19.第五章 第19节 全等三角形 （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

第19节全等三角形 知识梳理 1.△ADC2.C 3.(1)证明：C是BD的中点， .BC DC. 在△ABC和△EDC中， AB=ED, BC=DC, LAC =EC, ∴.△ABC≌△EDC(SSS). (2)证明：：∠BAD=∠EAC, ∴.∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD 即∠BAC=∠EAD. 在△ABC和△AED中， rAB=AE, ∠BAC=∠EAD, LAC =AD .△ABC≌△AED(SAS). (3)证明：EF∥BC, .∴.∠EFD=∠BCA. :AB∥DE, ∴.∠A=∠D 在△ABC和△DEF中， rLA=∠D, AC=DF, L∠ACB=∠DFE, ∴.△ABC≌△DEF(ASA). (4)证明：在△ABE和△ACD中， rLB=∠C, ∠BAE=∠CAD, LAE =AD, ∴.△ABE≌△ACD(AAS). .AB=AC. (5)证明：AD⊥BD,AC⊥BC, ∠ADB=∠BCA=90. 在Rt△BCA和Rt△ADB中， [BA =AB, AC BD, ∴.Rt△BCA≌Rt△ADB(HL). .BC=AD. 4.B 核心考点 1.62.B 3.证明：DE∥AB, ∴.LEDC=∠CBA. 在△CDE和△ABC中， ∠EDC=∠CBA, CD=AB, I∠DCE=∠BAC, .△CDE≌△ABC(ASA). ∴.DE=BC. 阅盟 4.(1)证明：∠B=∠AED=∠C, 又，∠C=2∠B, ∠AEC=∠B+∠BAE ∠AED=∠B+∠BAE, =∠AED+∠CED .∠B+∠BAE=2∠B. ∴.∠BAE=∠CED. .∠B=∠BAE..∴.BE=AE 在△ABE和△ECD中， .BD=BE +ED=AE +ED=AC CD. r∠BAE=∠CED, 8.证明：如图，在BC上截取BE,使 ∠B=∠C, BE=AB,连接DE BE CD, .△ABE≌△ECD(AAS). ∴.AE=ED. .∠EAD=∠EDA. (2)解：：∠AED=∠C=60°， BD是∠ABC的平分线， AE =ED, .∠ABD=∠DBE .△AED为等边三角形 在△ABD和△EBD中， ∴.AE=AD=ED=4. rAB=EB, ∴.ED边上的高为AE·sin60°=23. ∠ABD=∠EBD 1 BD BD, '.SAASD= ×4×25=43. .△ABD≌△EBD(SAS). 5.证明：AB=AC, ∴.∠A=∠BED,AD=DE. .∠B=∠C. AD CD...DE =DC. AD=AE, .∠C=∠DEC .∠ADE=∠AED. 又：∠BED+∠DEC=180°， ·.∠ADB=∠AEC. LA=∠BED, 在△ABD和△ACE中， ∴.∠A+∠C=180°. r∠ADB=∠AEC, 实战中考 ∠B=∠C, 9.A10.D11.D LAB=AC, 12.解：(1)如图1所示，△ACD即为 .△ABD≌△ACE(AAS). 所求. 6.(1)证明：∠ACB=90°， ∴.∠ECB+∠DCA=90°， BE⊥CE,∴.∠ECB+∠EBC=9O° D ∴.∠DCA=∠EBC. 又AD⊥CE,BE⊥CE, B ∴.∠ADC=∠CEB=90°. 图1 在△ACD和△CBE中， ∠ADC=∠CEB, (2)如图2所示，直线1即为 ∠DCA=∠EBC, 所求. LAC=CB. ∴.△ACD≌△CBE(AAS). (2)解：·△ACD≌△CBE, .AD CE =25,CD=BE. CD=CE-DE=25-17=8, ,.BE=8. 图2 7.证明：如图，以AD为对称轴，把 13.证明：B是AD的中点， △ADC翻折得△ADE, .'AB BD. BC∥DE,∠ABC=∠D. 在△ABC和△BDE中， AB=BD D ∠ABC=∠D, 则△ADE≌△ADC, BC =DE. ∴.AE=AC,∠AED=∠C, .△ABC≌△BDE(SAS). DE=DC. .∠C=∠E. 学堂XTPZK GZSX13课堂本参考答案 14.证明：∠B=∠C,.AB=AC. .'AF=2AE..BD=2AE. 在△ABD和△ACE中， (3)0C=OB+AF,证明如下： rAB=AC, 如图3，作AE⊥OC于点E, ∠B=∠C, BD=CE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS). 15.解：(1)如图1，过点A作AD1 CO于点D, 图3 AE⊥0C,AF⊥y轴，.四边形 OFAE是矩形，∠AEC=90°. ..AF=OE. :△ABC是等腰直角三角形， 图1 BC=AC,直角顶点C在x轴上， :点C的坐标是(2,0)，点A的 ∠B0C=90°， 坐标是(-2，-2)， .∴.∠BCA=90°，∠BC0+∠CB0= ∴.AD=2,CD=4,C0=2 90°，∠BC0+∠ACE=90°. ,△ABC是等腰直角三角形， ·∠CBO=∠ACE. .BC=AC, 在△BOC和△CEA中， ∠B0C=∠ADC=90, ∠BOC=∠CEA, ∠CBO=∠ACE, AC=√AD2+CD2=2W5. BC CA, ∴.BC=2V5. .△BOC≌△CEA(AAS) BC2=0C2+0B2, ∴.OB=CE. ∴.0B=4,即点B的坐标为(0,4). .OC=EC+OE.OE=AF.OB= (2)BD=2AE,理由如下： EC,∴.OC=OB+AF. 如图2，延长AE交BC的延长线 第20节特殊三角形 于点F, 知识梳理 1.(1)70或40° (2)①CD∠2 ②BD⊥ ③1= (3)是是否 图2 2.(1)是是是(2)D △ABC是等腰直角三角形， 3.(1)①90°②AB2③= ④BC BC=AC,直角顶点C在x轴上， (2)①D②是是是 AE⊥y轴于点E, 4.3 .∠BCA=∠ACF=90°， 核心考点 ∠AED=90°， 1.证明：（1)：△ABC为等边三 ∴.∠DBC+∠BDC=90°， 角形， ∠DAE+∠ADE=90°. ∴.∠ABD=∠C=60°，AB=BC. .·∠BDC=∠ADE, 在△ABD和△BCE中， ∴.∠DBC=∠FAC rAB=BC, 在△BDC和△AFC中， ∠ABD=∠C, r∠BCD=∠ACF, BD =CE, BC=AC, .△ABD≌△BCE(SAS). L∠DBC=∠FAC, ∴AD=BE .△BDC≌△AFC(ASA). (2)由(1)得△ABD≌△BCE, .BD=AF. .∠BAD=∠CBE. ,BE⊥AE,y轴恰好平分∠ABC, ∠ABC=60°， 阅盟学堂XTPZK GZSX14课堂本参考答案 ,∠ABE+∠CBE=∠ABE+ ∠BAD=60°，即∠AFE=60°. 2.证明：如图，连接DF,DE. D AB=AC,∴∠B=∠C. 在△BDF和△CED中， BD=CE, ∠B=∠C, BF=CD. ∴.△BDF≌△CED(SAS) ∴.DF=ED 又G是EF的中点，∴.DG⊥EF 3.证明：在△ABD和△BAC中， .AD=BC. BD=AC, LAB BA, .∴.△ABD≌△BAC(SSS). ∴.∠ABD=∠BAC.∴.OA=OB. ∴.△OAB是等腰三角形 4.解：CE,CF分别平分∠ACB和它 的外角∠ACG, .∴.∠BCE=∠ACE, ∠ACF=∠GCCE. :EF∥BC, ∴.∠DEC=∠BCE. ∠GCF=∠CFD. .∠DEC=∠ACE, ∠ACF=∠CFD. .DE DC,DC=DF. .DE DF. 5.c 6.（1)证明：∠ACB=90°， M为边AB的中点， ∴.MC=MA=MB. .∠MCA=∠A=50°， ∠MCB=∠B=40°. ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80°. .:∠ACE=30° ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°. .∠MEC=∠EMC..CE=CM. （2)解：AB=4, *.CE-CM-]AB-2 ·EF⊥AC,∠ACE=30°， ∴.FC=CE·cos30°=√5.第19节 全等三角形 知识梳理 知识点1工全等三角形的定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形， 1.如图，△ABC沿直线AC对折与△ADC重合， 则△ABC兰 知识点2】全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边、对应角相等； 2.（RJ八上P40改编)如图，△ABC兰△DEF (2)全等三角形的对应角平分线、对应边上的 下列判断错误的是 中线、对应边上的高相等； A.AB=DE (3)全等三角形的周长相等、面积相等 B.∠B=∠E C.AC=EF D.SAABC=S△DEr 知识点3全等三角形的判定方法 (1)三边分别相等的两个三角形全等(SSS); 3.(1)(2023·云南)如图，C是BD的中点，AB= ED,AC=EC.求证：△ABC≌△EDC. (2)两边和它们的夹角分别相等的两个三角形 (2)(2023·从化区模拟)如图所示是燕子风 全等(SAS); 筝的骨架图，其中AB=AE,AC=AD, ∠BAD=∠EAC.求证：△ABC兰△AED. 阅盟学堂ZKSX81 （3)两角和它们的夹边分别相等的两个三角 ! (3)(2023·从化区模拟)如图，F,C是AD 形全等(ASA); 上的两点，且BC∥EF,AB∥DE,AC= DF.求证：△ABC≌△DEF. (4)两角分别相等且其中一组等角的对边相 (4)(RJ八上P40改编)如图，CD和BE相交 等的两个三角形全等(AAS); 于点O,AD=AE,∠B=∠C. 求证：AB=AC. --- (5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角 (5)(RJ八上P42)如图，AC=BD,AD⊥BD 三角形全等(HL). 于点D,AC⊥BC于点C.求证：BC=AD. 知识点4幻证明三角形全等的思路 ①找夹角SAS 4. 如图，在△ABC和△DCB中，∠ACB= 已知两边， ②找另一边SSS ∠DBC,添加一个条件，不能证明△ABC和 ③找直角→HL或SAS △DCB全等的是 ①边为角的对边→找任一角→AAS A.∠ABC=∠DCB 已知一边 找夹角的另一边SAS B.AB=DC 和一角 ②边为角 找夹边的另一角→ASA C.AC=DB 的邻边 找边的对角→AAS D.∠A=∠D ①找夹边ASA 已知两角 ②找角的对边→AAS 82 阅盟学堂ZKSX 核心考点 考点工全等三角形的性质 1.如图，△ABC≌△A'B'C',其中，AB=2,BC=2.如图，△ABC≌△ADC,∠ABC=118°，∠DAC= 4.则A'B′+B'C'= 40°，则∠BCD的度数为 A.40° B.44° C.50° D.84° 考点2全等三角形的判定 3.如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=4.(2023·聊城)如图，在四边形ABCD中，E是 AB,DE∥AB,∠DCE=∠A.求证：DE=BC. 边BC上一点，且BE=CD,∠B=∠AED=∠C. (1)求证：∠EAD=∠EDA; (2)若∠C=60°，DE=4,求 △AED的面积 5.（2023·白云区模拟)如图，点D,E在△ABC6.如图，∠ACB=90°，AC=BC,BE⊥CE,AD1 的边BC上，AB=AC,AD=AE. 1 CE,垂足分别为E,D,AD=25,DE=17. 求证：△ABD兰△ACE. (1)求证：△ACD≌△CBE; (2)求线段BE的长 C i:! 阅盟学堂ZKSX83 考点3造全等，用全等 7.如图，在△ABC中，AD⊥BC,若∠C=2∠B.8.如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的平 求证：BD=AC+CD. 分线，AD=CD,求证：∠A+∠C=180 实战中考 9.(2024·北京)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法， (1)如图，以点0为圆心，任意长为半径画孤，分别交OA,OB于点C,D; (2)作射线O'A',以点O'为圆心，OC长为半径画孤，交O'A'于点C';以，点C'为圆心，CD长为半 径画孤，两孤交于点D'; (3)过，点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. B 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD的依 据是 () A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 10.(2024·安徽)在凸五边形ABCDE中，AB=AE,BC=DE,F是CD的中点.下列条件中，不能推 出AF与CD一定垂直的是 () A.∠ABC=∠AED B.∠BAF=∠EAF C.∠BCF=∠EDF D.∠ABD=∠AEC 84阅盟学堂ZKSX 11.(2024·遂宁)如图1，△ABC与△A1BC1满足∠A=∠A1,AC=A1C1,BC=B1C1,∠C≠∠C1,我 们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图2，在△ABC中，AB=AC,点D,E在线段BC 上，且BE=CD,则图中共有“伪全等三角形” () B A D 图1 图2 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 12.如图，在6×6的网格中，△ABC的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出△ACD,使△ACD与△ACB全等，顶点D在格点上； (2)在图2中过点B画出平分△ABC面积的直线1. 图1 图2 13.(2023·广州)如图，B是AD的中点，BC∥DE,BC=DE.求证：∠C=∠E. 14.(2022·广州)如图，点D,E在△ABC的边BC上，∠B=∠C,BD=CE.求证：△ABD≌△ACE. 阅盟学堂ZKSX85 15.如图，△ABC是等腰直角三角形，BC=AC,直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上 （1)如图1，若点C的坐标是(2,0)，点A的坐标是(-2，-2)，求点B的坐标. (2)如图2，若y轴恰好平分∠ABC,AC与y轴交于点D,过点A作AE⊥y轴于点E,问BD与AE 有怎样的数量关系？并说明理由 (3)如图3，直角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过点A作AF⊥y轴于点F,在 滑动的过程中，猜想OC,AF,OB之间的数量关系，并证明你的结论 图1 图2 图3 86阅盟学堂ZKSX