° =60°. .CN是△ABC的外角∠ACH的 平分线 ②解：当GN⊥CN时，GN为最小 在等边△ABC中， 值，由①得∠GCW=60°，此时 ∠A=∠B=∠ACB=60°， GW=CG·sin∠CCW :MQ∥BC, )AC·sin∠CCW .∴.∠AM0=∠B=60°， ∠AQM=∠ACB=60°， 1 ∠QMP=∠CNP. 7×4× 2 ∴.△AMQ是等边三角形. =√5. ∴.AM=QM. 故答案为3. AM=CN,∴QM=CN. (2)证明：如图2，作点A关于BC 在△QMP和△CNP中， 的对称点E,连接BE,ME,CE, r∠QPM=∠CPN, ∠QMP=∠CNP, LOM=CN ∴.△QMP≌△CNP(AAS). ∴.MP=NP. (2)解：：△AMQ是等边三角形， 且MH⊥AC,∴.AH=HQ. △QMP≌△CNP,∴.QP=CP. 图2 .PH-HQ+QP-AC .·∠AMC=∠ABC+∠BAM =∠AMN+∠CMN, AB=a,AB=AC, 且∠AMN=∠ABC=60°， Pm=a ∴.∠BAM=∠CMN. 10.(1)①证明：如图1，连接AN,设 .∠HCN=∠N+∠CMN=60°， AC交MN于点P, 且∠BEC=∠BEM+∠CEM= ∠BAM+∠CEM=60°， ∴.∠N+∠CMW=∠BAM+∠CEM. 又.∠BAM=∠CMN, ∴.∠N=∠CEM. .△MEN是等腰三角形， 图1 即MN=ME. 依题意，得AM=MN, .ME =AM, ∠AMN=60°， .AM=MN. ∴.△AMN为等边三角形 (3)证明：如图3，作点A关于BC ∴.∠ANP=60°. 的对称点E,连接BE,ME,CE, 堂XTPZK GZSX15课堂本参考答案 .∠B0C=∠ADC=150°， ∠0DC=60°. .∴.∠AD0=90° ∴.△AOD是直角三角形. M (2):∠A0B=100°，∠B0C=a, .∠A0C=260°-. E :△OCD是等边三角形 图3 ∴.∠D0C=∠0DC=60. 则AB=BE,AM=ME, .∠AD0=a-60°， ∠BAM=∠BEM, ∠A0D=200°-. 'AM=MW,∴.MW=ME. ①当∠DAO=∠DOA时， ∴.△MEN是等腰三角形， 2(200°-x)+a-60°=180°， 即∠N=∠CEM. 解得x=160°； :∠HCN=∠N+∠CMN=60°， ②当LAOD=AD0时， ∠BEC=∠BEM+∠CEM=6O°， 200°-=-60°， .∴.∠N+∠CMN=∠BEM+∠CEM. 解得a=130°； .∠CMN=∠BEM=∠BAM. ③当∠OAD=∠ODA时， ·.'∠AMC=∠ABC+∠BAM 200°-a+2(a-60°)=180°， =∠AMW+∠CMW, 解得a=100°. ∴.∠AMN=∠ABC=60. 综上所述，当a=160°或a= 11.解：这样的点有3个 130°或a=100°时，△A0D为等 ①如图1，当BP=BA时，BP=c; 腰三角形 实战中考 13.2514.10015.3-516.A 图1 17.(1)解：如图所示. ②如图2，当AP=AB时， A 图2 ∠APB=∠B=40°， B ∴.∠PAC=∠C=20°. (2)证明：：AC=AD, ∴.PA=PC=c. AF平分∠CAD, ∴.BP=a-c; ∴.∠CAF=∠DAF,AF⊥CD. ③如图3，当PA=PB时， ·.·∠CAD=2∠BAC,∠BAD=45° A ∴.∠BAE=∠EAF=∠FAD=15. ∠ABC=∠AFC=90°， 图3 E是AC的中点 ∠BAP=∠B=40°， ∴.BE=AE=EC,EF=AE=EC .∴.∠CAP=∠CPA=80°. .EB=EF, ∴.CP=CA=b. ∠EAB=∠EBA=15° .BP=a-b. ∠EAF=∠EFA=15. 综上所述，这样的点有3个，BP ∴.∠BEC=∠EAB+∠EBA=30°， 的长为c或a-c或a-b. ∠CEF=∠EAF+∠EFA=30°. 12.解：(1)△A0D为直角三角形. ∴.∠BEF=60°. 理由如下：△BOC绕点C按顺 又.EB=EF, 时针方向旋转60°得到△ADC, ∴.△BEF为等边三角形 ∴.△BOC≌△ADC, 18.证明：BD是等边△ABC的 △ODC为等边三角形. 中线， 阅盟学堂XTPZK GZSX16课堂本参考答案 .BD⊥AC,∠ACB=60. .∠DBC=30°. BD DE. ∴.∠E=∠DBC=30°. ,∠CDE+∠E=∠ACB=60°， .∠E=∠CDE=30° .CD=CE. 19.解：(1)△BDE的形状是等腰三 角形，理由如下： BD平分∠ABC, .∠ABD=∠CBD. BC∥ED, ∴.∠EDB=∠CBD. .∠EDB=∠ABD. ∴.EB=ED. ∴.△BDE是等腰三角形. (2)①B ②：BE平分LABC, ∴.∠ABE=∠CBE. .在口ABCD中，AD∥BC, .∠AEB=∠CBE. ∴.∠ABE=∠AEB ·.△ABE是等腰三角形， 且AB=AE. AF⊥BE, .LBAF=LEAF. BC∥AD, ∴.∠EAG=∠AGB. .∠BAF=∠AGB. .'AB=BG=3. AB∥FD, ∴.∠BAF=∠CFG ∠AGB=∠CGF, .∠CGF=ㄥCFG. ∴CG=CF. CG=BC-BG=5-3=2, .CF=2. 20.(1)证明：AD⊥BC, .∠ADB=LADC=90 在△ADB和△ADC中， AD=AD, ∠ADB=∠ADC, BD =CD, .△ADB≌△ADC(SAS). ∴.∠B=∠C. (2)解：小军的证明过程： 如图1，分别延长DB,DC至E, F两点，使得BE=BA,CF=CA, 连接AE,AF, E B D 图1 .·AB+BD=AC+CD, ∴.BE+BD=CF+CD, 即DE=DF AD⊥BC, .∠ADE=∠ADF=90°. 在△ADE和△ADF中， AD=AD ∠ADE=∠ADF, DE=DF, .△ADE≌△ADF(SAS). .∠E=∠F. BE BA,CF =CA, ∴.LE=LBAE=∠F=∠CAF :∠ABC=∠E+∠BAE, LACB=∠F+∠CAF, ∴.∠ABC=∠ACB; 小民的证明过程： AD⊥BC, .△ADB与△ADC均为直角三 角形 根据勾股定理，得 AD=√AB2-BD =√(AB+BD)(AB-BD), AD=√AC2-CD =√(AC+CD)(AC-CD), AB+BD=AC+CD,① ∴.AB-BD=AC-CD.② ①+②，得AB=AC, 2 .∠B=∠C 第21节相似 知识梳理 1.c24 3.(1)35°号cm(2)B 9 4.(1)证明：∠C=180°-85°-40° =55°. ∠B=∠E,∠C=∠F, .∴.△ABC∽△DEF (2)证明：在△ABC和△DEF中， AB BC AC DE EF DF' ∴.△ABC∽△DEF. 阅盟兮 (3)证明：在△ABC和△EDC中， ·CM为∠ACB的平分线， rAC BC ∴.LECM=∠BCM. EC DC .△CEM∽△CMB. L∠ACB=∠ECD, .∴.∠CME=∠CBM. .△ABC∽△EDC. ·BM为∠ABC的平分线， (4)证明：DE∥AC, ∴.∠CBM=∠MBD. ∴.△ABC∽△DBE. ∴.∠CME=∠MBD. 5.C6.A 又.∠MEC=∠BDM, 核心考点 ∴.△CEM△MDB. 1.122.B3.C 4.9 1 5.c CE ME ÷MD-BD' 6.证明：·四边形ABCD是正方形， 即DM=CE·BD=3. ..AB=BC=BE+EC=3+6=9, .DE=2DM=25. ∠B=∠C 12.证明：(1)依题意，得 =2 ∠B=∠C=∠EDF, AB BE :∠EDC=∠B+∠BED, ·ECCF ∠EDC=∠EDF+∠CDF .△ABE∽△ECF .∠BED=∠CDF. 7.(1)证明：AD是斜边BC上 ∴△EBD∽△DCF. 的高， (2)由(1)得△EBD∽△DCF, ∴.∠BDA=90. ∠BAC=90°， 腮0 ∴.∠BDA=∠BAC. D是BC的中点，即BD=CD, 又∠B为公共角， .△ABD∽△CBA. 品品 (2)解：由(1)知△ABD△CBA, 又∠B=∠EDF, BD BA .△EBD∽△EDF. ·BA-BC .∠BDE=∠DFE, 即、6 ∠BED=∠DEF, 6-10 即ED平分∠BEF. .BD=3.6 又·'△EBD∽△DCF 8.D9.(4,8)或(-4，-8) .∠BDE=∠CFD. 10.10 ∴.∠DFE=∠CFD, 11.解：依题意，AM为∠BAC的平分 即FD平分∠EFC. 线，DM⊥AM, 13.B14.B15.1616.25+2 .∠DAM=∠EAM, 17.（1)证明：CA⊥AD,ED⊥AD, ∠AMD=∠AME=90°. CB⊥BE, 又.AM=AM, ∴.∠A=∠CBE=∠D=90°. '.Rt△AMD≌Rt△AME(ASA) .∠C+∠CBA=90°， ∴.DM=EM. ∠CBA+∠DBE=90° ,∠BDM=∠CEM .∠C=∠DBE. =90+7∠BAC, .△ABC△DEB. ∠BMC (2)解：，△ABC△DEB, AC AB =180-2(∠BC1+∠cB）) BDDE 68 E1800-号(180°-LBAG BD=4 1 .BD=3. =90°+2∠BAC, 18.(1)证明：∠ACD=∠B, .'.∠BMC=∠CEM. ∠A=∠A,∴.△ACD∽△ABC. 堂XTPZK GZSX17课堂本参考答案第20节特殊三角形 知识梳理 知识点1等腰三角形 (1)性质1：等边对等角 1.(1)等腰三角形的一个内角为70°，则顶角的 等腰三角形的两个底角相等 度数为 (2)性质2：三线合一 (2)如图，三线合一几何语言训练. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 ①因AB=AC,AD⊥BC, 底边上的高互相重合 故BD= ,∠1= (3)判定： ①有两边相等的三角形是等腰三角形； ②因AB=AC,AD平分∠BAC, ②有两个角相等的三角形是等腰三角形. 故CD= ,AD BC; ③因AB=AC,AD为中线， 故AD BC,∠1 ∠2. (3)根据条件判断下列三角形是否是等腰三 角形 cm 75 530 8cm 知识点2)等边三角形 (1)性质： 2.(1)根据条件判断下列三角形是否是等边三 ①边：三边相等； 角形 ②角：三角相等，都等于60°； ③三线合一； 609 ④有3条对称轴. (2)判定： 判定1：三边都相等的三角形是等边三 角形； (2)如图，等边△ABC的边长为2，BD⊥AC 判定2：三个角都相等的三角形是等边三 于点D,下列说法错误的是 () 角形； 判定3：一个角是60°的等腰三角形是等边 三角形 (3)等边三角形的面积公式： A.BD是△ABC的高、中线、角平分线 BC·AD; ①S等边△ABC=2 B.AD=CD C.∠1=∠2=30° ②Sac=54R 41 D.S等边△ABc=6 阅盟学堂ZKSX87 知识点3直角三角形 (1)直角三角形的性质 3.(1)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90° ①两锐角互余； ①∠A+∠B= ②勾股定理：a2+b2=c2(c为斜边长)； ②BC2+AC2= ③斜边上的中线等于斜边的一半； ! ③若D为AB的中点，则 ④30°角所对的直角边等于斜边的一半。 CD 1 (2)直角三角形的判定 B; ①有一个直角的三角形叫做直角三角形； ④若∠A=30°，则 = ②勾股定理的逆定理：如果三角形的两边 的平方和等于第三边的平方，那么这个 (2)①下列四组线段中，不能构成直角三角 三角形是直角三角形； 形的是 () ③一条边上的中线等于该边的一半，则这 A.3,4,5 B.5,12,13 个三角形是直角三角形. C.6,8,10 D.4,5,6 ②判断下列三角形是否是直角三角形. 人609 知识点4④等腰直角三角形 等腰直角三角形的两直角边相等，两个锐角都4.如图，D是等腰Rt△ABC的中点，则图中共 等于45°，斜边上的高等于斜边的一半. 有 个等腰直角三角形 核心考点 考点工等腰三角形的性质与判定 1.（2024·宜宾)如图，D,E分别是等边三角形2.如图，在△ABC中，AB=AC,D,E,F分别是 ABC边BC,AC上的点，且BD=CE,BE与AD BC,AC,AB上的点，BD=CE,G是EF的中 相交于点F.求证：(1)AD=BE;(2)∠AFE=60° 点，CD=BF,连接DG.求证：DG⊥EF 88阅盟学堂ZKSX 3.如图，AC与BD相交于点O,AD=BC,AC=4.如图，已知CE,CF分别平分∠ACB和它的外 BD.求证：△OAB是等腰三角形， 角∠ACG,EF∥BC,EF交AC于点D,你能说 D 明DE=DF的理由吗？ 考点2直角三角形、等腰直角三角形 5.(2024·广州)如图，在△ABC中，∠A=90°，7.(2024·泰安)如图1，在等腰Rt△ABC中， AB=AC=6,D为边BC的中点，点E,F分别 ∠ABC=90°，AB=CB,点D,E分别在AB,CB 在边AB,AC上，AE=CF,则四边形AEDF的 上，DB=EB,连接AE,CD,取AE的中点F, 面积为 ( 连接BF （1)求证：CD=2BF,CDLBF; (2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的 位置 D ①请直接写出BF与CD的位置关 A.18 B.9√2C.9 D.6√2 系： 6.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，M为边AB ②求证：CD=2BF. 的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F, 连接CM,CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. (1)求证：CE=CM; (2)若AB=4,求线段FC的长， 图 图2 阅盟学堂ZKSX89 考点3等边三角形的性质与判定 8.如图，翻折矩形纸片ABCD,使AB与DC重9.如图，在等边三角形ABC中，M为边AB上任 合，得到折痕MN后将纸片展平；再一次翻 意一点，延长BC至点N,使CN=AM,连接 折，使点D落到MN上的点F处，折痕AP交 MN交AC于点P,MH⊥AC于点H, MN于点E;延长PF交AB于点G.求证： (1)求证：MP=NP; (1)△AFP≌△AFG; (2)若AB=a,求线段PH的长.（结果用含a (2)△APG为等边三角形 的代数式表示) M 3 B G 1;! 90阅盟学堂ZKSX 10.