精品解析：江苏省盐城市响水县清源高级中学、滨海县东坎高级中学2025-2026学年高二上学期第一次学情检测联考数学试题

2025年秋学期高二年级第一次学情检测联考试卷 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两平行线间的距离公式即可求解. 【详解】设两平行线间的距离为，则. 故选：B 2. 若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程. 【详解】 如图，过点作于，依题意，,因,故， 从而，圆的半径为：, 故所求圆的方程为：，即. 故选：A. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可. 【详解】因为两直线平行，所以： ， 所以或. 故选：B 5. 已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角求出直线斜率，利用斜率求. 【详解】由题意可知直线的斜率一定存在， 设直线倾斜角为α，则斜率为， 由，得，因此． 故选：A． 6. 下列四个命题： ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过定点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示， 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程的四种特殊形式的适用范围逐一核对四个命题得答案. 【详解】①，过点且垂直于轴的直线不能用方程表示，故①错误； ②，经过定点且垂直于轴的直线不能用不能用方程表示，故②错误； ③，垂直于两坐标轴的直线不能用方程表示，故③错误； ④，当两个不同的点、的连线不垂直于坐标轴时，直线方程为， 化为后包含两点连线垂直于坐标轴， ∴经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示，故④正确. ∴正确命题的个数是1个. 故选：B. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查直线方程的四种形式，直线方程有多种形式，根据不同条件可选取不同形式的方程，但这四种形式的方程有局限性，不能表示出所有直线．如用到斜率而斜率不存在的直线，截距式中截距为0的直线． 7. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【详解】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是， 故选：C. 8. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，点，则（ ） A. 若在圆上，则直线与圆相交 B. 若在圆内，则直线与圆相离 C. 若在圆外，则直线与圆相交 D. 若在直线上，则直线与圆相离 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断A，B，C选项；根据点与直线的位置关系，得a，b的关系，即可确定直线与圆的关系来判断D选项． 【详解】由圆，得圆心，半径． 对于A，若在圆上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故A错误． 对于B，若在圆内，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相离，故B正确． 对于C，若在圆外，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故C正确． 对于D，若在直线上，则， 圆心到直线的距离，则直线与圆相切，故D错误． 故选：BC. 10. 已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知得，的交点坐标为，又过定点，讨论经过点，或与平行，或与平行求参数值，即可得. 【详解】由，解得，所以，的交点坐标为，又过定点， 若直线，，不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得， 当与平行时，且，解得， 当与平行时，，解得， 故a的值为，，. 故选：BCD 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确. 【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为， 对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方， 所以它的最大值为，所以A错误； 对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即， 由圆心到直线的距离，解得， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍， 圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误； 对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上， 则点与圆心连线的斜率为， 根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为， 所以切线方程为，即，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两条直线和互相垂直，则a＝______. 【答案】 【解析】 【分析】由两直线互相垂直斜率间的关系，求的值. 【详解】直线斜率为3，直线和互相垂直， 则直线的斜率. 故答案为： 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得，即可求解. 【详解】因为点在圆外， 则，解得， 故答案为：. 14. 已知圆，直线，________时，圆上恰有三个点到直线l的距离等于1. 【答案】 【解析】 【分析】圆心到直线的距离、圆的半径满足即可. 【详解】因为圆上恰有三个点到直线的距离都等于1， 所以圆心到直线的距离、圆的半径满足. 由已知圆心到直线的距离，圆的半径， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15. （1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程； （2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标． 【答案】（1）和，（2） 【解析】 【分析】（1）根据截距是否为0，即可利用待定系数法求解， （2）根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】（1）当直线经过原点时，设直线，代入可得， 当直线截距不为0时，设，代入可得，解得 故直线方程为，即， 综上可得直线方程为和 （2）设， 由于直线的斜率为 故， 又，解得则， 故 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； （2）在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设，根据的中点在直线上，以及的平分线所在的直线方程为，联立方程组求出点的坐标； （2）根据直线上的点到直线的距离相等，结合直线方程求解即可. 【小问1详解】 设，则的中点为，所以，即，① 因为的平分线所在的直线方程为，所以，② 联立①②求解可得， 所以点的坐标为. 【小问2详解】 直线方程为，即， 设直线的方程为，则， 在直线上取点，由角平分线的性质可知，到直线的距离相等， 则，即， 又，所以，整理得， 解得或，所以直线的斜率或， 当时，直线的方程为，即，与直线重合，舍去； 当时，直线的方程为，即，满足题意. 所以直线的方程为. 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解： （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为，即， 解得，即，半径， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线方程为， 即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的方程为：，即， 综上所述：过的切线方程为或． 18. 已知直线． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）数形结合，结合直线图象可得解； （2）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值． 【小问1详解】 如图所示，结合图象可知， 当时，直线斜率不存在，方程为，不经过第二象限，成立； 当时，直线斜率存在，方程为， 又直线不经过第二象限，则，解得； 综上，. 【小问2详解】 已知直线，且由题意知， 令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设，由向量的坐标运算可得的坐标，代入计算，表示出点的坐标，然后代入圆的方程，计算化简，即可得到轨迹方程； （2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在两种情况进行讨论，然后结合圆的弦长公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 根据题意，． 设，则， 由于，所以， 得 将其代入，得， 故点的轨迹方程为． 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为， 根据垂径定理可得， 当斜率不存在时，直线的方程为：， 圆心到直线的距离为3，符合题意； 当斜率存在时，设直线， ，解得． 此时直线，即； ∴直线的方程为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋学期高二年级第一次学情检测联考试卷 数学试题 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线和直线平行，则这两条线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线：与直线：平行，则＝（ ） A. B. 或3 C. D. 3 5. 已知直线的倾斜角的余弦值为，则实数m的值为（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题： ①经过定点的直线都可以用方程表示； ②经过定点的直线都可以用方程表示； ③不经过原点的直线都可以用方程表示； ④经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示， 其中真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，点，则（ ） A. 若在圆上，则直线与圆相交 B. 若在圆内，则直线与圆相离 C. 若在圆外，则直线与圆相交 D. 若在直线上，则直线与圆相离 10. 已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则实数a的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最大值是 C. 的最小值是 D. 过点作曲线的切线，则切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知两条直线和互相垂直，则a＝______. 13. 若点在圆外，则实数的取值范围为______． 14. 已知圆，直线，________时，圆上恰有三个点到直线l的距离等于1. 四、解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明，证明过程或者演算步骤． 15. （1）已知直线过点，且在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求直线方程； （2）已知点，直线，点在上，且，求点的坐标． 16. 在平面直角坐标系中，已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为． （1）若的角平分线所在的直线方程为，求点坐标； （2）在（1）的条件下，求边所在的直线方程． 17. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程． 18. 已知直线． （1）若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； （2）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19. 已知圆分别与、轴正半轴交于、两点，为圆上的动点． （1）若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程； （2）过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $