精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

初二数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒首尾顺次相接围成一个三角形的是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 16 2. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 3. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题：①三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的重心；②全等三角形对应边上的中线相等；③有两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④两边一角分别相等的两个三角形全等；⑤两边及第三边上的高分别相等的两个三角形全等．其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和12，则这个等腰三角形的周长为____． 12. 如图，，若，，则长为_________． 13. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 14. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是______． 15. 如图，的面积为，点、分别在边、上，交于点，若，，则的面积为_________． 16. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 17. 如图，和分别是的内角和外角的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去……，若，则_________．（用含的式子表示） 三、解答题（共69分） 18. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 19. 如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 20. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 21. 如图，是的角平分线，于点，，，．     （1）求点到的距离： （2）求长． 22. 在中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）如图1，若是的中线，，，则与的周长差为_______； （2）如图1，若，，为的角平分线，求的度数； （3）如图2，若，，请直接写出与的数量关系． 23. 综合与实践 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，．是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接． 请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 证明：延长到点，使，连接． 是的中点（已知）， （_________）， 在和中， （_________）． （2）进一步探究可得出的取值范围是__________________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，．连接，若，求的长． 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点坐标为_________，点坐标为_________； （2）如图2，当点在第一象限时，过点作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点作轴于点，与轴交于点，请直接写出点的坐标（用含，的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列长度的四根木棒中，能与长为5，10的两根木棒首尾顺次相接围成一个三角形的是（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可． 【详解】解：设第三边为， 则， 即． ∴四个选项中只有8符合要求． 故选：C． 2. 在如图所示的图形中，正确画出的边上的高的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键．根据三角形高线的定义，即可求解． 【详解】解：由题可得，过点作的垂线段，垂足为，则是边上的高，故C选项符合题意， 故选：C． 3. 无论在战争年代还是在和平时期，中国人民解放军都是一道坚不可摧的钢铁长城，保卫着祖国的安宁、人民的幸福．如图，某部队战士在射击训练时，手、肘、肩构成托枪三角形，可以在射击过程中保持枪的稳定，其中的数学道理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：B． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线性质定理的应用．由对顶角的性质得到，由三角形外角的性质即可求出的度数，由平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵光线是平行于主光轴的， ∴． 故选：D． 5. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（　　） A. ∠A﹣∠B＝∠C B. ∠A＝9°，∠B＝81° C. ∠A＝2∠B＝3∠C D. ∠A：∠B：∠C＝3：4：7 【答案】C 【解析】 【分析】依据三角形内角和定理，求得三角形的最大角是否等于90°，进而得出结论． 【详解】A、∵∠A−∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B＋∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； B、∵∠A＝9°，∠B＝81°， ∴∠C＝90°， ∴该三角形是直角三角形； C、∵∠A＝2∠B＝3∠C， ∴∠A＝180°×＞90°， ∴该三角形是钝角三角形； D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7， ∴∠C＝180°×＝90°， ∴该三角形是直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理．解题的关键是灵活利用三角形内角和定理进行计算． 6. 如图，用尺规作出了，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知：，， ， ． 故选：A． 7. 如图，在中，点为内部的一个定点，，将沿折叠使点与点重合，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，再根据三角形内角和定理计算即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 8. 下列命题：①三角形三条角平分线相交于一点，这个点是三角形的重心；②全等三角形对应边上的中线相等；③有两个锐角分别相等的两个直角三角形全等；④两边一角分别相等的两个三角形全等；⑤两边及第三边上的高分别相等的两个三角形全等．其中真命题的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了三角形的重心，全等三角形的性质和判定，根据三角形的重心，全等三角形的性质和判定分别判断即可． 【详解】解：三角形三条中线相交于一点，这个点是三角形的重心，故命题①是假命题； 全等三角形对应边上的中线相等，故命题②是真命题； 有两个锐角分别相等的两个直角三角形不一定全等，故命题③是假命题； 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，故命题④是假命题； 两边及第三边上的高分别相等的两个三角形不一定全等，故命题⑤是假命题； 故真命题的个数为1个， 故选：A． 9. 如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理的运用，掌握角平分线的点到角两边距离相等是解题的关键．根据题意，分别作角的平分线，角平分线的交点即为所求点的位置． 【详解】解：如图所示， 分别作直线交点处的角平分线，根据角平分线的性质，可得点共个点， 故选：． 10. 如图，在四边形中，，，，，点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上由点C向点D匀速运动，若与在某一时刻全等，则点Q运动速度为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共21分） 11. 已知等腰三角形的两边长分别为5和12，则这个等腰三角形的周长为____． 【答案】 29 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形三边关系，分腰为5和腰为12两种情况讨论，利用三角形三边关系判断是否能构成三角形，再计算周长． 【详解】当腰长为5时，三边分别为5、5、12，∵，∴不能构成三角形； 当腰长为12时，三边分别为12、12、5，∵，∴能构成三角形，周长为 故答案为29． 12. 如图，，若，，则长为_________． 【答案】8 【解析】 【分析】该题考查了全等三角形的性质，根据得出，即可得，从而解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：8． 13. 如图，在和中，点、、在同一条直线上，，．若添加一个条件后可用“”证明，则添加的条件可以是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，添加的条件为 ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E；分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G，点P为线段上的一个动点，连接．若，则线段长度的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据垂线段最短可得当时，线段的值最小，再根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，线段的值最小， 由作图可知，平分， ∵，，即，且， ∴， ∴线段长度的最小值是1， 故答案为：1． 15. 如图，的面积为，点、分别在边、上，交于点，若，，则的面积为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是：在高相等的情况下，面积比等于底之比． 据三角形的面积底高，结合边的比例关系，就能找到各三角形面积的关系，结合三角形的面积为，即可得出结论． 【详解】解：， ∴在和中，底，高相等， ， 在和中，底，高相等， ， ∴， 故答案为：2． 16. 在中，，为三角形的高，为，所在直线的交点，则的度数是______________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了三角形的高，对顶角的性质以及余角和邻补角．根据题意，分情况讨论当为锐角三角形时，利用同角的余角相等推出，根据对顶角相等和已知条件求出度数，即可求出度数；当为钝角三角形时，根据垂直定义，利用同角的余角相等求证，从而求出度数，最后结合邻补角定义即可求出度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，即为锐角，如图所示， ，， ，， ， ， ． 当为钝角三角形时，即为钝角，如图所示， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故答案为：或． 17. 如图，和分别是的内角和外角的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，依此下去……，若，则_________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探究，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，找出 与 的规律是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，再根据三角形外角的性质可得 ，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ， 又， ， ， 同理可得：， ……， 则， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共69分） 18. 已知的三边长为，且，，都是整数． （1）若，，且为奇数，求的周长． （2）化简：． 【答案】（1）12 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值的意义，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． （1）三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，得到，即可求出的周长； （2）由三角形三边关系定理得到，即可化简． 【小问1详解】 解：由三角形三边关系定理得到：， ， 为奇数， ， 的周长． 【小问2详解】 由三角形三边关系定理得到：，， ， ． 19. 如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 先根据三角形内角和定理计算出，再根据三角形的高和角平分线的定义得到，，于是可计算出，然后利用进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别是的高和角平分线， ∴，， ∴， ∴． 20. 放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，，，他发现不仅平分，且平分，你觉得他的发现正确吗？请说明理由． 【答案】 解：他的发现正确，理由如下： 在与中， ， ∴， ∴，， ∴不仅平分，且平分． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．根据全等三角形的判定和性质直接证明即可． 【详解】略 21. 如图，是的角平分线，于点，，，．     （1）求点到的距离： （2）求长． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，得到，即可得出结果； （2）利用，列式计算即可． 【小问1详解】 解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ∴点到的距离为2； 【小问2详解】 ∵于点，，， ∴， ∵ ∴， 由（1）知：点到的距离为2， ∴， ∴． 22. 在中，点在边上（不与点，重合），点在边上（不与点，重合），与交于点． （1）如图1，若是的中线，，，则与的周长差为_______； （2）如图1，若，，为的角平分线，求的度数； （3）如图2，若，，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线，三角形内角和定理，熟记它们的概念是解题的关键； （1）根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可； （3）根据三角形的性质求出，再根据，，三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 即与的周长差为2； 故答案为：2 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，为的角平分线， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 23. 综合与实践 【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，．是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接． 请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 证明：延长到点，使，连接． 是的中点（已知）， （_________）， 在和中， （_________）． （2）进一步探究可得出的取值范围是__________________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，．连接，若，求的长． 【答案】（1）中点定义；；对顶角相等； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点，使，连接． ∵是的中点（已知）， （中点定义）， 在和中， ， ； 故答案为：中点定义；；对顶角相等；． （2）由题意可得：， ， 即， ， 故答案为：． （3）延长交的延长线于点，如图： ， ， ∵是的中线， ∴， 在和中． ， ， ， ， ∴垂直平分， ， ． 24. 综合与探究 已知中，，点在轴的负半轴上，直角顶点在轴上，点在轴上方． （1）如图1，若，满足，则点坐标为_________，点坐标为_________，点坐标为_________； （2）如图2，当点在第一象限时，过点作轴于点，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若轴恰好平分，且，过点作轴于点，与轴交于点，请直接写出点的坐标（用含，的式子表示） 【答案】（1），， （2） 证明：如图2， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．也考查了坐标与图形性质和等腰直角三角形的性质．本题的关键是利用等腰直角三角形的性质添加辅助线构建全等三角形． （1）先根据非负数的性质求出，，作轴于，如图1，得，根据，再利用等角的余角相等得到，则可根据“”证明，得到，所以； （2）与（1）一样的方法可证明，得到，则可得； （3）如图3，和的延长线相交于点，先证明得到，再利用对称性质得，则，根据（2）可知，则，即可得解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， 解得：， ∴，， 作轴于，如图1，    ∵点的坐标是，点的坐标是， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，和的延长线相交于点， ， 轴， ， ∵， ， 在和中 ， ， ， ∵轴平分轴， ， ， 根据（2）可知， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $