精品解析：山东省日照市新营中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025-2026学年度上学期 八年级数学阶段性检测题 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，根据直角三角形的两个锐角互余可得答案． 【详解】解：直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是： ， 故选：C 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质进行判断即可． 【详解】解：由图可知：是边长为的边的一个邻角， ∵两个三角形全等， ∴； 故选A． 3. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， A、添加，可利用角角边证明，故本选项不符合题意； B、，满足边边角，无法判断，故本选项符合题意； C、添加，可利用边角边证明，故本选项不符合题意； D、添加，可得，可利用角边角证明，故本选项不符合题意； 故选：B. 4. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键． 利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、平行线的性质即可确定答案． 【详解】解：由图①知，根据同角的余角相等得：； 由图②知，根据等角的补角相等得：； 由图③知，根据两直线平行，内错角相等得：； 由图④知，，则，故与不一定相等； ∴图中与一定相等的有3个， 故选：C． 5. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形对应角相等，，所以，再根据角的和差关系代入数据计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键． 6. 下列说法错误的是（ ）． A. 锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点 B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部 C. 直角三角形只有一条高线 D. 任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线 【答案】C 【解析】 【详解】A、正确，锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点，不符合题意； B、正确，钝角三角形有两条高线在三角形的外部，不符合题意； C、错误，直角三角形也有三条高线，符合题意； D、正确，不符合题意． 故选C． 7. 如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等分两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵与全等， ∴有两种情况：①，， 解得，， ∴； ②，， 解得，， ∴； ∴的值是或， 故选：． 8. 如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系和不等式的性质解答． 【详解】解：由三角形两边的和大于第三边， ；， A、B选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， ， ． C选项正确，不符合题意； 将不等式左边，右边分别相加， D项无法推出，符合题意． 故选D． 9. 如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称——最短路线问题、角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H，结合角平分线的性质以及轴对称的性质可得点E在上，，根据题意可得， 进而可得答案． 【详解】解：作点Q关于的对称点E，连接， ，过点C作于点H， ∵是的角平分线，Q与E关于对称， 点E在上，， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为4.8， 故选：B． 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：；②若，则；②当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①② 【答案】C 【解析】 【分析】由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判定①；过点O作于P，由角平分线的性质可求解，再根据三角形的面积公式计算可判定②；在上取一点H，使，证得，得到，再证得，得到，进而判定③正确；作于于H，根据三角形的面积可证得④正确． 【详解】解：∵和的平分线相交于点， ， ∴ ． 故①错误． 过点O作于P， ∵平分，， ∴． ∵， ∴． 故②正确． ∵， ． ∵，分别是和的平分线， ． ． ∴． ∴． 如图，在上取一点H，使， ∵是的角平分线， ∴． 在和中， ， ， ． ． ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故③正确． 作于N，于H， ∵和的平分线相交于点，， 且，， ∴． ∴ ． 故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，角平分线的性质，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11. 如图，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用了__________． 【答案】三角形的稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性．根据图示，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁构成三角形，利用了三角形的稳定性，由此即可求解． 【详解】解：根据图示可得，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，构成三角形， 利用的是三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 12. 如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，等高三角形，能够熟练运用角平分线的性质是解决本题的关键． 过点作于点D，于点E，于点F，根据角平分线的性质可知三个三角形的高相等，故底之比等于面积之比，由此可得答案． 【详解】解：过点作于点D，于点E，于点F，如图， ∵和的角平分线交于点P， ∴，， ∴，设， ∵， ， ， ∵， ∴， 故答案为：． 13. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 14. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是_____． 【答案】1或2##2或1 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当和②当时，利用全等三角形对应边相等，列出方程即可求解，利用全等三角形对应边相等，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意知，，， ， ①当时， ∴， ， ； ②当时， ∴， ， ， 综上，当的值是1或2时，能够使与全等， 故答案为：1或2． 16. 如图，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE、OF，根据AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，可得△AOD≌△AOE，△BOC≌△BOF，从而得到∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF，进而得到∠AOE =∠BOF=45°，∠AOB=135°，OF平分∠BOE，然后设 的OD边的高为 ，AD边的高为 ，设 的BO边的高为 ，AB边的高为 ，则 ，，根据角平分线的性质，可得 ，从而得到，同理 ，再由OF平分∠BOE，同理 ，即可求解． 【详解】解：如图，在AB上截取AE=AD，BF=BC，连接OE、OF， ∵AC平分∠BAD，BD平分∠ABC， ∴ ，， ∵AE=AD，BF=BC，AO=AO，BO=BO， ∴△AOD≌△AOE，△BOC≌△BOF， ∴∠AOD=∠AOE，∠BOC=∠BOF，OD=OE，OC=OF， ∵∠DAB＋∠ABC＝90°， ∴∠OAE＋∠OBF＝45°， ∴∠AOD=∠BOC=45°， ∴∠AOE =∠BOF=45°，∠AOB=135°， ∴∠BOE=90°， ∴∠EOF=∠BOF=45°，即OF平分∠BOE， 设 的OD边的高为 ，AD边的高为 ，设 的BO边的高为 ，AB边的高为 ，则， ，， ∵AC平分∠BAD， ∴ ， ∵BO＝4OD， ∴ ， 同理 ， ∴AB=4AD， ∴ ， ∵OF平分∠BOE， 同理 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 三、解答题（本大愿共9小题，总分72分） 17. 已知：在中，是边上的高． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）在（1）的条件下：若，，求的度数． 【答案】（1） 如图，射线，即为所求． （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——角平分线，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解决问题的关键是掌握角平分线的定义以及尺规作图方法． （1）根据角平分线的尺规作图方法，即可作出的平分线； （2）根据三角形内角和求出 ，根据角平分线的定义求出，根据三角形外角性质即可得到的度数，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， ， ， 平分， ， ，为高， ， ． 18. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，求与的周长之差． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和中线，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）在中根据三角形内角和定理求出的度数，根据角平分线的定义求出的度数，在中根据三角形外角的性质即可求出的度数； （2）根据三角形中线的定义得出，再计算与的周长之差即可． 【小问1详解】 解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的中线， ∴， ∴与的周长之差为， ∵， ∴与的周长之差为9． 19. 如图，于，于，，. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理．熟练掌握全等三角形的判定及性质和角平分线的判定是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，根据角平分线判定定理即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，由线段的和差关系求出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质结合线段之间的和差关系进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 如图，，，，、交于点F． （1）求证：； （2）求证：平分． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ， ； （2） 证明：如图，过点作于点，于点， 由（1）可知，， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）证明即可求解； （2）过点作于点，于点，证明，得到，即可判定． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】（1） （2） ①∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ② ∵， ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理及角度关系的探究，解题的关键是推导出，结合已知边相等构造全等三角形 （1）由推导出，再得出，再求出； （2）①根据全等三角形的性质得到对应角相等，再结合三角形内角和、邻补角等关系，建立与的等量关系；②点在延长线上，的构成不同，需分别推导，证全等思路一样，再利用建立关系． 【小问1详解】 解：∵ ∴ 即 又∵， ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 ①略 ②略 23. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】 （1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3） 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1） 略 （2） 略 （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期 八年级数学阶段性检测题 一、选择题（本大题共10小题，总分30分） 1. 若直角三角形的一个锐角是，则另一个锐角的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 以上都有可能 3. 如图．，那么添加下列条件后，仍无法判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与一定相等的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 如图，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法错误的是（ ）． A. 锐角三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线分别交于一点 B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部 C. 直角三角形只有一条高线 D. 任意三角形都有三条高线，三条中线，三条角平分线 7. 如果的三边长分别为，的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值是（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图，由三角形两边的和大于第三边，可得的结论错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是（　　） A. 2.4 B. 4.8 C. 4 D. 5 10. 如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，在下列结论中：；②若，则；②当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ） A. ②③ B. ②④ C. ②③④ D. ①② 二、填空题（本大题共6小题，总分18分） 11. 如图，生活中在桥的两边会拉上许多钢索，用来加固桥梁，这是利用了__________． 12. 如图，中，和的角平分线交于点，若，则、、的面积之比为___________． 13. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 14. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 15. 如图，，，，如果点P在线段上以秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q从C点出发沿射线运动，若经过t秒后，与全等，则t的值是_____． 16. 如图，四边形ABCD中，∠DAB＋∠ABC＝90°，对角线AC、BD相交于O点，且分别平分∠DAB和∠ABC，若BO＝4OD，则的值为_____ 三、解答题（本大愿共9小题，总分72分） 17. 已知：在中，是边上的高． （1）尺规作图：作的平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）在（1）的条件下：若，，求的度数． 18. 如图，是的高，是的角平分线，是的中线． （1）若，，求的度数； （2）若，求与的周长之差． 19. 如图，于，于，，. （1）求证：平分； （2）若，，求的长. 20. 如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 21. 如图，，，，、交于点F． （1）求证：； （2）求证：平分． 22. 在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． （1）如图①，当点在线段上，时，那么________； （2）设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； 23. 【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $