13.第三章 第13节 二次函数（1） （课堂本）-【中考专项新突破】2025年广州中考数学复习

第13节二次函数(1) 知识梳理 知识点工)二次函数的概念 形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函1.已知关于x的函数y=(m+1)x2+x是二次 数叫做二次函数， 函数，则m 知识点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象及性质 图象 2.(1)对于=次函数)=子+-4，下列说 (a>0) (a<0) 法正确的是 ( 开口方向 向上 向下 A.当x>0时，y随x的增大而增大 顶点坐标 b 4ac-b2 2a'4a B.当x=2时，y有最大值-3 C.图象的顶点坐标为(-2，-7) 对称轴 直线x=- 2a D.图象与x轴有两个交点 (2)把y=-x2-2x+1配成顶点式y=a(x- 最值 当x= 时，-ac - 2a Aa h)2+k的形式： ,当 ①a>0,当x<- 品时，度的增大而减小，当 x= 时，y的最 值为 (3)已知二次函数y=(x-1)2-2, x>- 时，y随x的增大而增大； 2a ①当0≤x≤3时，y的取值范围是 增减性 ②a<0,当x<- b 2a 时，y随x的增大而增大，当 ； ②当2≤x≤3时，y的取值范围是 2a时，y随x的增大而减小 x> 知识点3]二次函数的平移规律 上加下减y=a(x-h)2+k, 3.（2024·包头)将抛物线y=x2+2x向下平移 ! 2个单位长度后，所得到的新抛物线的顶点 其中，h决定左右平移，飞决定上下平移 式为 ( A.y=(x+1)2-3 B.y=(x+1)2-2 C.y=(x-1)2-3 D.y=(x-1)2-2 知识点4④待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式 选用条件 4. 已知抛物线的顶点为(1,2)，且过点(2,3)， 一般式y=ax2+bx+c 已知任意三点 ! 求它的解析式。 已知抛物线的顶，点及另 顶点式y=a(x-h)2+k 一点 已知抛物线与x轴的两个交 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 点及另一点 阅盟学堂ZKSX51 知识点5二次函数的应用 在解决实际问题时，要充分利用条件，找出各5.矩形的周长为20c,若它的一边长为 个变量与常量之间的关系，建立数学模型（必 x（cm),它的面积为y(cm2),则 要时要建立平面直角坐标系)，将实际问题转 ! (1)面积y与边长x之间的函数关系式为 化为数学问题，可以利用二次函数求最值 问题. (2)当x= 时，y有最大值为 核心考点 考点工)二次函数的图象与性质 1.(2024·广州)函数y1=ax2+bx+c与y2= k2.(2024·齐齐哈尔)如图，二次函数y=ax2+ bx+2(a≠0)的图象与x轴交于点(-1,0)， 的图象如图所示，若y1,y2均随着x的增大 (x1,0),其中2<x1<3.结合图象给出下列 而减小，则x的取值范围是 结论： A.x<-1 ①ab>0;②a-b=-2;③当x>1时，y随x B.-1<x<0 的增大而减小；④关于x的一元二次方程 C.0<x<2 a+m+2=0(a≠0)的另一个根是-2 D.x>1 ⑤6的取值范围为1<6<专 其中正确结论的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 2 考点2求抛物线解析式 3.（1)(2021·广州)抛物线y=ax2+bx+c经4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y= 过点(-1,0)，(3,0)，且与y轴交于点 x2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0), B(3,0),与y轴交于点C. (0,-5),则当x=2时，y的值为（) (1)b= ,C= A.-5B.-3 C.-1D.5 (2)若点D在该二次函数的图象上，且SA4D= (2)(23·越秀区模拟)抛物线6y=了+ 2SA4Bc,求点D的坐标. 3与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点 B,将抛物线G沿直线AB平移得到抛物 线H,若抛物线H与y轴交于点D,则点 D的纵坐标的最大值是 ( B C.3 1 D.2 52阅盟学堂ZKSX 考点3二次函数的应用 5.(2024·滨州)春节期间，全国各影院上映多部6.(2024·湖北)如图，某校劳动实践基地用总 影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院 ! 长为80m的栅栏围成一块一边靠墙的矩形 每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x 实验田，墙长为42m,栅栏在安装过程中不 (单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤ 重叠、无损耗.设矩形实验田与墙垂直的一 80,且x是整数)，部分数据如下表所示： - 边长为x(单位：m),与墙平行的一边长为y 电影票售价x(元/张) 40 50 (单位：m),面积为S(单位：m2) 售出电影票数量y(张) 164 124 (1)直接写出y与x,S与x之间的函数解析 式.（不要求写x的取值范围） (1)请求出y与x之间的函数关系式 (2)设该影院每天的利润（利润=票房收入-运 (2)矩形实验田的面积S能达到750m2吗？ 营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的 如果能，求x的值；如果不能，请说明 函数关系式 理由. (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S (3)该影院将电影票售价x定为多少时，每 最大？最大面积是多少？ 天获利最大？最大利润是多少？ 42m 墙 实验田 阅盟学堂ZKSX53 实战中考 7.(2023·广州)已知点A(x1,y1),B(x2,2)在抛物线y=x2-3上，且0<x1<x2,则y12 (填“<”“>”或“=”)》 8.(2023·福建)已知抛物线y=ax2-2ax+b(a>0)经过A(2n+3,y1),B(n-1,y2)两点，若点A, B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1<y2,则n的取值范围是 9.(2024·广西)如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度0P是子m,出手后实心球沿一 段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为M,则OM的长 为 m. 5m 10.(2010·广州改编)已知抛物线y=-x2+2x+2. (1)该抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 (2)选取适当的数据填入下表，并在如图所示的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； 6y y … (3)若该抛物线上两点A(x1,y1),B(x2,y2)的横坐标满足 -6-5-4324101234567 x1>x2>1,试比较y1与y2的大小； (4)当0≤x≤3时，y的取值范围是 11.(2021·广州改编)已知抛物线y=x2-（m+1)x+2m+3. (1)当m=0时，请判断点(2,4)是否在该抛物线上； (2)该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标， 54阅盟学堂ZKSX 12.(2024·青海)在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA,从点0处抛出一个小球，落到 点A3,引)处，小球在空中所经过的路线是抛物线)=-+：的一部分 (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标； (3)斜坡上点B处有一棵树，B是线段OA的三等分点，若小球恰好越过树的顶端C,求这棵树 的高度 B 阅盟学堂ZKSX55易证△CAE∽△DAO. .ACAE ADA0,解得AC=15. 点C的坐标为(15-2,0)，即 (13,0). 设直线BC的函数表达式为 y=mx+n(m≠0)， 将点B(1,9),C(13,0)代入 y=m+n,得m+n=9, l13m+n=0, 【m=-4 解得 39 n=4 ∴.直线BC的函数表达式为 3.39 y=-4+4 令+2 +4=， 整理得x2-13x+12=0, 解得x1=1,x2=12. 经检验，x1=1,x2=12均为所列 方程的解，x1=1不符合题意，舍 去，x2=12符合题意 当=12时y=品=子 93 ∴点P的坐标为(12，) 实战中考 8.C9.C 10.k=4(答案不唯一)11.8 12.解：(1)将点A,B的坐标代入反 比例函数的表达式，得 k=4×1=-n, 解得k=4,n=-4. 一反比例函数的表达式为y=4 点B的坐标为(-4，-1). 将点A,B的坐标代入一次函数 的表达式，得+6=4， 1-4a+b=-1, ra=1, 解得b=3. .一次函数的表达式为y=x+3. (2)观察函数图象知，不等式 ax+b<k的解集为0<x<1或 x<-4. (3)设点C的坐标为m,),点 D的坐标为(x,0), 当AB为对角线时，由中点坐标 公试，得4-1=片解得m 3， 阅盟学堂 则点C的坐标为（号，3}： A0=√AE2+0E=5. .△CPD△AEO, 当AC或AD为对角线时，同理可 .∠CDP=∠AOE 得4+4=-1或4=4-1， sin L CDB sin LAOE=AE AO 解得m=士子， -2=25 则点C的坐标为 √5 51 (-专-5列成（等} 第13节 二次函数(1) 知识梳理 综上所述，点C的坐标为子3)或 1.≠-1 2.(1)B (-÷,或5 (2)y=-(x+1)2+2-1大2 3.解：(1)设S与d的反比例函数 (3)①-2≤y≤2②-1≤y≤2 关系式为$= V 3.A 4.解：抛物线的顶点为(1,2)， 把点(20.5s0)代入得六=50. ∴.设该抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+2. .V=500×20=10000(m3). 该抛物线过点(2,3)， (2)当d=16时，S=1000=625； .a(2-1)2+2=3,解得a=1. 16 ∴.该抛物线的解析式为 当d=25时，S=10,00=40. 25 y=(x-1)2+2. V>0,且d>0, 5.(1)y=-x2+10x(0<x<10) ∴.S随d的增大而减小 (2)525 .当16≤d≤25时， 核心考点 400≤S≤625. 1.D2.C3.(1)A(2)B 4.(1)解：将点P(-1,2)代入 4.解：(1)点A和点B在二次函数 y=mx,得-m=2,解得m=-2, y=x2+bx+c的图象上， ∴.正比例函数解析式为y=-2x; 由交点式，有 将点P(-1,2)代人y=n-3得 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3, .b=-2,c=-3. -(n-3)=2,解得n=1, 故答案分别为-2，-3. .反比例函数解析式为y=一 2 (2)如图，连接BC,AC, 联立正、反比例函数解析式成方 ry=-2x, 程组，得 y-、2 t, 解得厂元=-1∫=1， ly1=2,ly2=-2, 由(1)可得y=x2-2x-3, .点A的坐标为(1，-2). ∴.C(0,-3). (2)证明：·四边形ABCD是 1 菱形， SAac=2×4×3=6, ∴AC⊥BD,AB∥CD. SAABD =2SAARC ∴.∠DCP=∠BAP, 设点D(m,m2-2m-3), 即∠DCP=∠OAE. .AB⊥x轴， 4Bl-2x6, .∠CPD=∠AE0=90. 即7×4xm-2m-3引=2x6, '.△CPD∽△AEO. (3)解：点A的坐标为(1，-2)， 解得m=1+√10或m=1-√10， .AE=2,0E=1. ∴.D(1+√10,6)或(1-√10,6). XTPZK GZSX8课堂本参考答案 5.解：(1)设y与x之间的函数关系式 如图所示 是y=hx+b, r40k+b=164, 由表格可得 0k+b=124, 解得作-4， b=324, 5-5-4321012345671 ∴y与x之间的函数关系式是 y=-4x+324(30≤x≤80，且x是整 数) 6 (3)在对称轴直线x=1右侧， (2)依题意，得 y随x的增大而减小， 0=x(-4x+324)-2000 =-4x2+324x-2000, 又1>x2>1,.y1<y2 (4)-1≤y≤3 ∴.w与x之间的函数关系式是 11.解：(1)当m=0时，抛物线为 0=-4x2+324x-2000(30≤x≤80， y=x2-x+3, 且x是整数) 将x=2代人，得y=4-2+3=5, (3)由(2)得 ∴.点(2,4)不在该抛物线上 0=-4x2+324x-2000 (2)抛物线y=x2-(m+1)x+2m+3 的顶点坐标为 /m+1-m2+6m+11 :-4<0,30≤x≤80，且x是整数， 2, ∴.当x=40或41时，0取得最大值， 顶点移动到最高处，此时顶点纵 此时w=4560. 坐标最大， 答：该影院将电影票售价x定为40 而-m+6m+业。- 元/张或41元/张时，每天获利最 4(m-3)2+5, 大，最大利润是4560元. 当m=3时，纵坐标最大，此时 6.解：(1)2x+y=80, 顶点移动到了最高处 .y=-2x+80. 此时顶点坐标为(2,5)： S=xy, 2,解：1)：A3,2）是地物线 .S=x(-2x+80) y=-x2+bx上的一点， =-2x2+80x. -+36=是解得6=子 (2)y≤42， ∴.-2x+80≤42，解得x≥19. ∴.抛物线的解析式为 .∴.19≤x<40. 当S=750时，-2x2+80x=750, +子 解得x1=25,x2=15(舍去). (2):抛物线为 ∴.当x=25时，矩形实验田的面积S 能达到750m2. (3)S=-2x2+80x “抛物线最高点的坐标为子) =-2(x2-40x) (3):B是线段OA的三等分点， =-2(x2-40x+400-400) OB 1 =-2(x-20)2+800, 0A3 ,当x=20时，矩形实验田的面 如图，过点A,B分别作x轴的垂 积S最大，最大面积是800m2. 线，垂足分别是E,D, 实战中考 y 7.<8.-1<n<09.3 10.解：(1)直线x=1(1,3) (2)-10123 -1232-1 阅盟学堂XTPZK GZSX9课堂本参考答案 .∠BOD=∠AOE, ∠BDO=∠AEO, .△OBD△OAE. OD=BD_OB 1 0E=AE=0A=3 又：43，》， A5=是，0E=3 1.31 0D=0=x3=1. .点C的横坐标为1. 7 将x=1代入y=-+2x中， 得y=-12+2 ×1=2 5 点C的坐标为(1，) .CD=2 5 CB=C0-8m=号-分-2 答：这棵树的高度是2 第14节二次函数(2) 知识梳理 知识点1 (1)mn 一0c (2)不相等2相等1无0 1.(1)(1,0)和(2,0)x=1,x2=2 (2)2(3)9(4)5 2.(1)x<-1或x>3 (2)x=-1或3 (3)-1<x<3 知识点3 (2)交点y1比y2图象低的 3.(1,1),(2,4) 4.（1)x=-1或-4 (2)-4≤x≤-1(3)x≤-1 核心考点 1.B2.B3.3<CQ≤4 4.解：(1)由抛物线G的表达式知，其 对称销为直线=一2=3 (2).直线l:y=m2x+n过点C (3,1), .该直线的表达式为 y=m2(x-3)+1. 当y=2时，m2(x-3)+1=2,则 1 x0=2+3, m C1=C2+2,即