(1)如图1，在等边△ABC中，M是边BC上的动点（不含端点B,C),连接AM,将AM绕点M顺 时针旋转60°，点A的对应点为N,连接CN. ①求证：CN是△ABC的外角∠ACH的平分线； ②若AB=4,G是AC的中点，连接GN,则GN的最小值为 (2)如图2，在等边△ABC中，M是边BC上的动点（不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH 的平分线上一点，且∠AMN=60°.求证：AM=MN; (3)如图3，在等边△ABC中，M是边BC上的动点（不含端点B,C),N是△ABC的外角∠ACH 的平分线上一点，当AM=MN时，求证：∠AMN=60° 图1 图2 图3 阅盟学堂ZKSX91 考点④等腰三角形分类讨论 11.如图，△ABC的三个内角分别为20°，40°，12.如图，0是等边△ABC内一点，∠A0B= 120°，若AB=c,AC=b,BC=a,在BC上找 ! 100°，∠B0C=a.将△B0C绕点C顺时针 一点P,使△ABP为等腰三角形.这样的点 旋转60得到△ADC,连接OD. 有几个？并分别求出BP的长.（可用含a, (1)当a=150°时，试判断△A0D的形状， b,c的代数式表示) 并说明理由； (2)当△AOD是等腰三角形 时，求的度数 009 实战中考 13.(2023·天河区模拟)如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=8,0为BC的中点，⊙0分别与AB,AC 相切于D,E两点，则⊙0的半径长为 第13题图 第14题图 第15题图 第16题图 14.(2024·内江)如图，在△ABC中，∠DCE=40°，AE=AC,BC=BD,则∠ACB的度数 为 15.(2023·山东)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若∠DAE=30°， tan EAC=3,则BD= 16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D,DE∥AB,交AC于点E,DF⊥AB 于点F,DE=5,DF=3,则下列结论错误的是 () A.BF=1 B.DC=3 C.AE=5 D.AC=9 92阅盟学堂ZKSX 17.(2021·广州)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，E是AC的中点，且AC=AD. (1)尺规作图：作∠CAD的平分线AF,交CD于点F,连接EF,BF;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，若∠BAD=45°，且∠CAD=2∠BAC,求证：△BEF为等边三角形， 18.（2023·荆州)（新考法）如图，BD是等边△ABC的中线，以点D为圆心，DB的长为半径画弧， 交BC的延长线于点E,连接DE.求证：CD=CE. 19.(2024·江西)【追本溯源】题(1)来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2) (1)如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC,交AC于点D,过点D作BC的平行线，交AB于点E, 请判断△BDE的形状，并说明理由； 【方法应用】 (2)如图2，在口ABCD中，BE平分∠ABC,交边AD于点E,过点A作AF⊥BE交DC的延长线 于点F,交BC于点G ①图中一定是等腰三角形的有 () A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 ②已知AB=3,BC=5,求CF的长. 阅盟学堂ZKSX93 20.(2024·滨州)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现： ①如图，在△ABC中，若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题：既然①正确，那么进一步推得AB=AC,即有AB+BD=AC+CD. 若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B=∠C吗？ 基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不 同的证明方法如表所示。 小军 小民 证明：.AD⊥BC, 证明：分别延长DB,DC至E,F两，点，使得… ∴.△ADB与△ADC均为直角三角形.根据勾股定理，得… 【问题解决】 (1)完成①的证明； (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. B D 备用图 94阅盟学堂ZKSX