14.第三章 第14节 二次函数（2） （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

第14节 二次函数(2) 知识梳理 知识点工用函数观点看一元二次方程 (1)若抛物线y=a2+bx+c与x轴的交点为1.(1)抛物线y=x2-3x+2与x轴的交点为 (m,0),(n,0),则方程ax2+bx+c=0的解为 ,一元二次方程 x1= ,X2= ；抛物线y= x2-3x+2=0的根为 ax2+bx+c与y轴有且只有 个交点 (2)抛物线y=x2-2x-1与x轴有 ( 个公共点； (2) (3)(2023·荔湾区模拟)已知抛物线y=x2 -6x+m与x轴仅有一个公共点，则m △=b2-4ac 方程ax2+bx+c 抛物线y=ax+ =0(a≠0) bx+c(a≠0) 的值为 有两个 的 4>0 与x轴有 (4)已知二次函数y=-x2+bx+c的顶点为 实数根 交点 有两个 4=0 乐 与x轴有 个 (1,5),关于x的一元二次方程-x2+bx 实数根 交点 +c-m=0有两个相等的实数根，则m 4<0 实数根 与x轴有 交点 的值为 知识点2二次函数与一元二次不等式 y<0指抛物线在x轴下方图象的部分； 2.如图，二次函数y=x2-2x-3的图象与x轴 y>0指抛物线在x轴上方图象的部分； 的交点横坐标分别为-1,3，则 (1)当 时， y=0指抛物线与x轴的交点. y>0; (2)当 时，y=0; (3)当 时，x2< 2x+3. 知识点3二次函数与一次函数 (1)求抛物线与直线的交点坐标： 3.抛物线y=x2与直线y=3x-2的交点坐标 方法：联立方程组求解： 为 [y=ax2+bx+c, 4.如图，y1=ax2+bx+c与y2=mx+n的图象 Ly hx +m. 交于点A(-1,0),B(-4,2),则 (2)两个函数y1,y2比较大小： (1)当 时， y1>y2,是指y1比y2图象高的部分； y1=y2; y1=y2,是指y1与y2图象的 部分； (2)当 时， y1<y2,是指 部分 ax2+bx+c≤mx+n; (3)当 时，y2≥0. 56阅盟学堂ZKSX 核心考点 考点工二次函数与方程、不等式关系 1.(2024·泰安)如图所示是二次函数y=ax2+2.(2023·从化区模拟)二次函数y=ax2+ bx+c(a≠0)的部分图象，该函数图象的对称 bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论 轴是直线x=1,图象与y轴交点的纵坐标是 2.则下列结论：①2a+b=0;②方程ax2+bx+ 中正确的有 () c=0一定有一个根在-2和-1之间；③方 ①abc>0;②4a+2b+c<0;③函数的最大值 程ar2+bx+c- -0一定有两个不相等的 为a+b+c;④当-3≤x≤1时，y≥0； 实数根；④b-a<2.其中正确结论的个数 ⑤x<-1时，y随x增大而减小. 是 YA A.4个 A.1 B.3个 B.2 C.3 C.2个 0 D.4 D.1个 考点2】二次函数的综合 3.(2024·白云区模拟)如图，在矩形ABCD中，AB=9,AD=12,点P从点A出发以每 秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B→A运动一周到点A停止.当点P不与矩形 ABCD的顶点重合时，过点P作直线PQ⊥AP,与矩形的另一边的交点为Q.若点P P 的运动时间为t,当8<t<10时，CQ长度的范围是 4.(2024·广州)已知抛物线G:y=ax2-6ax-a3+2a2+1(a>0)过点A(x1,2)和点B(x2,2), 直线L:y=m2x+n过点C(3,1),交线段AB于点D,记△CDA的周长为C1,△CDB的周长为 C2,且C1=C2+2. (1)求抛物线G的对称轴； (2)求m的值； (3)直线1绕点C以每秒3的速度顺时针旋转t秒后(0≤t<45)得到直线'，当'∥AB时，直 线'交抛物线G于E,F两点. ①求t的值； ②设△AEF的面积为S,若对于任意的a>0,均有S≥k成立，求k的最大值及此时抛物线 G的解析式. 阅盟学堂ZKSX57 实战中考 5.(2023·宁波)已知二次函数y=ax2-(3a+1)x+3(a≠0)，下列说法正确的是 () A.点(1,2)在该函数的图象上 B.当a=1且-1≤x≤3时，0≤y≤8 C.该函数的图象与x轴一定有交点 D.当a>0时，该函数图象的对称轴一定在直线x=的左侧 6.(2023·随州)如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(6,0)，对称轴 为直线x=2.则下列结论正确的有 ①abc<0;②a-b+c>0;③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1= 6 ④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<2<x2且x1+x2>4,则y1<y2: A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.（2024·烟台)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x -4 -3 1 0 9 5 -27 下列结论： ①abc>0; ②关于x的一元二次方程ax2+bx+c=9有两个相等的实数根； ③当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5; ④若点(m,y1),(-m-2,y2)均在二次函数图象上，则y1=y2; ⑤满足ax2+(b+1)x+c<2的x的取值范围是x<-2或x>3. 其中正确结论的序号为 8.（2016·广州改编)已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B. (1)求m的取值范围； (2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,并求出点P的坐标 58阅盟学堂ZKSX 9.(2019·广州改编)已知抛物线G:y=mx2-2mx-3有最低点. (1)求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）； (2)将抛物线G向右平移m个单位长度得到抛物线G1·经过探究发现，随着m的变化，抛物线 G,顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. 10.(2022·广州改编)已知直线l:y=kx+b经过点(0,7)和点(1,6). (1)求直线l的解析式； (2)若点P(m,n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0，-3)，且开口向下.求m的取 值范围。 阅盟学堂ZKSX59 11.(2024·甘孜州)【定义与性质】 如图，记二次函数y=a(x-b)2+c和y=-a(x-p)2+q(a≠0)的图象分别为抛物线C和C1. 定义：若抛物线C,的顶点Q(P,g)在抛物线C上，则称C是C的伴随抛物线， 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若C,是C的伴随抛物线，则C也是C的伴随抛物线，即C的顶点P(b,c)在C,上 【理解与运用】 ()若二次函数y=-x-2)2+m和y=-(x-m)2+的图象都是抛物线y=的件 随抛物线，则m=,n=； 【思考与探究】 (2)设二次函数y=x2-2kx+4k+5的图象为抛物线C2. ①若函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线Co,且C2始终是Co的伴随抛物线，求d,e的值； ②在①的条件下，若抛物线C2与x轴有两个不同的交点(x1,0),（x2,0)(x1<x2),请直接 写出x1的取值范围. 备用图 60阅盟学堂ZKSX5.解：(1)设y与x之间的函数关系式 如图所示 是y=hx+b, r40k+b=164, 由表格可得 0k+b=124, 解得作-4， b=324, 5-5-4321012345671 ∴y与x之间的函数关系式是 y=-4x+324(30≤x≤80，且x是整 数) 6 (3)在对称轴直线x=1右侧， (2)依题意，得 y随x的增大而减小， 0=x(-4x+324)-2000 =-4x2+324x-2000, 又1>x2>1,.y1<y2 (4)-1≤y≤3 ∴.w与x之间的函数关系式是 11.解：(1)当m=0时，抛物线为 0=-4x2+324x-2000(30≤x≤80， y=x2-x+3, 且x是整数) 将x=2代人，得y=4-2+3=5, (3)由(2)得 ∴.点(2,4)不在该抛物线上 0=-4x2+324x-2000 (2)抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3 的顶点坐标为 /m+1-m2+6m+11 :-4<0,30≤x≤80，且x是整数， 2, ∴.当x=40或41时，0取得最大值， 顶点移动到最高处，此时顶点纵 此时w=4560. 坐标最大， 答：该影院将电影票售价x定为40 而-m+6m+业。- 元/张或41元/张时，每天获利最 4(m-3)2+5, 大，最大利润是4560元. 当m=3时，纵坐标最大，此时 6.解：(1)2x+y=80, 顶点移动到了最高处 .y=-2x+80. 此时顶点坐标为(2,5)： S=xy, 2,解：1)：A3,2）是地物线 .S=x(-2x+80) y=-x2+bx上的一点， =-2x2+80x. -+36=是解得6=子 (2)y≤42， ∴.-2x+80≤42，解得x≥19. ∴.抛物线的解析式为 .∴.19≤x<40. 当S=750时，-2x2+80x=750, +子 解得x1=25,x2=15(舍去). (2):抛物线为 ∴.当x=25时，矩形实验田的面积S 能达到750m2. (3)S=-2x2+80x “抛物线最高点的坐标为子) =-2(x2-40x) (3):B是线段OA的三等分点， =-2(x2-40x+400-400) OB 1 =-2(x-20)2+800, 0A3 ,当x=20时，矩形实验田的面 如图，过点A,B分别作x轴的垂 积S最大，最大面积是800m2. 线，垂足分别是E,D, 实战中考 y 7.<8.-1<n<09.3 10.解：(1)直线x=1(1,3) (2)-10123 -1232-1 阅盟学堂XTPZK GZSX9课堂本参考答案 .∠BOD=∠AOE, ∠BDO=∠AEO, .△OBD△OAE. OD=BD_OB 1 0E=AE=0A=3 又：43，》， A5=是，0E=3 1.31 0D=0=x3=1. .点C的横坐标为1. 7 将x=1代入y=-+2x中， 得y=-12+2 ×1=2 5 点C的坐标为(1，) .CD=2 5 CB=C0-8m=号-分-2 答：这棵树的高度是2 第14节二次函数(2) 知识梳理 知识点1 (1)mn 一0c (2)不相等2相等1无0 1.(1)(1,0)和(2,0)x=1,x2=2 (2)2(3)9(4)5 2.(1)x<-1或x>3 (2)x=-1或3 (3)-1<x<3 知识点3 (2)交点y1比y2图象低的 3.(1,1),(2,4) 4.（1)x=-1或-4 (2)-4≤x≤-1(3)x≤-1 核心考点 1.B2.B3.3<CQ≤4 4.解：(1)由抛物线G的表达式知，其 对称销为直线=一2=3 (2).直线l:y=m2x+n过点C (3,1), .该直线的表达式为 y=m2(x-3)+1. 当y=2时，m2(x-3)+1=2,则 1 x0=2+3, m C1=C2+2,即 AC+CD+AD=BC+CD+BD+2, 又，C(3,1)在抛物线的对称 解得m子分且m0 轴上， (2)证明：依题意，得 .AC=BC,上式变为AD=BD+2, y=m(x2-2x-3)+x+1, 即2x0=xA+xg+2. :抛物线一定经过非坐标轴上的 而抛物线G的对称轴为直线x=3, 一点P, 由抛物线的对称性知 x2-2x-3=0. xA+xg=2×3=6, ∴.x=3或x=-1 即2xD=x4+xg+2=8, 当x=-1时，y=0,此时不符合 1 题意； 则，+3=4，解得m=士1. 当x=3时，y=4.∴.P(3,4) (3)①当m=±1时，一次函数的 9.解：(1)y=mx2-2mx-3 表达式为 =m(x-1)2-m-3, y=m2(x-3)+1=x-2, 抛物线有最低点， 该直线和x轴的夹角为45°， .二次函数y=mx2-2mx-3的最 .t=45÷3=15(秒). 小值为-m-3. ②由①知，1'为y=1,如图， (2)抛物线G: y=m(x-1)2-m-3, ∴.平移后的抛物线G: y=m(x-1-m)2-m-3. ∴.抛物线G,的顶点坐标为 (m+1,-m-3). .x=m+1,y=-m-3. .x+y=m+1-m-3=-2, 则s=f(-)= 即x+y=-2,变形得y=-x-2. m>0,m=x-1, 当y=1时， .x-1>0..x>1. ax2-6ax-a3+2a2+1=1, y与x的函数关系式为 即x2-6x-a2+2a=0, y=-x-2(x>1). 设点E,F的横坐标为m,n, 10.解：(1)将点(0,7)和点(1,6)代 则m+n=6, 入y=kx+b, mn=-a2+2a, ∴EF2=(m-n)2 得6=7， 解得=-1， 1k+b=6,f可1b=7. =(m+n)2-4mn ∴.直线的解析式为 =4(a2-2a+9) y=-x+7. =4(a-1)2+32, (2)点P(m,n)在直线l上， 即EF=√4(a-1)2+32. ∴.n=-m+7. 4>0, 设抛物线的解析式为 .当a=1时，EF有最小值，为4√2， y=a(x-m)2+7-m, 此时S=分×4-22 :抛物线经过点(0，-3)， ∴.am2+7-m=-3. :对于任意的a>0,均有S≥k 成立， .a=m-10 m2 k的最大值为22， 抛物线开口向下，∴.a<0. 此时抛物线的解析式为 m-10<0.m<10且m≠0 y=x2-6x+2. m 实战中考 1 11.解：(1)：二次函数y=-2(x- 5.C6.B7.①②④ 8.(1)解：依题意，得 2)2+m和y=- 「m≠0， 1(1-2m)2-4m(1-3m)>0, 的图象都是抛物线了=分的 阅盟学堂XTPZK GZSX10课堂本参考答案 伴随抛物线， ×2=m,3=2 1 .m=2,n=±1. 故答案分别为2，±1. (2)①y=x2-2kx+4+5= (x-k)2-k2+4k+5, .抛物线C2的顶点为 (k,-2+4h+5). 又.C2始终是C的伴随抛物线， .可令k=0,顶点为(0,5)；k=1, 顶点为(1,8). i rd=4, 解得{e=5. ②：C2与x轴有两个不同的交 点(x1,0),(x2,0), 由①得函数y=-x2+4x+5的 图象为抛物线C。,且C2始终是 C。的伴随抛物线， ∴.顶点坐标(k,-2+4k+5)在 y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9的 图象上滑动，且C,的顶点为(2,9). 当-x2+4x+5=0时， 解得x=-1或x=5, 故抛物线C,与x轴交于(-1,0)， (5,0)两点. ∴.当C2的顶点在(-1,0)下方 时，抛物线与x轴有两个交点， 此时x1<-1. :C2是C,的伴随抛物线，则C, 也是C2的伴随抛物线， .C的顶点(2,9)在C2上 .当C2的顶点在(5,0)下方时， 2<x1<5. 综上所述，x1的取值范围为 x1<-1或2<x1<5. 第四章统计与概率 第15节统计 知识梳理 1.B2.(1)B(2)D 3.(1)D(2)B 4(号 (2)乙5.C 核心考点 1.B2.C3.A 4.解：(1)依题意，得 甲组的平均成绩： 91+80+78=83, 3 乙组的平均成绩：