精品解析：重庆市求精中学2025－2026学年九年级上学期第一次月考数学试题

重庆求精中学2025－2026学年上初2023级第一次阶段性考试 数学试题 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 打开电视，正在播放广告 C. 经过红绿灯路口时，遇到绿灯 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 3. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 5. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 9. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分） 11. 将一元二次方程配方为，则k的值是_______． 12. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为_______．（精确到） 13. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 14. 已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是______． 15. 我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 16. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、 都是“整点”．抛物线与x轴交于点、两点，当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有__________个整点；若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是__________． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题：8分，19－25题每题10分，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 20. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求抛物线解析式与点B的坐标， （2）求的面积． 21. 课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 23. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 24. 阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，且，求的值． （2）已知实数分别满足，，且．求的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆求精中学2025－2026学年上初2023级第一次阶段性考试 数学试题 一、单选题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 分别写有数字，，，，的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到非负数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，非负数概念，根据非负数的概念，判断题目中非负数的个数，再利用概率公式即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：数字，，，，中，非负数为，，，共个， ∴抽到非负数的概率是， 故选：． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 抛出的篮球会下落 B. 打开电视，正在播放广告 C. 经过红绿灯路口时，遇到绿灯 D. 抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．此题根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A项：抛出的篮球会下落，是必然事件，符合题意； B项：打开电视，正在播放广告，是随机事件，不符合题意； C项：经过红绿灯路口时，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意； D项：抛掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意． 故选：A． 3. 下列方程中一定是关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程，即可得出结论． 【详解】解：A．是一元二次方程，选项A符合题意； B．是分式方程，选项B不符合题意； C．是二元一次方程，选项C不符合题意； D．是一元一次方程，选项D不符合题意． 故选：A． 4. 若关于x的一元二次方程的一个根是，则m的值为（    ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程的解求参数：熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键，把代入一元二次方程得到，然后解关于m的一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得：． 故选：C． 5. 抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题意中的平移方式转换成函数图像的平移，再求解析式即可． 【详解】解：若将轴向上平移2个单位长度， 相当于将函数图像向下平移2个单位长度， 将轴向左平移3个单位长度， 相当于将函数图像向右平移3个单位长度， 则平移以后的函数解析式为： 化简得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图像的平移，将题意中的平移方式转换为函数图像的平移是解决本题的关键． 6. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是找准等量关系列出方程． 将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形，用表示出新矩形的长与宽，再根据“种植面积为平方米”列出方程即可． 【详解】解：设小道的宽为米， 则将阴影部分移到一起，拼成一个新矩形的长为米，宽为米， 可列方程为， 故选：C． 7. 关于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标是 D. 时，y随x增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：抛物线， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小，即时，y随x增大而减小， ∴只有C选项正确． 故选：C． 8. 在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解． 【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b， 所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0， 所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键． 9. 对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号表示a、b中的较大值，如：，按照这个规定，方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，解分式方程．分和两种情况，将变形为分式方程，解分式方程即可． 【详解】解：当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：，（舍去）， 经检验，是分式方程的解； 当时，即时，， ， ， 去分母得：，即, 解得：， 经检验，是分式方程的解； 综上可知，方程的解为或， 故选：D． 10. 如图，二次函数的函数图像经过点，且与轴交点的横坐标分别为、，其中，，下列结论：①；②；③；④，⑤当时，；其中正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与轴交点位置可判断，，的符号及与的关系，从而判断①②；由图像可得时，可判断③；由及可判断④；当时，，可判断⑤．解题的关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ，故结论①正确； 由图像可得：抛物线的对称轴在和之间， ∴， ∴，即，故结论②错误； 由图像可得： 当时，，故结论③正确； 当时，， 当时，，即， ∴， ∴，故结论④正确； ∵抛物线过点， ∴， 当时，， ∴，即， ∴，故结论⑤正确， ∴正确结论的个数是． 故选：B． 二、填空题：（本大题4个小题，每小题6分，共24分） 11. 将一元二次方程配方为，则k的值是_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解题步骤是解本题的关键． 将原方程变形成与相同的形式，即可求解． 【详解】解： ∵将一元二次方程配方为， ∴． 故答案为：6． 12. 如图是用计算机模拟抛掷一枚啤酒瓶盖试验的结果，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率显示出一定的稳定性，可以估计“凸面向上”的概率为_______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了模拟实验，由频率估计概率，根据图中的数据即可解答． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，“凸面向上”的频率逐渐稳定在附近， ∴ “凸面向上”的概率为， 故答案为：． 13. 方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________________ 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得：且． ∴k的取值范围是且， 故答案为：且． 14. 已知点，在抛物线（为常数）上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．根据解析式求得开口方向和对称轴，然后二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，随增大而减小， ， ． 故答案为：． 15. 我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”，如的“友好方程”是．现在来探究方程的根的特点：当时，方程的两根为，，其“友好方程的两根为，______，观察可以知道、、、之间存在的一种特殊关系为______（，） 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式． 根据一元二次方程的求根公式，可得，先根据求根公式表示出两个方程的根，再通过计算根的乘积，即可推导、、、之间存在的一种特殊关系． 【详解】解：∵时， ∴方程的两根为，， 方程的两根为，， ∴ ， ， ∴，， 故答案为：，． 16. 若平面直角坐标系内的点满足横，纵坐标都为整数，则把这样的点叫做“整点”．例如：、 都是“整点”．抛物线与x轴交于点、两点，当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有__________个整点；若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数图象与轴的交点问题． 当时，抛物线解析式为，数形结合找出整点，即可得整点个数；当抛物线经过点时，结合图形找出整点，结合题意即可求解． 【详解】解：中， 令，， ∴当时，抛物线解析式为， 如图所示， 由， 解得， ∴此时区域内的整点有，共个整点， ∴当时，该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有个整点， ∵的值越大，二次函数图象开口越小，的值越小，二次函数图象开口越大， ∴， ∴当抛物线经过点时， ∴， 解得，， ∴此时区域内的整点有：，共9个整点，不符合题意， ∴， ∴若该抛物线在、之间的部分与线段所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则的取值范围是， 故答案为：，． 三、解答题：（本大题9个小题，17题、18题：8分，19－25题每题10分，共86分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）用因式分解法解方程即可； （2）用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴，或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ， ∴， ∴，． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程． （1）移项，用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， ∴，． 19. 重庆市求精中学某老师为了了解本班学生月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：：好，：中，：差，请根据图中信息，解答下列问题： （1）全班学生总人数是______； （2）补全条形统计图，在扇形统计图中，______，类的圆心角为______； （3）赵老师在班上随机抽取了名学生，其中类人，类人，类人，若再从这人中随机抽取人，请树状图或列表法求出抽中全是类学生的概率． 【答案】（1）； （2） 补全条形统计图如图，     ，； （3）抽中全是类学生的概率为． 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图的知识，样本估计总体，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由类人数及其所占百分比可得总人数； （）总人数减去的人数求得类人数，由乘以类所占比例得类的圆心角度数，用的人数除以总人数可得对应百分比； （）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【小问1详解】 解：全班学生总人数是（人）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（）得全班学生总人数是人， ∴类人数为（人）， ∴，类的圆心角为， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：列表如下， 由表可知，共有种等可能结果，其中全是类学生的有种结果， ∴抽中全是类学生的概率为． 20. 如图，抛物线与直线相交于点和点B． （1）求抛物线解析式与点B的坐标， （2）求的面积． 【答案】（1）抛物线解析式为，点的坐标为； （2）的面积为． 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二次函数的交点问题． （1）把代入可得，即可得抛物线的解析式，把代入，可得，即可得直线的解析式，联立抛物线和直线的解析式，即可得点B的坐标； （2）由，，可得，点到轴的距离为，代入三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与直线相交于点和点B， ∴，， ∴，， 由得或， ∴， ∴抛物线解析式为，点的坐标为． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，点到轴的距离为， ∴， ∴的面积为． 21. 课本再现 （1）某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每：两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 模型变式 （2）年月日晩，江西省第十六届运动会在九江市隆重开幕，已知某个学校体育项目部的比赛所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； 【详解】（1）设应该邀请支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）有支球队参加比赛， 依题意得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， 答：有支球队参加比赛． 22. 端午节是中国四大传统节日之一，时间为农历五月初五，是集拜神祭祖、祈福辟邪、欢庆娱乐和饮食为一体的民俗大节．在节日前夕，某商店从节令食品加工厂购进由粽子、皮蛋、咸蛋和绿豆糕搭配而成的A、B两种礼盒．其中A礼盒每盒利润28元，每天可以卖出120盒，B礼盒每盒利润20元，每天可以卖出160盒．若A礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出3盒，B礼盒每盒价格提高1元，则每天少卖出4盒．（注：两种礼盒成本不变） （1）若每盒礼盒的价格提高x元，每天销售A、B两种礼盒的利润分别为元和元，请求出、与x之间的函数关系式； （2）物价部门规定这两种礼盒提高的价格之和为9元，那么A礼盒的价格提高多少元时两种礼盒每天售出的利润之和最大？最大是多少元？ 【答案】（1），； （2）A礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握知识点是解题的关键． （1）根据利润=每盒利润×销量列式即可； （2）设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，列出W关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； 【小问1详解】 解：由题意可得 ， ； 【小问2详解】 设两种礼盒每天的销售利润之和为W元，A礼盒的价格每盒提高m元，则B礼盒的价格每盒提高元，由题意得： ∴ ， ∴当时，W取得最大值，为6984元， 即A种礼盒的价格提高2元时，两种礼盒每天售出的利润之和最大，最大为6984元． 23. 如图，矩形中，，，、两点分别从点、点同时出发，点以每秒钟1个单位的速度沿运动，点以每秒钟2个单位的速度沿运动，当点到达点时，点也随之停止运动，设的面积为，、两点的运动时间为． （1）直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图像，请直接写出函数值时，自变量的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示， 当时，y随着x的增大而增大，当时，y随着x的增大而减小； （3）． 【解析】 【分析】此题考查了动点问题的函数图象和性质，准确求出函数解析式是关键． （1）自变量的取值范围分两段分别求出函数解析式即可； （2）画出函数图象，写出一条性质即可； （3）根据图象写出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：矩形中，，， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， 当点Q在上运动时，即时， 的面积为， ∴ 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据图象可知，当函数值时，自变量的取值范围为． 24. 阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： （1）已知实数满足，，且，求的值． （2）已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】（1） （2）-1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【小问1详解】 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． 【小问2详解】 解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作轴交于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将该抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线y，点N是原抛物线上一点，在新抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得以B，C，N，M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标并选择一个你喜欢的点写出求解过程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为4，点P的坐标为 （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求直线解析式为，设，，则可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）分以为边和对角线两种情形讨论即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于点，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ， ∴当时，最大，最大值为4， 此时点P的坐标为； 【小问3详解】 解：， ∴抛物线沿x轴向右平移个单位长度得到新抛物线解析式为， ∴新抛物线的对称轴为直线， 设，， ①以为边时， 则或 解得或， ∴M的坐标为或； ②以为对角线时， 则， 解得， ∴M的坐标为， 综上，M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，用函数法求线段和最值问题，二次函数图象和性质，平行四边形性质等知识点，是一道关于二次函数综合题和压轴题，综合性强，难度较大；熟练掌握相关知识并灵活运用方程思想，数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $