专题01 探究坐标规律、坐标与几何压轴专项训练（高效培优专项训练）数学苏科版2024八年级上册

专题01 探究坐标规律、坐标与几何压轴专项训练 题型一：周期型坐标规律探究 题型二：渐变型坐标规律探究 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 题型四：新定义型标规律探究 题型五：几何性质型标规律探究 题型六：坐标与几何压轴：面积型 题型七：坐标与几何压轴：最值型 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 题型一：周期型坐标规律探究 1．（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵轴，轴，点，，，在轴上，，，，， ∴点的坐标为，点的坐标为，，，，，， ∴按的方向缠绕一周的总长度为， ∵，∴细线另一端所在位置为中点处， ∴细线另一端所在位置的坐标为．故选：C． 2．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是（    ） A． B．） C． D． 【答案】B 【详解】解：由题知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，由此可见，点的坐标每 12 个循环一次， 因为余 8 ，所以点的坐标为．故选：B． 3.（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，以矩形的中心作直角坐标系，使矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2023次相遇地点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：∵，矩形的中心作直角坐标系∴ ∴矩形的周长为： ∵甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动， ∴甲、乙每次相遇时间间隔为：秒， ∵第一次相遇，两物体运动的路程和为：， 乙的速度是甲的速度的2倍，物体甲运动的路程为： 物体乙运动的路程为： ∴在边上相遇, ∴两个物体运动后的第1次相遇地点坐标为： 第二次相遇，两物体运动的路程和为：， 乙的速度是甲的速度的2倍，物体甲运动的路程为： 物体乙运动的路程为： ∴在边上相遇, ∴两个物体运动后的第2次相遇地点坐标为： 依次推出； 两个物体运动后的第3次相遇地点坐标为： 两个物体运动后的第4次相遇地点坐标为： ∴ 两个物体运动后的第2023次相遇地点坐标为：. 故答案为：，. 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得，点是周期运动规律，运动周期为8秒， ∴，∴此时，点P的坐标是，故答案为：． 5．（24-25七年级下·江苏·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵的坐标为，∴，，，，， 以此类推，每4个点为一个循环依次循环， ∵，∴点的坐标与的坐标相同，为，故答案为：． 题型二：渐变型坐标规律探究 6．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图形可知：第1列上共1个数，第2列上共2个数，第3列上共3个数，…，第n 列上共n个数，则前n列数的总个数为， 且横坐标是偶数时，箭头朝上，最后一个数在最上边，最后一个点纵坐标比横坐标小1， ∵， ∴第210个点在第20列最上边，横坐标为20且纵坐标比横坐标小1为19， ∴第210个点的坐标为，故选：D． 7．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 【答案】 【详解】解：观察点的跳动规律，奇数次跳动时，横坐标是为跳动次数），纵坐标是． 当时，横坐标为，纵坐标为， 所以的坐标为．故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ，，，，，，， …，观察发现，当n为奇数时，，当n为偶数时，， ∴点的坐标是．故选：C． 9．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得，， 每完成一次跳跃，最右边一个点的纵坐标增加2，到达点的横坐标增加1， 则动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点纵坐标为， 横坐标为．故选：C． 10．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由题知，第1个点的坐标为，第9个点的坐标为，第25个点的坐标为，…， 所以第个点的坐标为， 因为，所以第2025个点的坐标为， 所以第2026个点的坐标为故答案为： 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 11．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得，从开始，纵坐标的变化是按照1，0，，0的顺序，每4个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加1． ，的纵坐标与的纵坐标相同， 的坐标为，故选A． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，⋯⋯那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：动点从原点出发，按向下向右向上向上向右向下的方向依次不断移动，六次重复相同的运动，周期为6，∵，结合图象可得，，，…， ∴ ，令，解得，∴，∴点的坐标是，故选：A． 13．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，，， ，，，，，观察可知：每4个点为一组， 点，，，． ，点的纵坐标是0，横坐标是， 点的坐标为．故选：C． 14．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】每一象限的点的特点： 第一象限 ；；；； 第二象限 ；；； 第三象限 ；；； 第四象限 ；；； ，则在第二象限，根据规律可得点的坐标是．故选：B． 15．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作轴于， 图中是边长为个单位长度的等边三角形， ，，，， 同理，，，，，， 中每个点的纵坐标规律：，，，，，， 点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边的路线运动，秒钟走一段，运动每秒循环一次， 点的纵坐标规律：，，，，，，，， 点的横坐标规律：，，，，，，，， ，点的纵坐标为， 点的横坐标为，点的坐标为，故选：． 题型四：新定义型标规律探究 16．（25-26八年级上·重庆·自主招生）函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，∴，……，， ∴，∴， ∵三次函数关于中心对称， ∴， ∴， ∵，∴， ∵，∴，∴．故答案为： 17．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵对于点，把点叫做点P的如意点，， ∴，，，，，，， 发现每4个点为一个循环组依次循环． ∵∴点的坐标与的坐标相同为．故答案为． 18.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴第一次变换后点的坐标变为； 第二次变换后点的坐标变为；第三次变换后点的坐标变为； 第四次变换后点的坐标变为；； ∴奇数次变换点在轴下方纵坐标为，横坐标为“减去次数”，偶数次变换点在轴上方，纵坐标为，横坐标为“减去次数”， ∴第次变换后的点在轴下方，点的纵坐标为，横坐标为， ∴点的坐标变为，故选：． 19.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ． 【答案】或 【详解】解：根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位……，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以所得的余数为时，先向右平移个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点”按上述规则连续平移次后，到达点，则按照“和点”反向运动次即可，可以分为两种情况： ①先向右个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，应该是向右平移个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下个单位得到，此时横、纵坐标之和除以所得的余数为，则应该向上平移个 单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第次时，共计向下平移了次，向右平移了次，此时坐标为，即， 最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，故答案为：或． 20．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：由题意，得将按序列“01”作变换，将先向右平移一个单位得到，再将关于x轴对称得到；再将作2次变换，可得，； 再将作2次变换，可得，；.....． ∴点经过“0101……01”共2025次变换后得到点，横坐标向右移动次，纵坐标关于x轴对称次，则点的坐标为．故答案为：． 题型五：几何性质型标规律探究 21．（21-22九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，，，， 又由题意可得：蜘蛛爬行6次回到原来的射线上，而， ∴与在同一条射线上，且， 如图，过作轴于，则， ，，故选：D． 22．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…， ∴，，，…，，由题意可得：，，，…，每8个一循环，再回到轴的正半轴， ∴，∴点在轴正半轴上， ∵，∴点的坐标为，即，故答案为：． 23．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：∵点，∴第1个等腰直角三角形的两腰长为2， ∴第1个等腰直角三角形的面积， ∵，∴第2个等腰直角三角形的腰长为， ∴第2个等腰直角三角形的面积， ∵，∴第3个等腰直角三角形的边长为， ∴第3个等腰直角三角形的面积， 第n个等腰直角三角形的面积则第2024个等腰直角三角形的面积是；故答案为：． 24．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，过点分别作于点，于点，，， ，， ，≌，， ，，， ，≌，， ，，，， ， 同理，，，， ．故答案为：． 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵点的坐标是，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴，∴， ∵是等边三角形，∴， ∵过点作轴的垂线，垂足为点，∴， ∴，同理得到：， 按此规律得到：∴点的纵坐标为 ．故答案为：． 题型六：坐标与几何压轴：面积型 26．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1)(2)或；；或 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，； （2）当点在上时，，此时，； 当点在上时，，此时，；综上，或； 当时，则，解得； 当时，，解得，此时不符合题意，舍去；综上所述，； ，， 当时，点在上，，， ，，解得； 当时，点在上，，， ，，， ，，；综上所述，或． 27．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，(2)的面积为或(3)存在，点H的坐标为 【详解】（1）解：∵∴，，解得，，； （2）解：∵，，∴，， 由题意可知，点P可能在点C的上方或点P在点C的下方两种情况： 当点在点C上方时，如图所示，   ∴，∴； 当点在点C下方时，如图所示， ∴， ∴，                        综上所述，的面积为或； （3）解：存在，点H的坐标为，理由如下：        如图所示，连接、，过点H作轴于点M，过点B作轴于点N． 由（1）可得，，，∴，，，， ，，且 ∴ 又∵ 解得∴∴点H的坐标为． ∴在第二象限中存在点，使的面积等于面积的． 28．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 【答案】(1)，(2)(3)不变，它的值为3 【详解】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为， ∴，，∴，，∴，∴，． （2）解：由平移的性质得：，∵，∴， ∵，，，∴， ∴直角梯形的面积为， ∵四边形的面积等于，∴如图，点在点的上方， ∴，∴，∴，由题意得：， 又∵，∴． （3）解：①如图1，当点在上时，则，连接， ∴； ②如图2，当点在延长线上时，则，连接， ∴； 综上，的值不变，它的值为3． 29．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______；(2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ；(3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1） 且点在轴上，，， 从平移到，即平移向上平移2个单位，向右平移1个单位到线段， ，即，故答案为：； （2）解：过点作，过点作的垂线交于点，连接， ，，，，， ， ，，即， 根据题意，，； （3）四边形面积最大值为，理由如下：平移至，交延长线于，过点作， 则，，， 当四边形面积最大时，的面积也是最大， 当时，的面积最大，最大值为，四边形面积最大值为． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标；(2)，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段，上以每秒3个单位长度的速度沿着运动，到达O点时P停止运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段向O点运动，到达O点时Q停止运动．设运动时间为t，当P在上，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？(3)如图2，连接AB，点在线段AB上，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积为，若，请求出N点的坐标． 【答案】(1)，，(2)t取或或7(3) 【详解】（1）解：由题意可得：，，，， 、，、，由题意可得：； （2）解：，，点P运动的时间，点Q运动的时间， 当P在上时，，即， ①时，此时点P在线段上，未到达O点， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为， ，，，或； ②时，此时点P已到达O点， 点P的横坐标为，点Q的横坐标为，， ，，； 当P在上时，t取或或7时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2； （3）解：连接，过M点作轴，垂直于x轴， ， ∴， ∵M到x轴的距离为1，即，，， ，，，， ，， ． 题型七：坐标与几何压轴：最值型 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，，， ，，即的最小值为4，故答案为：4． 32．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作于， 由旋转可知，，，∴， 又∵，∴， 在和中，，∴， ∴，设点的坐标为，∴， 则点，∴ 的值，相当于求点到点和点的最小值， 相当于在直线上寻找一点，使得点到，到的距离和最小， 作关于直线的对称点， ∴，∵，∴的最小值为． 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，把绕点逆时针方向旋转到，过作轴于， 由旋转的性质可得， ∴，∴∴， 在中，，， ，， ，的最小值是，故答案为：． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 【答案】 6 【详解】解；如图1，以M为顶点，为边构造等边三角形，连接， ∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过M作轴，垂足为T， ∵，∴，∴， ∴，， ∴的最大值， ．故答案为：6；． 35．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．      【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 【答案】（1）3，；（2）；（3）10 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∴，∴； （2）如图所示，过点A作轴，过点B作轴交于C， ∵，，∴，∴，∴；     （3）如图所示，取，连接， ∴，，且B、D、E三点共线， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，∴当P、C、D三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为，∴的最小值为10． 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 36．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 【答案】【阅读材料】能，图见详解；【解决问题】，；【拓展延伸】 【详解】解：[阅读材料]能，作于，作于，如图，， ， ， ，； [解决问题]作轴于，， ， ， 在和中，， ，， ，，，，， ； ； [拓展延伸]作轴于，， ， ， 在和中，，，， 轴， 轴，， 轴，， 点为y轴负半轴上一动点，，． 37．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____；(2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间：(3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)秒或秒(3)①或；②的值不会变化，理由见解析 【详解】（1）解：∵满足， ∴，解得，∴，故答案为：； （2）解：点到轴距离为4个单位长度，点在或上， 当在上时，，此时（秒）， 当在上时，此时运动了个单位，（秒）， 综上，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，点移动的时间为秒或秒； （3）解：①当点在上时，设， ，，即，解得，； 当点在上时，设， ，，即，解得，， 综上所述，点坐标为或； ②解：的值不会变化，理由如下：延长至点，如图， 四边形为长方形，，，， ，， 过点作交于点，，， 又平分，，， ，． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且． (1)如图1，若，则点C的坐标是________； (2)点，直线交直线于点D．①如图2，若，交于点H．求证：； ②如图3，若，求的值． 【答案】(1)(2)①见解析；② 【详解】（1）解：如图，过作轴于点，∴， ∵，∴，，∴，点，∴， 当时，，∴，∵，∴，∴， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴点的坐标是，故答案为：； （2）证明：由（1）知∴，∴，轴，轴， ∴，轴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴； 解：如图，过作，交于点， ∴，∴， ∴，由①得：，∴，∴，， ∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴， ∵当时，，∴，∵，∴， ∴，∴． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由；(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：；(3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)为等边三角形；理由见解析(2)见解析(3)；证明见解析 【详解】（1）证明：，，， ，是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形，， 是等边三角形，，，， ，，， ，， ，，，； （3）解：，证明如下：如图，在上截取，连接， ∴，即， ，，为的中点，，平分，即， ，，， ，，， 在和中，，，， 为等边三角形，，． 40．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】（1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】（2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】（3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 【答案】（1）5；（2）；（3）2 【详解】（1）是等边三角形，，， 是等边三角形，，， ，即， ，，由可得，，线段BD的长度为5． （2），理由如下：轴，， 是等边三角形，， ，， ，垂直平分，，， 由（1）知，，可得，， ，，． （3）ED的最小值为2．如图3，连接DB并延长到点N， ，为等边三角形，，，， ，即， 又，，，， 由（2）知，垂直平分，，， ，，， 点 D 在直线 BN上运动，过点E作于点H， 当点 D 运动到点H时，ED最小，此时， 的最小值为2． 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 41．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． (1)点的“属派生点”的坐标为　　　；(2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　；(3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式． 【答案】(1)(2)（答案不唯一）(3) 【详解】（1）解：当，，时， 点的“属派生点”的坐标为，即，故答案为：； （2）∵点的“属派生点”的坐标为，设，∴，∴，∴， 当时，，此点的坐标为，故答案为：（答案不唯一）； （3）∵点是点的“属派生点”，∴， ∵点满足， ∴，且，， 整理得：，∴或 (舍去)，∴则与的关系式为． 42．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标；②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围；(3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2(2)①或；②(3)或 【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：2； （2）解：由题意得：，过点作平行于轴的直线，可设直线上点的坐标为， 直线上与点的“度量”为2，，整理得：，解得：， 直线上与点的“度量”为2的点的坐标为或； 设直线上存在与点的“度量”为2的点为，，整理得：， ，，解得：，故的取值范围； （3）解：由题意得：， 同理可求：，，， ，①，解得：或， ②，解得：， ③解得：， ④解得：， 综上所述：或． 43．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)M，N(2)见解析(3)点Q的坐标为或 【详解】（1）解：如图1所示：，垂足为D，过M作的垂线，垂足为M，都在线段上， 所以线段的投影点的是：M，N；故答案为：M，N； （2）解：如图2所示，图中阴影部分即为所求； （3）解：存在点Q，分两种情况： ①当n在m的下方时，如图3， ∵，，∴过点作直线的平行线，平行线交x轴于E，则，交y轴于点， 过B作直线，交平行线n于Q，点Q即为所求，过Q作轴于P，则P为E、B中点，， ∴，∴，∴； ②当直线n在直线m的上方时，如图4，同理得； 综上，点Q的坐标为或． 44．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是________； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值． 【答案】(1)和；(2)或． 【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴不是矩宽点， ∵，∴是矩宽点， ∵，∴是矩宽点，故答案为：和； （2）解：∵点为矩形的矩宽点，∴或， ∴或，解得：或． 45．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，．①的值是 ．②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或(2) 【详解】（1）解：①∵点，， ∴，，∴，故答案为：； ②∵点在轴上，∴设点，∵，∴，∴，即， ∵，∴，，∴， ∴或，解得或，∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，，∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为，∴，，∴， ∵，∴，∴的最大值是，即的值是． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 探究坐标规律、坐标与几何压轴专项训练 题型一：周期型坐标规律探究 题型二：渐变型坐标规律探究 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 题型四：新定义型标规律探究 题型五：几何性质型标规律探究 题型六：坐标与几何压轴：面积型 题型七：坐标与几何压轴：最值型 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 题型一：周期型坐标规律探究 1．（25-26八年级上·江苏·专项训练）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点，，，在轴上，，，，，把一条长为个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的方向紧绕在图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点M的坐标为，是等边三角形，点B坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是；如此下去，……，则的坐标是（    ） A． B．） C． D． 3.（2023·湖南怀化·模拟预测）如图，以矩形的中心作直角坐标系，使矩形的各边分别平行于x轴或y轴，物体甲和物体乙由点 同时出发，沿矩形的边作环绕运动，物体甲按逆时针方向以1个单位/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第2次相遇地点坐标是 ；第2023次相遇地点的坐标是 ． 4．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图，在平面直角坐标系中点，点A，B，C，D的坐标分别是点，，，，动点P从点A出发，在正方形边上按照设A→B→C→D→A→…的方向不断移动，点P的移动速度为每秒1个单位长度，当第2025秒时点P的坐标是 ． 5．（24-25七年级下·江苏·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的伴随点．已知点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点，，，…，，…．若点的坐标为，则点的坐标为 ，点的坐标为 ． 题型二：渐变型坐标规律探究 6．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，，，，，，…根据这个规律探究可得，第210个点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如图，在平面直角坐标系上有点，点A第一次向左跳动至，第二次向右跳动至，第三次向左跳动至，第四次向右跳动至，依照此规律跳动下去，点A第次跳动至的坐标 ． 8．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点，点A第一次向上平移1个单位至点，接着又向右平移1个单位至点，然后再向上平移1个单位至点，向右平移1个单位至点，…，照此规律平移下去，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点A从出发，向上运动1个单位长度到达点，分裂为两个点，分别向左、右运动到点，，此时称动点A完成第一次跳跃，再分别从C，D点出发，每个点重复上面的运动，到达点，，，此时称动点A完成第二次跳跃，按此规律跳跃下去，动点A完成第2024次跳跃时，最右边一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·四川泸州·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，有若干个横、纵坐标均为整数的点，按如下顺序依次排列为，，，，，，根据这个规律，第2026个点的坐标为 ． 题型三：周期+渐变型坐标规律探究 11．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点．按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按箭头的方向依次移动，每次移动1个单位长度，得到点，，，，⋯⋯那么点的坐标是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期末）如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，，，，…依图中所示规律，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·四川成都·开学考试）如图，一机器人从原点出发按图示方向做折线运动，第1次从原点运动到，第2次运动到，第3次运动到，第4次运动到，第5次运动到，…，则第15次运动到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·广东东莞·模拟预测）在平面直角坐标系中，若干个等边三角形，按如图中的规律摆放点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，已知等边三角形的边长为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，设第秒点运动到点为正整数，则点的坐标是（       ） A． B． C． D． 题型四：新定义型标规律探究 16．（25-26八年级上·重庆·自主招生）函数关于中心对称；，在函数图象上，，，，则 ． 17．（2025九年级·湖南·学业考试）在平面直角坐标系中，对于点，把点叫做点P的如意点．已知点 的如意点为点 点 的如意点为点 这样依次得到点 若点 的坐标为，则根据如意点的定义，点的坐标为 ． 18.（24-25七年级下·湖南长沙·期末）已知，规定“先作点关于轴对称，再将对称点向左平移个单位”为一次变换．那么连续经过次变换后，点的坐标变为（　　） A． B． C． D． 19.（2025·山东德州·一模）平面直角坐标系中，我们把横，纵坐标都是整数，且横，纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为 ． 20．（25-26八年级上·山东·阶段练习）规定：在平面直角坐标系中，一个点作“0”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“1”变换表示将它关于x轴做轴对称，由数字0和1组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换．例如：点按序列“01”作2次变换， 表示点O先向右平移一个单位得到， 再将关于x轴作轴对称从而得到． 若点经过“0101……01”共2025次变换后得到点， 则点的坐标为 ． 题型五：几何性质型标规律探究 21．（21-22九年级上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，一个蜘蛛最初在点（p是常数，且），第一次爬到射线绕O点逆时针旋转方向上的点，且；第二次爬到射线绕点O逆时针旋转方向上的点，且；…；第2021次爬行到点的坐标是（    ） A． B． C． D． 22．（2025·宁夏·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在y轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，…，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 23．（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2024个等腰直角三角形的面积是 ． 24．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，点，，，在轴正半轴上，点，，，，在轴正半轴上，点，，，，在第一象限角平分线上，，，，，，，，则第个四边形的面积是 ． 25．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在其右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在其右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 题型六：坐标与几何压轴：面积型 26．（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标；(2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题；用含有的式子表示点的坐标；当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值；当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 27．（24-25七年级下·云南德宏·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，三点在同一条直线上，其中a、b、c满足关系式．(1)求a，b，c的值． (2)若点在y轴的正半轴上，请用含m的式子表示的面积． (3)如图2，直线交x轴于点，直线交y轴于点E，直线，过B、D分别作直线的垂线，垂足为F，G，且．点H在直线上，在第二象限中是否存在点H，使的面积等于面积的？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 28．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标；(2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值；(3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 29．（24-25七年级下·重庆江北·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，线段平移到线段，且点在轴上． (1)_______，点的坐标为_______；(2)如图2，过点作直线轴，直线上有一动点，以每秒2个单位长度从点向方向运动，运动时间为秒，连接与线段交于点，连接，当为何值时 ；(3)如图3，点是射线上的一点，向轴正方向移动，在直线上取两点、（点在点左侧），满足，．当运动到某一位置时，四边形的面积有最大值，请直接写出面积的最大值． 30．（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，，，且，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于C点． (1)求A，B，C三点的坐标；(2)，Q为两动点，P，Q同时出发，其中点P从C点出发，在线段，上以每秒3个单位长度的速度沿着运动，到达O点时P停止运动；点Q从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段向O点运动，到达O点时Q停止运动．设运动时间为t，当P在上，t取何值时，P，Q，C三点构成的三角形面积为2？(3)如图2，连接AB，点在线段AB上，M到x轴的距离为1，点N在y轴负半轴上，连接交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积为，若，请求出N点的坐标． 题型七：坐标与几何压轴：最值型 31．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 32．（24-25九年级上·福建泉州·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的动点，线段绕着点按逆时针方向旋转至线段，，连接、，则的最小值为 ． 33．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，，，是轴正半轴上一动点，把线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值是 ． 34．（24-25八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点M为x轴上方一动点，且，以点为边构造等边，当线段取最大值时， ，点M的坐标为 ． 35．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）读理解：“转化思想”和“数形结合思想”是解决数学实际问题常用的两种思想方法，通常将几何问题转化为代数问题，将代数问题转化为几何问题，便于更好的理解问题本质，或将未知问题转化为已知问题，复杂问题转化为简单问题进行解决，请合理应用数学思想方法依次解决下列问题．      【基础强化】（1）如图①，点，，，平行于轴，平行于轴，则_____，_____； 【问题解决】（2）如图②，点，，连接，求的长； 【拓展延伸】（3）如图③，点，，连接，点为上的任意一点，若，，求的最小值． 题型八：坐标与几何压轴：几何证明型 36．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）【阅读材料】“辅助线法”是常见的一种构造全等的方法，如图，直线经过等腰直角三角形的直角顶点，你能在图中构造全等吗？小胖在图1中做了全等的构造，你能在图2中按此方法构造全等吗？请补全图形． 【解决问题】如图3，在平面直角坐标系中，，，以A为旋转中心将线段顺时针旋转形成线段．求出点C坐标及的面积； 【拓展延伸】如图4，点为y轴负半轴上一动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，为腰作等腰直角三角形，过D作轴于点E，求的长（用含m的式子表示）？ 37．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足． (1)直接写出点的坐标_____；(2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间：(3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由． 38．（25-26八年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，且a，b满足，点是y轴上一动点，且． (1)如图1，若，则点C的坐标是________； (2)点，直线交直线于点D．①如图2，若，交于点H．求证：； ②如图3，若，求的值． 39．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由；(2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：；(3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 40．（25-26八年级上·江苏·校考期中）如图，在平面直角坐标系中，和都是等边三角形，轴，垂足是E． 【问题提出】（1）如图①，已知点，求线段BD的长度； 【尝试探究】（2）如图②，设交x轴于点F，连接AF，探究与的数量关系； 【拓展延伸】（3）如图③，若等边的边长是8，C是x轴上的一个动点且在点E左侧，点D在直线的下方，连接，请直接写出线段的最小值． 题型九：坐标与几何压轴：新定义型 41．（24-25七年级下·全国·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”． 例如：的“属派生点”为，即． (1)点的“属派生点”的坐标为　　　；(2)若点的“属派生点”的坐标为，请写出一个符合条件的的坐标为　　　；(3)若点满足，且点是点的“属派生点”，设点的坐标为，求出与的关系式． 42．（2024·甘肃兰州·二模）将平面直角坐标系的纵轴绕原点顺时针旋转得到斜坐标系．如图1，在斜坐标系中，对于该平面内的任意一点，过点分别作轴，轴的平行线，与两轴交点所对应的数分别为与，则称有序数对为点的坐标．对于任意两点和常数，定义为点与的“度量”． 如图2，在斜坐标系中，已知点，回答下列问题： (1)点与点的“度量”为_______；(2)已知点，过点作平行于轴的直线．①当时，求出直线上与点的“度量”为2的点的坐标；②若直线上存在与点的“度量”为2的点，求出的取值范围；(3)已知点，若线段上存在点，在线段上存在点，使得，直接写出的取值范围． 43．（24-25八年级上·北京海淀·开学考试）对于任意一点P和线段a．若过点P向线段a所在直线作垂线，若垂足落在线段a上，则称点P为线段a的投影点．在平面直角坐标系中，已知点，，．(1)在点，，中，是线段的投影点的是 ； (2)已知点，，在图中画出区域并用阴影表示，使区域内的每个点均为三边的投影； (3)已知直线m与x轴交于点B，与y轴交于点C，将直线m沿x轴平移3个单位长度得到直线n．若存在点Q，使线段的投影点形成的区域恰好是直线m和n之间的区域（包括边界），直接写出点Q的坐标． 44．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，，，，若为矩形内（不包括边界）一点，过点分别作轴和轴的平行线，这两条平行线分矩形为四个小矩形，若这四个小矩形中有一个矩形的周长等于的长，则称点为矩形的矩宽点． 例如：图中的点为矩形的一个矩宽点． (1)在点，，中，矩形的矩宽点是________； (2)若点为矩形的矩宽点，求的值． 45．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，．①的值是 ．②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $