精品解析：河南省周口市2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025－2026学年度九年级数学9月月考卷 考试范围：21章22章；考试时间：100分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ） A. －5 B. －1 C. 3 D. 7 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 已知二次函数，当时，y取得最小值为，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 7. 某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 8. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 函数的最大值为 D. 关于x的方程没有实数根 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　） A. s B. s或s C. s D. s 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 12. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 13. 把方程配方后得到方程______． 14. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____． 15. 如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 19. 抛物线上部分点的横坐标 x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 8 0 0 … （1）根据上表填空： ① 抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ； ② 抛物线经过点 (， )； ③ 在对称轴右侧， y 随 x 增大而 ； （2）试确定抛物线的解析式． 20. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）请直接写出：_______，_______，顶点_______； （2）当时，的取值范围是_______； （3）当时，x的取值范围是_______． 21. （1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 22. 某商店经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析：若按60元销售，一个月能售出，销售单价每涨2元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： （1）写出月销售量与售价元之间的函数解析式 （2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润不少于元，销售单价可定在什么范围？ 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度九年级数学9月月考卷 考试范围：21章22章；考试时间：100分钟；总分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 下列方程为一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】A．，当时，是一元一次方程，不符合题意； B．，不属于方程，不符合题意； C．，是二元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3. 已知、、，它们的图像开口由小到大的顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】抛物线的开口大小与二次项系数的绝对值大小有关，绝对值越大，则开口越小，根据这个关系即可确定答案． 【详解】∵，二次项系数绝对值越大，抛物线开口越小 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质是关键． 4. 已知抛物线与x轴交于点A和B，则的值为（ ） A. －5 B. －1 C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理可知，，然后将其代入所求的代数式求值即可． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，解题时，充分利用了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的根与系数的关系，难度不大． 【详解】解： 由抛物线与x轴交于点A和B， 知，． ∴． 故选：A． 5. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象，运用数形结合的方法是解题的关键． 先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比是否一致，即可得出答案． 【详解】解：A、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； C、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，故本选项符合题意； D、由抛物线开口方向可得，由直线与轴交点可得，矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知二次函数，当时，y取得最小值为，则a的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先求出二次函数图像的对称轴x=1，再根据函数的增减性判断出当x=a时，y=-2，代入函数关系式求出a的值即可． 【详解】∵二次函数， ∴二次函数图像的对称轴为x=1， ∵-1＜0，开口向下， ∴在对称轴x=1的左侧，y随x的增大而增大， ∵当时，即在对称轴左侧，y取得最小值为， ∴当x=a时，y=-2， ∴， 解得：a=-1或a=3（舍去）， 故a的值为-1． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答． 7. 某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯66次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设参加酒会的人数为人，每个人都要和除自己之外的人碰杯，所以初步计算碰杯次数为次．但这样每两人的碰杯都被重复计算了两次（例如甲和乙碰杯与乙和甲碰杯是同一次），因此实际碰杯次数应为总次数的一半，即次． ∴， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）． 故选：C． 8. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具．伞撑开后如图1所示，由此发现数学知识抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为y轴，以伞骨，的交点O为坐标原点建立平面直角坐标系，C为抛物线上的点，点A，B在抛物线上，，关于y轴对称．已知抛物线的表达式为，若点A到x轴的距离是，则A，B两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，轴对称的性质，先求出点到轴的距离为，再结合轴对称的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵点A到x轴的距离是， ∴令，则， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴点到轴的距离为， ∵点A，B在抛物线上，，关于y轴对称， ∴， 故选：D． 9. 如图是抛物线的部分图象，直线是抛物线的对称轴，下列结论不正确的是（ ）． A. B. C. 函数的最大值为 D. 关于x的方程没有实数根 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，图象法确定一元二次方程的根个数，从函数图象中获取信息，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴；当时，函数有最大值为：；故A，C选项正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴和的函数值相等，均为， 由图象可知：，故B选项正确，不符合题意； 由图象可知，抛物线和直线有2个交点， ∴关于x的方程有2个实数根；故D选项错误，符合题意； 故选D． 10. 如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD，点F从点B出发，以2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S（cm2）随时间t（s）变化的函数图象（图中MN为线段），当△BEF的面积为cm2时，运动时间t为（　　） A. s B. s或s C. s D. s 【答案】C 【解析】 【分析】观察图1、图2，可知当时，点F与点C重合；当时，点F在上运动，而点E继续在上运动，可求得，，由勾股定理求得；再分两种情况讨论，一是时，点F在上运动，作，交的延长线于点G，可证明，求得，则可求得当时的t值；二是时，点F在上运动，作，交的延长线于点H，可求得，则，可求得当时的t值． 【详解】解：由图1、图2可知，当时，点F与点C重合； 当时，点F在上运动，而点E继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点F、点E的速度都是2cm/s， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，如图3，作，交的延长线于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则 解得； 当时，如图4，作，交的延长线于点H， ∵ ∴， 解得， ∴， 当时，则 解得t，不符合题意，舍去， 综上所述，运动时间t为s； 故选：C． 【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质、一次函数的性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，求出S与t之间的函数关系式是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴， 或， 解得：，， 故答案为：或． 12. 把抛物线先向上平移3个单位，再向左平移2个单位，则平移后抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，解题关键是掌握函数图像平移的规律是左加右减，上加下减． 根据图像向左平移加，向上平移加，可得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位， 平移后抛物线的解析式是，即为： 故答案为：． 13. 把方程配方后得到方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法：先把二次系数变为1，即方程两边除以a，然后把常数项移到方程右边，再把方程两边加上一次项系数的一半，这样把方程左边变形为完全平方式．先把方程的常数项移到右边，然后方程两边都加上，这样方程左边就为完全平方式． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边都加上，得， ∴． 故答案为：． 14. 已知二次函数y=﹣x2+2x+3，当0≤x≤4时，y的取值范围是_____． 【答案】﹣5≤y≤4 【解析】 【分析】由二次函数解析式可求得对称轴及开口方向，再利用二次函数的增减性可分别求得y的最大值和最小值即可求得答案． 【详解】∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=1， ∴当x=1时，y有最大值4， 当0≤x≤1时，当x=0时，y有最小值3， 当1≤x≤4时，当x=4时，y有最小值﹣5， ∴当0≤x≤4时，y的取值范围是﹣5≤y≤4， 故答案为：﹣5≤y≤4． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，由二次函数的增减性求得y的最大值和最小值是解题的关键． 15. 如图，四边形是正方形，且点A，C恰好在抛物线 上，点B在y轴上，则的长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、二次函数的性质．过点作轴于点，设，由四边形是正方形，且点在轴上，得，得出是等腰直角三角形，推出，即，解得（舍去）或，求出，由勾股定理可求出． 【详解】解：过点作轴于点，如图， 设， ∵四边形是正方形，且点在轴上， ∴， ∴, ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴, ∴， ∴． 故答案为：4． 三、解答题（共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1），； （2），； （3），； （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）根据配方法步骤进行配方，得出，再开平方即可； （3）首先求出，再套用公式，得出即可； （4）利用平方差公式分解因式即可得出方程的根． 【小问1详解】 解：， ， 或 ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ； 【小问4详解】 解：， ， ， 或 ． 17. 已知二次函数． （1）将二次函数化为一般形式，并指出相应的，，的值； （2）当时，求的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1），，， （2）77 （3）或 【解析】 【分析】（1）形如的函数称为二次函数，根据此定义即可判断； （2）把代入解析式进行计算即可得解； （3）当代入解析式进行计算即可得解． 【小问1详解】 解：二次函数化为一般形式， 其中，，； 【小问2详解】 解：当时，； 【小问3详解】 解：当时，即， 解得或． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义以及求函数值，关键是要牢记二次函数的定义． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若方程的一个实数根是另一个实数根的两倍，求m的值． 【答案】（1） 证明：根据题意，， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根. （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据即可证明； （2）根据因式分解法求出方程的解为，，再根据方程的一个实数根是另一个实数根的两倍即可求解m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴， 解得，， ∵方程的一个实数根是另一个实数根的两倍， ∴或， 解得或． 19. 抛物线上部分点的横坐标 x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … 0 1 2 … y … 8 0 0 … （1）根据上表填空： ① 抛物线与 x 轴的交点坐标是 和 ； ② 抛物线经过点 (， )； ③ 在对称轴右侧， y 随 x 增大而 ； （2）试确定抛物线的解析式． 【答案】（1）①和；②8；③增大 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据抛物线与x轴的交点问题，在表中找出函数值为0对应的函数值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标； ②利用抛物线的对称性确定与对应的函数值相等即可； ③根据函数值的变化情况即可判断； （2）利用待定系数法求抛物线解析式． 【小问1详解】 ①由表格可知，当时，或 ∴抛物线与x轴的交点坐标是和； ②由表格可知，抛物线对称轴为直线， ∴与对应的函数值相等， ∴当时， ∴抛物线经过点； ③由表格可知，随着的增大先减小再增大 ∴在对称轴右侧，随增大而增大； 故答案为：①和；②8；③增大； 【小问2详解】 ∵抛物线与x轴的交点坐标是和 ∴设抛物线， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键． 20. 如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）请直接写出：_______，_______，顶点_______； （2）当时，的取值范围是_______； （3）当时，x的取值范围是_______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式（组），待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）当时求出，再结合顶点坐标得出函数最大值，即可得出答案； （3）分三种情况讨论，可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，函数的表达式为：， 故， 顶点为：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得函数的对称轴为直线， 当时，，当时，， 当时，函数值随着的增大而增大，最大值为4， 当时，函数值随着的增大而减小， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：当和时，， ∴当时，； 当时，， 当时，． 所以当，即时，的取值范围是或， 故答案为：或． 21. （1）写出下列二次函数的顶点坐标： ①的顶点坐标为________； ②的顶点坐标为________； ③的顶点坐标为________． （2）新定义：在平面直角坐标系中，若抛物线的顶点在坐标轴上，则称该抛物线为“数轴函数”．像上面①②③的函数均为“数轴函数”，请分别判断与是不是“数轴函数”，并说明理由． （3）与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），，是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】（1），， （2）是“数轴函数，不是“数轴函数”，理由如下： 依题意， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标在轴上，符合“数轴函数”的要求， 故是“数轴函数， ， 则该函数的顶点坐标为，顶点坐标不在坐标轴上，不符合“数轴函数”的要求， 故不是“数轴函数”； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，顶点坐标，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①根据二次函数的顶点式进行作答即可； ②根据二次函数的顶点式进行作答即可； ③根据二次函数的顶点式进行作答即可； （2）先化为顶点式，再根据“数轴函数”的定义进行分析，即可作答． （3）先化为顶点式，根据“数轴函数”的定义进行分析得出，再结合得出，，又因为是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2，且结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】解：（1）①的顶点坐标为； ②的顶点坐标为； ③的顶点坐标为 故答案为：，，； （2）略 （3）依题意， 此函数的顶点坐标为， ∵是“数轴函数” ∴， 解得； ∴，即函数的开口向下，对称轴为直线， 越靠近对称轴的所对应的函数值越大 ∵与轴平行的直线交“数轴函数”于两点（点在点的左侧），， ∴， ∵是直线上方抛物线上一点，且点到对称轴的距离大于2， ∴或者 即或． 22. 某商店经销一种销售成本为40元的水产品，据市场分析：若按60元销售，一个月能售出，销售单价每涨2元，月销售量就减少，针对这种水产品，请解答以下问题： （1）写出月销售量与售价元之间的函数解析式 （2）当售价定为多少时，月销售利润最大？最大利润是多少？ （3）商店想在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润不少于元，销售单价可定在什么范围？ 【答案】（1） （2）当时，有最大值为 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一次函数即可； （2）根据题意列出二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）根据题意列出一元一次不等式以及一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：， 当时，有最大值为； 【小问3详解】 解：由，解得， 令，则， 解得，． 故：销售单价为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 23. 跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线．正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为米，到地面的距离和均为米，身高为米的小丽站在距点的水平距离为米的点处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点以点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为． （1）求该抛物线的解析式； （2）如果小华站在之间，且离点的距离为米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高； （3）如果身高为米的小丽站在之间，且离点的距离为米，绳子甩到最高处时超过她的头顶，请结合图象，写出的取值范围______． 【答案】（1） （2）米 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，选的点，，利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中解析式中求解y值即可； （3）求出时对应的x值，再结合图象求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，，，代入中，得 ，解得， ∴该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， ∵绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶， ∴小华的身高为米； 【小问3详解】 解：当时，由得或， ∵绳子甩到最高处时超过她的头顶， ∴， 结合函数图象得：． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，理解题意，将实际问题转化为二次函数问题求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $