21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 举一反三 2025--2026学年人教版九年级数学上册

21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】求两根和与积 2 【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值 4 【题型3】根的判别式与根与系数关系的综合 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1.（2025•象州县一模）一元二次方程x2-mx+6=0的一个根是3，则另一个根是（　　） A．2 B．3 C．-5 D．6 【答案】A 【分析】设方程的另一个根为m,由根与系数的关系即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根为m, 则有3m=6， 解得：m=2， 故选：A． 2.（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx-3=0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-6 【答案】B 【分析】设方程的另一根为x,利用根与系数的关系可得到关于x的方程，可求得答案． 【解答】解： 设方程的另一根为x, ∵方程x2+mx-3=0一个根为3， ∴3x=-3，解得x=-1，即方程的另一根为-1， 故选：B． 【题型1】求两根和与积 【典型例题】下列方程中两根之和为2的方程是（　　） A.x2+2x+1=0 B.x2-x+2=0 C.3x2-6x+1=0 D. x2−2x+1＝0 【答案】C 【解析】解：在方程x2+2x+1=0中，两根之和等于-2，故A不符合题意； 在方程x2-x+2=0中，两根之和等于1，故B不符合题意； 在方程3x2-6x+1=0中，两根之和等于2，故C符合题意； 在方程x2−2x+1＝0中，两根之和等于4，故D不符合题意， 故选：C． 【举一反三1】方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（　　） A.x1+x2＝，x1x2＝− B.x1+x2＝−，x1x2＝ C.x1+x2=5，x1x2=-1 D.x1+x2＝，x1x2＝ 【答案】A 【解析】解：∵方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝，x1x2＝−， 故选：A． 【举一反三2】若一元二次方程x2－3x＋1=0的两根为x1和x2，则x1＋x2=________. 【答案】3 【解析】∵一元二次方程x2－3x＋1=0的两根为x1和x2，∴x1＋x2=3. 【举一反三3】已知关于x的一元二次方程x2-ax+3=0的一个根是3，则方程的另一个根是            ． 【答案】1． 【解析】解：设方程的另一个根为k, ∵方程的一个根为3， ∴3k=3， ∴k=1， 故答案为：1． 【举一反三4】已知关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b.求a，b的值. 【答案】解：∵关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b. ∴2＋b=1，2b=a， ∴b=－1，a=－2. 【举一反三5】求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x+2=10； （2）5x2+x-5=0； （3）x2+x=5x+6； （4）7x2-5=x+8． 【答案】解：（1）原方程化为：x2-3x-8=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=-8. （2）5x2+x-5=0； 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=-，x1x2=-1. （3）原方程化为：x2-4x-6=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=4，x1x2=-6. （4）原方程化为：7x2-x-13=0， 设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2=，x1x2=-. 【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值 【典型例题】已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（　　） A.a=3，b=1 B.a=3，b=-1 C.a=-，b=-1 D.a=-，b=1 【答案】D 【解析】解：∵x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根， ∴x1+x2=-2a,x1•x2=b. 又∵x1+x2=3，x1x2=1， ∴-2a=3，b=1， ∴a=-，b=1． 故选：D． 【举一反三1】如果一元二次方程的两个根是互为相反数，那么有( ) A.m=0 B.m=－1 C.m=1 D.以上结论都不对 【答案】B 【解析】∵一元二次方程的两个根是互为相反数， ∴m＋1=0，m=－1. 【举一反三2】已知一元二次方程8x2-2x-15=0的解为x1，x2，则8 −3x1−x2的值为          ． 【答案】． 【解析】解：因为一元二次方程8x2-2x-15=0的解为x1，x2， 所以8−2x1−15＝0，x1+x2＝−＝， 所以8−3x1−x2=8−2x1−(x1+x2)=15-=. 故答案为：． 【举一反三3】关于x的一元二次方程x2＋2x＋2m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m=0的两个根，且x12＋x22=8，求m的值. 【答案】解：(1)∵一元二次方程x2＋2x＋2m=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=22－4×1×2m=4－8m＞0，解得m＜. ∴m的取值范围为m＜. (2)∵x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m=0的两个根， ∴x1＋x2=－2，x1•x2=2m， ∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x1•x2=4－4m=8， 解得m=－1. 当m=－1时，Δ=4－8m=12＞0. ∴m的值为－1. 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围. 【答案】解：(1)根据题意得Δ=(－6)2－4(2m＋1)≥0， 解得m≤4； (2)根据题意得x1＋x2=6，x1x2=2m＋1， 而2x1x2＋x1＋x2≥20， 所以2(2m＋1)＋6≥20，解得m≥3， 而m≤4， 所以m的范围为3≤m≤4. 【题型3】根的判别式与根与系数关系的综合 【典型例题】关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　　) A. m＞ B. m＞且m≠2 C. －＜m＜2 D. ＜m＜2 【答案】D 【解析】∵方程有两个不相等的实数根，则Δ＞0， ∴(2m＋1)2－4(m－2)2=20m－15＞0， 解得m＞，又∵有两个正实数根， ∴＞0，可以化为以下两个不等式组： (1)解得－＜m＜2， (2),此不等式组无解，综上m的取值范围为＜m＜2. 【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2+（2m-2）x+m2-m=0有两个实数根x1和x2，且|x1|=|x2|，m的值为（　　） A.-1或1 B.-1或0 C.-1 D.1 【答案】D 【解析】解：∵|x1|=|x2|， ∴x1=x2或x1+x2=0， 当x1=x2时，Δ=0，即（2m-2）2-4（m2-m）=0， 解得m=1； 当x1+x2=0时，2-2m=0， 解得m=1， 综上所述，m的值为1； 故选：D． 【举一反三2】已知一元二次方程x2+mx-4=0有两个实数根，两根之和为负数，则 m的值可以是            .（填一个值即可） 【答案】1（答案不唯一）． 【解析】解：∵一元二次方程x2+mx-4=0有两个实数根，两根之和为负数， ∴Δ=m2-4×1×（-4）＞0，-m＜0， ∴m＞0， ∴m的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 【举一反三3】关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0的两个实数根的平方和等于16，k的值为________. 【答案】－1 【解析】∵关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0有两个实数根， ∴Δ=4(k－1)2－4(k2－1)≥0，解得k≤1. 设方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0两个实数根为x1、x2. 则x1＋x2=2(k－1)，x1•x2=k2－1， ∴x12＋x22=(x1＋x2)2－2x1x2=4(k－1)2－2(k2－1)=16，即k2－4k－5=0， 解得k1=－1，k2=5(不合题意，舍去). 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2． （1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值； （3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为 　     　． 【答案】（1）证明：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0， ∴无论k为何值，该方程总有两个实数根． （2）解：把x＝1代入方程x2+（k+4）x+k+3＝0， 得1+k+4+k+3＝0， 解得k＝﹣4， ∴方程x2﹣1＝0， 解得x1＝1，x2＝﹣1， 故k＝﹣4，另一个根为﹣1． （3）解：∵方程x2+（k+4）x+k+3＝0，a＝1，b＝k+4，c＝k+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2≥0， ∴ ∴x1＝﹣1，x＝﹣k﹣3， 此时方程总有一个不变的根为x＝﹣1； 故答案为：x＝﹣1． 【举一反三5】若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2=－，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5=0的两个实数根. (1)若(x1－1)(x2－1)=28，求m的值； (2)已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长. 【答案】解：(1)∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5=0的两个实数根， ∴x1＋x2=2(m＋1)，x1x2=m2＋5， ∵(x1－1)(x2－1)=28，即x1x2－(x1＋x2)＋1=28， ∴m2＋5－2(m＋1)＋1=28，解得m=－4或m=6， 当m=－4时原方程无解，∴m=6； (2)当等腰三角形的腰长为7时，即方程的一个解为7， 将x=7代入原方程得49－14(m＋1)＋m2＋5=0，解得m=10或m=4， 当m=10时，方程为x2－22x＋105=0，解得x=7或x=15， ∵7＋7＜15，不能组成三角形； 当m=4时，方程为x2－10x＋21=0，解得x=3或x=7， 此时三角形的周长为7＋7＋3=17. 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】同底数幂的乘法 4 【题型2】幂的乘方与积的乘方 5 【题型3】幂的混合运算 7 【题型4】幂的大小比较 9 【题型5】幂的运算的实际应用 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1.（2025•象州县一模）一元二次方程x2-mx+6=0的一个根是3，则另一个根是（　　） A．2 B．3 C．-5 D．6 2.（2025•郑州二模）已知关于x的一元二次方程x2+mx-3=0一个根为3，则另一个根为（　　） A．1 B．-1 C．2 D．-6 【题型1】求两根和与积 【典型例题】下列方程中两根之和为2的方程是（　　） A.x2+2x+1=0 B.x2-x+2=0 C.3x2-6x+1=0 D. x2−2x+1＝0 【举一反三1】方程3x2-5x-1=0的两根为x1、x2，下列各式正确的是（　　） A.x1+x2＝，x1x2＝− B.x1+x2＝−，x1x2＝ C.x1+x2=5，x1x2=-1 D.x1+x2＝，x1x2＝ 【举一反三2】若一元二次方程x2－3x＋1=0的两根为x1和x2，则x1＋x2=________. 【举一反三3】已知关于x的一元二次方程x2-ax+3=0的一个根是3，则方程的另一个根是            ． 【举一反三4】已知关于x的方程x2－x＋a=0有两个实数根2，b.求a，b的值. 【举一反三5】求下列方程两个根的和与积： （1）x2-3x+2=10； （2）5x2+x-5=0； （3）x2+x=5x+6； （4）7x2-5=x+8． 【题型2】根据两个根的关系式，求代数式或系数的值 【典型例题】已知x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（　　） A.a=3，b=1 B.a=3，b=-1 C.a=-，b=-1 D.a=-，b=1 【举一反三1】如果一元二次方程的两个根是互为相反数，那么有( ) A.m=0 B.m=－1 C.m=1 D.以上结论都不对 【举一反三2】已知一元二次方程8x2-2x-15=0的解为x1，x2，则8 −3x1−x2的值为          ． 【举一反三3】关于x的一元二次方程x2＋2x＋2m=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围； (2)若x1，x2是一元二次方程x2＋2x＋2m=0的两个根，且x12＋x22=8，求m的值. 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(2m＋1)=0有实数根. (1)求m的取值范围； (2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2＋x1＋x2≥20，求m的取值范围. 【题型3】根的判别式与根与系数关系的综合 【典型例题】关于x的一元二次方程(m－2)x2＋(2m＋1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是(　　) A. m＞ B. m＞且m≠2 C. －＜m＜2 D. ＜m＜2 【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2+（2m-2）x+m2-m=0有两个实数根x1和x2，且|x1|=|x2|，m的值为（　　） A.-1或1 B.-1或0 C.-1 D.1 【举一反三2】已知一元二次方程x2+mx-4=0有两个实数根，两根之和为负数，则 m的值可以是            .（填一个值即可） 【举一反三3】关于x的方程x2－2(k－1)x＋k2－1=0的两个实数根的平方和等于16，k的值为________. 【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2． （1）证明：无论k为何值，该方程总有两个实数根； （2）若该方程的一个根为1，求它的另一个根和k的值； （3）无论k为何值，方程总有一个不变的根为 　     　． 【举一反三5】若x1、x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2=－，x1x2＝，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5=0的两个实数根. (1)若(x1－1)(x2－1)=28，求m的值； (2)已知等腰△ABC的一腰长为7，若x1、x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长. 学科网（北京）股份有限公司 $