精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高一上学期第一次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2025-2026学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则=（ ） A. B. 或 C. D. 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 方程组的解集可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. （2012•长春一模）设集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（ ） A. R B. （﹣∞，﹣2）∪（0．+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D. 7. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（ ） A. 最大值为3，最小值为－1 B. 最小值为－1，无最大值 C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ） A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增 B. 函数在区间[1，4]上单调递增 C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 若，使成立，则实数的取值范围 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上的值域是 C. 在上是增函数 D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若设函数，若，则_____. 13. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 14. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）； （2）已知集合满足_____，求实数的取值范围. 请从①，②“”是“”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答. 16. （1）已知实数，满足，.求的取值范围； （2）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. 17. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 18. 已知二次函数的最小值为，． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，试求的最小值． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式：； （3）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2025-2026学年度第一学期第一次质量检测 高一数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则=（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先解一元二次不等式求出集合，然后求两集合的公共部分可得结果 【详解】由，得，从而有， 所以， 故选：D. 【点睛】此题考查解一元二次不等式和集合的交集运算，属于基础题 2. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的否定的定义求解即可. 【详解】由命题的否定的定义可得， 命题“，”的否定为，. 故选：A 3. 方程组的解集可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的表示方法可得答案. 【详解】解方程组得，根据集合的表示方法可得. 故选：C. 4. 设，，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】由题意得， 则， 而， 可得，故C正确. 故选：C 5. 子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】由题意“工欲善其事，必先利其器.”指工匠要想要做好活儿，一定先要把工具整治得锐利精良. 从逻辑角度理解，如果工匠做好活了，说明肯定是有锐利精良的工具，即必要性成立； 反过来如果有锐利精良的工具，不能得出一定能做好活儿，即充分性不成立； 所以“利其器”是“善其事”的必要不充分条件. 故选：B. 6. （2012•长春一模）设集合A={x||x|≤2，x∈R}，B={y|y=﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（ ） A. R B. （﹣∞，﹣2）∪（0．+∞） C. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据题意，解|x|≤2可得集合A，由x的范围结合二次函数的性质，可得y的取值范围，即可得集合B；由交集的定义，可得A∩B，进而由补集的定义，计算可得答案． 解：|x|≤2⇔﹣2≤x≤2，则集合A={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2，2]， 对于B，若﹣1≤x≤2，则﹣4≤﹣x2≤0， 则有B={y|﹣4≤y≤0}=[﹣4，0]， 则A∩B=[﹣2，0]， ∁R（A∩B）=（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）； 故选B． 考点：交、并、补集的混合运算． 7. 已知命题：，使得成立为真命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一次函数和二次函数的图象和性质，知当时，命题为真命题，当时，需，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】命题为真命题等价于不等式有解． 当时，不等式变形为，则，符合题意； 当时，，解得； 当时，总存在，使得； 综上可得实数的取值范围为． 故选：B 8. 已知f(x)＝x，g(x)＝x2－2x，F(x)＝则F(x)的最值情况是（ ） A. 最大值为3，最小值为－1 B. 最小值为－1，无最大值 C. 最大值为3，无最小值 D. 既无最大值，又无最小值 【答案】D 【解析】 【分析】易得F(x)为与中较小的函数值，故求解与的大小，分段讨论即可 【详解】由f(x)≥g(x)得0≤x≤3； 由f(x)<g(x)，得x<0，或x>3， 所以 易得F(x)无最大值，无最小值． 故选：D 二、多选题.（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法正确的是（ ） A. 函数在区间[－5，－3]上单调递增 B. 函数在区间[1，4]上单调递增 C. 函数在区间[－3，1]∪[4，5]上单调递减 D. 函数在区间[－5，5]上没有单调性 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象判断函数的单调区间，即可判断选项. 【详解】由图可知，函数在区间，上单调递增，故AB正确；f(x)在区间[－3，1]，[4，5]上单调递减，单调区间不可以用并集“ ”连接，故C错误；函数在区间没有单调性，故D正确. 故选：ABD 10. 下列说法不正确的是（ ） A. 函数与是同一个函数 B. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 若集合，，则 D. 若，使成立，则实数的取值范围 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同一函数的定义可判断A；根据抽象函数的定义域求法判断B；化简集合并判断C；通过参变分离求最值法判断D. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 所函数与不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，即， 所以函数有，解得，故其定义域为，故B正确； 对于C，由，得，等价于，解得， 所以， ， 所以，C错误； 对于D，，使成立， 等价于，使成立， 即， 令，对称轴为， 易知当时取得最大值， 所以，D正确， 故选：AC 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：．已知函数，下列说法中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上的值域是 C. 在上是增函数 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据偶函数定义可判断A；求出的范围，根据新定义求函数值可判断B；取特值验证可判断C；根据新定义可知，然后可判断D. 【详解】对于A，的定义域为，又， 所以是偶函数，故A选项正确； 对于B，，当时，，此时，， 所以在的值域是，故B选项正确； 对于C，因为，所以在上不是增函数，故C选项不正确； 对于D，因为恒成立，所以或，故D选项错误． 故选：AB 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若设函数，若，则_____. 【答案】3 【解析】 【分析】利用分段函数的性质并结合题意建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则，解得. 故答案为：3 13. 函数在区间上的最大值与最小值的和为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由函数单调性确定最大值和最小值，即可求解. 【详解】由函数解析式可知在上单调递减， 所以最大值为，最小值为， 所以最大值与最小值的和为， 故答案为： 14. 若集合有且仅有两个子集，则实数的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知集合，. （1）； （2）已知集合满足_____，求实数的取值范围. 请从①，②“”是“”的充分不必要条件中选一个填入（2）中横线处进行解答. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）解分式不等式、二次不等式，再结合集合的并集、补集运算即可. （2）选①，将问题转化为，分别研究，时m的范围； 选②，将问题转化为，分别研究，时m的范围. 【小问1详解】 因为，， 所以，所以或. 【小问2详解】 选①，因为，所以， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上，. 选②“”是“”的充分不必要条件，所以， 若，则，解得； 若，则，且，解得， 综上，. 16. （1）已知实数，满足，.求的取值范围； （2）已知，，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法得到，再结合不等式的性质求解即可. （2）利用基本不等式求出的最小值，再求解的取值范围即可. 【详解】（1）令， 则，且，解得，， 可得， 因为，所以， 因为，所以，故. （2） ， 当且仅当，时，等号成立， 即当且仅当，时，等号成立， 可得的最小值为8，因为恒成立，所以， 解得，故的取值范围是. 17. 某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为吨，最多为吨，月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为元. （1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ （2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 【答案】（1）该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低 （2）该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损 【解析】 【分析】（1）每月每吨的平均处理成本为，利用基本不等式求解即得最低成本； （2）写出该单位每月的获利关于的函数，整理并利用二次函数的单调性求出最值即可作答. 【小问1详解】 由题意可知：， 每吨二氧化碳的平均处理成本为： ， 当且仅当，即时，等号成立， ∴该单位每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低； 【小问2详解】 该单位每月的获利： ， 因，函数在区间上单调递减， 从而得当时，函数取得最大值，， 所以，该单位每月不能获利，国家至少需要补贴元才能使该单位不亏损. 18. 已知二次函数的最小值为，． （1）求的解析式； （2）若在区间上不单调，求实数的取值范围； （3）若，试求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）当时，；当时，；当时，． 【解析】 【分析】（1）由题意结合二次函数的图象与性质，利用待定系数法即可得解； （2）由二次函数的图象与性质转化条件为，即可得解； （3）讨论区间与函数图象对称轴的关系，结合单调性即可得解. 【小问1详解】 由已知函数是二次函数，且， ∴函数图象的对称轴为， 又最小值为-1，设，又，∴． ∴； 【小问2详解】 由（1）知函数图象的对称轴为，要使在区间上不单调， 则，所以； 【小问3详解】 由（1）知，图象的对称轴为，开口朝上， 若，则在上是增函数，； 若，即，则在上是减函数，； 若，即，则； 综上所述，当时，； 当时，； 当时，． 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式：； （3）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 是定义在上的奇函数，，则， 又，则，， 在上单调递增， 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增. （2） （3） 或或 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （2）根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的单调性，结合一次函数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. 【小问3详解】 由（1）知在上单调递增， 又因为， 问题转化为，即对任意恒成立， 设， 即解得或或， 故的取值范围是或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $