精品解析：浙江省金华市义乌市后宅中学2025-2026学年八年级上学期10月月考数学试题

2025学年第一学期八年级数学独立作业（一）检测卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； B．该图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，所以该图是轴对称图形，该选项符合题意． C．不满足轴对称图形的概念，不符合题意； D．不满足轴对称图形的概念，不符合题意． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 【答案】B 【解析】 【分析】结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论． 【详解】A.∵5+4=9，9=9， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； B.8+8=16，16＞15， ∴该三边能组成三角形，故此选项正确； C.5+5=10，10=10， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； D.6+7=13，13＜14， ∴该三边不能组成三角形，故此选项错误； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交于第三边作比较．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可． 3. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】反例就是要符合命题的题设，不符合命题的结论的例子． 【详解】解：A、当，时，，但，故本选项符合题意； B、当，时，，，故本选项不符合题意； C、当，时，，，故本选项不符合题意； D、当，时，，，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 4. 如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定； 根据对顶角相等可得，然后可利用证明≌． 【详解】解：在和中，， ∴≌， 即此处判定三角形全等的依据是， 故选：B． 5. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的稳定性，根据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形稳定性解答即可． 【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状， 所以，主要运用的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 6. 具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，能够根据条件求出一个角为是解题的关键．结合三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，根据直角三角形的定义分别判断即可． 【详解】A．由，可知，结合，则，即不是直角三角形，符合题意； B． 由，则是直角三角形，不合题意； C． 由，结合，此时，则是直角三角形，不合题意； D． 由，可设，此时，则是直角三角形，不合题意； 故选：A． 7. 如图，相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，先证明，得出，即可求出结论． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：C． 8. 如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】是的中垂线， ， 的周长为7， ， ， ，， ， 的周长为， 故选：B． 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出BC=4，再利用等积法求得AE=，再利用勾股定理结合垂直平分线的性质得到DB的值，利用三角形面积公式计算即可. 【详解】解:在△ABC中，∠BAC=90°， ∴BC= ， 又∵AE垂直平分DC， ∴ ， ∴AE= ， ∴CE= , ∴CD=2CE= ， ∴DB=CB-CD= ， ∴, 故选择C. 【点睛】本题考查勾股定理的应用：①在直角三角形中已知两边求出第三边；②利用勾股定理作为等量关系列方程. 10. 如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据等腰三角形和直角三角形的性质得到，再根据图形旋转的性质，求出的长，及证明，，最后根据勾股定理即可求得答案． 【详解】解：，， ， 绕点C逆时针旋转得到， ，，，， ， ， 在中，， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题考查了图形旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握图形旋转问题的常用解法是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 在中，，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．直接根据三角形内角和定理得出结论即可． 【详解】解：在中，， ， 故答案为：． 12. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定进行判断． 【详解】解：面积相等的两个不一定三角形全等，是假命题； 故答案为：假． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 13. 如图，点在同一条直线上，，已知，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差关系，首先根据三角形全等的性质，得出，进而得出，根据线段的和差即可得到，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 14. 如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于________（用含α、β表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到，，根据三角形的外角的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴由折叠的性质可知，，， 设， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，三角形的外角的性质，翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 15. 如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和轴对称，将转化为，根据两点之间线段最短，确定最小时的情况，根据全等三角形的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵等边三角形，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当P、B、E共线时，最小，即最小，最小值为的长． 又∵E是中点，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质（三线合一），线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路径问题及全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形三线合一及利用轴对称转化线段是解题的关键． 16. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE;②PQ∥AE;③AP＝BQ;④DE＝DP;⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有_____；(填序号）. 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE；    ②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知②正确； ③根据②△CQB≌△CPA（ASA），可知③正确； ④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，可知∠DQE≠∠CDE，可知④错误； ⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，即∠AOE=180°-60°=120°可知⑤正确． 【详解】∵等边△ABC和等边△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD=BE， ∴①正确， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CBE=∠DAC， 又∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ， 又∵AC=BC， ∴△CQB≌△CPA（ASA）， ∴CP=CQ， 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形， ∴∠PQC=∠DCE=60°， ∴PQ∥AE②正确， ∵△CQB≌△CPA， ∴AP=BQ③正确， ∵AD=BE，AP=BQ， ∴AD-AP=BE-BQ， 即DP=QE， ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°， ∴∠DQE≠∠CDE，故④错误； ∵∠ACB=∠DCE=60°， ∴∠BCD=60°， ∵等边△DCE， ∠EDC=60°=∠BCD， ∴BC∥DE， ∴∠CBE=∠DEO， ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°， ∴∠AOE=180°-60°=120° ∴⑤正确． 故正确的有：①②③⑤． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，找到不变量，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质可得，根据线段的和差可得，进而证明，即可得证． 【详解】略 18. 如图，已知，，分别是的高线和中线． （1）若，，求和的长； （2）若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及利用直角三角形的面积计算斜边上的高和三角形的中线等知识， （1）先求出斜边长，根据直角三角形的面积计算方法求解，再根据直角三角形性质求出即可； （2）先得出，再求出，即可求出结论． 【小问1详解】 解：，，， ， 是的中线， ； ， ； 【小问2详解】 解：是的中线， ； ， ， 19. 如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 【答案】（1）等腰 （2） 证明：∵OC平分∠AOB， ∴∠DOP=∠BOP， ∵DN∥EM， ∴∠DPO=∠BOP， ∴∠DOP=∠DPO， ∴OD=PD，即△DOP是等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）通过观察三角形三边长度和形状进行猜想； （2）根据平行线的性质和等腰三角形的判定即可证明． 【小问1详解】 解：猜想△DOP是等腰三角形； 故答案为：等腰． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理：等角对等边． 20. 已知：如图，、相交于点，，． （1）求证：． （2）若，时，求中边上的高． 【答案】（1） 证明：，，， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的三线合一，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用判定； （2）由，得，从而判定，得，过点作于点，得，由，利用勾股定理即可求出中边上的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ， ，， ； ， 如图所示，过点作于点， ， ， ， ， 中边上的高为． 21. 勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， （1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； （2）请尝试验证勾股定理． 【答案】（1）； （2） 证明：直角梯形的面积为， 也可以表示为三个直角三角形的面积和，即， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明及整式的混合运算，熟练掌握勾股定理及整式混合运算的运算法则是解题的关键． （1）分别用两种方法“整体计算”和“分割计算”表示直角梯形的面积； （2）两种方法表示出的直角梯形的面积相等，列出等式，整理后证明出即可． 【小问1详解】 用整体计算面积：直角梯形的面积， 用分割计算面积：三个直角三角形的面积， 【小问2详解】 略 22. 只用无刻度的直尺，利用网格作图． （1）在图①中找一点，使到和距离相等且； （2）在图②中，作出的角平分线． 【答案】（1） 点即为所求： （2） 角平分线即为所求作： 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线，等腰三角形的三线合一的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题， （1）的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为所求； （2）取格点T，连接，取的中点J，作射线交于点D，线段即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在网格图中，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴是的中线，也是的角平分线， ∴角平分线即为所求作． 23. 如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当时，______，______； （2）求当为何值时，是直角三角形？说明理由； （3）求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 【答案】（1）4，6 （2）当为或5时，是直角三角形 （3）当为或3或时，是等腰三角形 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、等腰三角形定义， （1）先求出斜边，再求出结论即可； （2）分两种情况：当时，，或当时，点与点A重合，分别求出结论即可； （3）分三种情况：当时，；当时，作于点H；当时，作于点H，分别根据勾股定理求出结论即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 当时，，， 故答案为：4，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴分两种情况： 当时，， ， ， ， ； 当时，点与点A重合， ， ， 综上所述，当为或5时，是直角三角形； 【小问3详解】 解：分三种情况： 当时，， ； 当时，作于点H， 由（2）知， ， ， ； 当时，作于点H， 设， ， ， 在中， ， 解得：， ， ， 综上所述，当为或3或时，是等腰三角形． 24. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】（1） ①点P即为所求作； ②5 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【小问1详解】 解：①略 ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； 【小问2详解】 解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期八年级数学独立作业（一）检测卷 一、选择题（本大题共10小题，共30分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，属于轴对称图形的是：（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　） A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm 3. 可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，某公园有一个假山林立的池塘．A，B两点分别位于这个池塘的两端，为测量出池塘的宽，小明想到了用三角形全等的方法：在池塘的两端分别系上两根绳子、，两根绳子相交处记为点C，满足，．连接，则线段的长即为A，B两点间的距离，此处判定三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，用窗钩可将窗户固定，其所运用的几何原理是（ ） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 三角形具有稳定性 6. 具备下列条件的，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，相交于点O，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，的中垂线交于点D，交于点E，连接，若的周长为7，且，则的周长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AC长为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点E，若AC＝3，AB＝4，连接AD，则S△ABD＝（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在等腰直角中，，，点D为斜边上一点，将绕点C逆时针旋转得到，，，则为（ ） A. B. C. D. 4 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 在中，，则______． 12. 命题：面积相等的两个三角形是全等三角形是___命题（填“真”或“假”） 13. 如图，点在同一条直线上，，已知，，则的长为_____． 14. 如图，点D、 E分别在ABC的AB、AC边上，沿DE将ADE翻折，点A的对应点为点，∠EC=α，∠DB=β，且α<β，则∠A等于________（用含α、β表示）． 15. 如图，为等边三角形，于D，，点E为边的中点，点P为上一个动点，则的最小值为______． 16. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下五个结论：①AD＝BE;②PQ∥AE;③AP＝BQ;④DE＝DP;⑤∠AOE＝120°，其中正确结论有_____；(填序号）. 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 如图，，，，求证：． 18. 如图，已知，，分别是的高线和中线． （1）若，，求和的长； （2）若，求． 19. 如图，已知，作的平分线OC，将直角尺DEMN如图所示摆放，使EM边与OB边重合，顶点D落在OA边上，DN边与OC交于点P． （1）猜想是 三角形； （2）请将猜想到的结论进行证明． 20. 已知：如图，、相交于点，，． （1）求证：． （2）若，时，求中边上的高． 21. 勾股定理的验证方法有很多，其中主要用的是等面积法（也称“算两次”），即用整体计算面积和分割计算面积的两种方法列出等式，然后化简，即可验证勾股定理．如图， （1）要表示图中直角梯形的面积，用整体计算面积得______，用分割计算面积得______； （2）请尝试验证勾股定理． 22. 只用无刻度的直尺，利用网格作图． （1）在图①中找一点，使到和距离相等且； （2）在图②中，作出的角平分线． 23. 如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边向点运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒．点运动的速度为每秒2个单位长度． （1）当时，______，______； （2）求当为何值时，是直角三角形？说明理由； （3）求当为何值时，是等腰三角形？说明理由． 24. “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． （1）如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； （2）如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； （3）如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $