专题12 将军饮马模型（含勾股）（几何模型讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题12 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：取点A关于直线的对称点，连交直线于点C，连， 则可知，，∴， 即当三点共线时，的最小值为， ∵直线垂直于y轴，∴轴，∵，，∴， ∴在中，，故答案为：5 （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 【答案】B 【详解】解：∵A、C两点关于直线EF对称，∴， ∵的周长是18，，∴的周长， 点P在直线上，如图，连接，    ∵A、C两点关于直线EF对称，∴，∴， 故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．故选：B． （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∴周长为，当四点共线时取得最小值， ∵是关于的对称点，∴， 又∵∴∴是等腰直角三角形， ∴∴当时，取得最小值，即周长最小。 又∵，，∴。 ∴周长最小为 故答案为：． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ；(3)在直线l上找点P使得最小； 【答案】(1)见解析(2)11(3)见解析(4)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，的面积为．故答案为：11； （3）解：如图，点P即为所作； ． 例2（2025·四川遂宁·一模）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 【答案】C 【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， 连接，则，∴， 当、P、F三点共线，且时，的值最小， ∵是正三角形，∴，∵，∴，∴， ∵， ，∴，在中，由勾股定理可得 ∴的最小值故选：C． 例3（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如下图，已知等边的边长为4，D为的中点，点E是边上一个动点，则的最小值是 ．     【答案】 【详解】解：作B关于的对称点，连接，，过点作，交的延长线于点F， ∵是边长为4的等边三角形，∴，， ∵点B，关于的对称，∴，，， ∴， ∵，∴，∴， ∴，， ∵点D是的中点，∴，∴， ∴在中，， ∵，∴，∴的最小值是．故答案为： 例4（24-25八年级下·广东广州·期中）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ；∴ 这就是两点间的距离公式，例如，；∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空：作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值．②的最大值． 【答案】(1)0，；13；13 (2)①10；② 【详解】（1）解：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是13．故答案为：0，；13；13； （2）解：①如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离．作点B关于x轴的对称点，当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得， ∴的最小值是10． ②表示,若点不在直线上，则在中，有， 若点在直线上时，有，故原代数式的最大值即为线段的长度，当且仅当点在直线上，此时，,即的最大值为 例5（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作，垂足为，交于点，过点作，垂足为，则为所求的最小值．是的平分线，， 是点到直线的最短距离（垂线段最短），，． 的最小值是，故答案为：． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 【答案】/8厘米 【详解】解：垂直平分，， 又，，， 在上取点，连接、、，垂直平分，，， 在中，当、、共线时，即运动到与重合时，有最大值， 此时．故答案为：． 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P， ∴，∴， 根据三角形的三边关系可知，此时点P就是使的值最大的点， 连接， ∵为等腰直角三角形，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，作出关于轴的对称点，连接并延长交轴于，如图所示： ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线时，，即取得最大值时，点为直线与轴的交点， 设直线的表达式为，则将，两点代入得 ，解得，直线：， 当时，，解得，即使取得最大值时则的坐标为，故答案为：． 例4（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接、，． ∵ 点与关于对称∴ ，，则 根据三角形三边关系，（当与重合时，取等号） ∵ ，∴ 在中，，，由勾股定理得： 故的最大值为．故答案为： 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作点关于的对称点为，点关于的对称点为，连接，交于于，连接，如图所示： 则当点共线时，的周长为，此时周长最小， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ∵点与点关于对称，∴垂直平分，∴， ，，∴， 又∵，∴， ∴是等边三角形，∴，∴，故选：C． 例2（24-25八年级上·山东·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，作点关于轴的对称点，点关于直线的对称点为，连接 交于点，交于点，则此时的周长最小，且最小值等于的长， ∵直线，∴，，∴，∴，∵点，∴，∴， ∵点关于直线的对称点为∴，，， ∵，∴，∴， 在中，，∴周长的最小值是，故选：B． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过点作于， 由轴对称可得，，，，， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形，∴， 当的面积最小时，点在点位置，即，解得， ∴，故答案为：． 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3(2)3(3)5 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高，∴点B，C关于对称，， ∴，∴∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点，∴，而是边上的高 ∴，∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高，∴平分，， ∴，，∴，∴，故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E，∴． ∵点P关于的对称点为D，∴， ∴， ∴是等边三角形，∴．∴．∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为∴． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【详解】解：如图，过点P作的对称点，过点Q作的对称点，连接，交于点A，交于点B，则， ∴为最小值， ∵点P与点关于对称，点Q与点关于对称， ∴ ∵，∴， ∴， ∴，即的最小值为10，故选：D． 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则，，的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ，∵，为等边三角形， ，即的值最小为3；故答案为：3． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，则， 作点关于的对称点，则，∴ 当四点共线时，最小，连接， ∵则, ∴∵, 过作垂直的延长线交于点，∴ 在中，，根据角所对的直角边是斜边的一半可知， 则，∴ 即的最小值为．故答案为：． 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对于直线 ，当时，；当时，，∴，， 由中点坐标公式得，，则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解：∵，，∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴，∴，∴最小时，最小． 当时最小，即为的长，∵，， ∴，∴的最小值是4．故选C． 3．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【详解】解：如图，取点关于直线的对称点，连交直线于点，连接，， ，，，， 当三点共线时，的最小值为， 轴，轴，，，， ，，的最小值为，故选：A ． 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【详解】连接，与的交点为， ， 是的垂直平分线，点与点关于直线对称，，此时周长最小， 是等腰三角形，是的中点，，长为，面积是48，， 周长最小，故选：C． 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，，分别为和的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接交于点，连接．此时的值最小， ∵是等边三角形，E、F分别为边的中点， ∴，， 设，则，，， ，∴，，是的垂直平分线，， ．故选：D． 6．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接，， ， 由轴对称的性质可得，，，∴， ∴当点、、在同一直线上时，的值最小，为， 由勾股定理可得：，∴的最小值为，故答案为：． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在中，，，∴是等边三角形， 如图，连接，作点关于，的对称点，，连接，，，分别交，于点，，连接，，此时的周长最小，最小值的长．过点A作于点． ，，， ，， ，∴，∴， ，最小时，的值最小， 当时，的值最小，此时，∴， ∴的最小值为， 的周长的最小值为，故答案为：． 8．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴，即点是直线上的一动点，如图， ∵，∴， ∵为中点，∴，在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点，∴， ∴，当、、三点共线，取等号，∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点，∴，则， ∴，∴的最小值为，故答案为：，． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）在等腰三角形中，，，为上一点，：：，，交于点，点为直线上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长至，使得于点，延长至点，使得，如图所示． ∵，∴．即点与点关于直线对称，则．∴， 即当点、、三点共线时，由两点之间线段最短可知，最短，且最小值为． ∵，．∴．∴． 又∵：：，∴．连接，则， 又∵，∴为等边三角形．． 在中，（）．故答案为：． 10．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图，分别作点关于的对称点、,连接,交于,交于, ，，，根据轴对称的性质，可得, 由两点之间线段最短可知，的周长的最小值,, 等腰中，, ,故答案为：． 11.（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 【答案】 左 /15度 【详解】解：（Ⅰ）如图，作点B关于直线对称的点D，连接，交直线于点，此时有最小值，此时点的位置在点的左侧； （Ⅱ）当的值最小时，∵点B和点D关于直线对称， ∴，，，∴， ∵，∴， ∵，，∴，∴，∴．故答案为：左，． 12．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵点和点M关于对称，点和点M关于对称，∴，， ∵，∴，∴，∴三点共线， ∴，∴当最小时，最小， ∵点M是上一点，∴时，最小，此时：， ∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 13．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线， ∵等边与的边长都为，，∴， ∵、、三点在一条直线上，∴ 与关于直线对称， ∵，∴，∴， ∵，∴，，∴、关于直线对称， ∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长．故答案为： 14．（24-25八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：作M关于的对称点，过作交于一点P，如图所示， ∵是M关于的对称点，，， ∴，，， ∵，∴，，∴． ∴，故答案为：． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点过于轴的对称点，连接，则：，， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵，∴；故最小值为． 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 【答案】（1）PA ， PD；（2）（3）7 【详解】解：（1）根据题意得：；故答案为：；； （2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且，即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为，∴的最小值为； （3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则， 此时的值最小，且，即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为7，∴的最小值为7． 17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出，，的坐标：________，________，________； (2)并画出关于轴的对称图形（不写画法）；(3)求的面积； (4)在轴上求作一点，连接，，若点满足有最小值，请你在轴上作出点的位置，并直接写出点的坐标为（______，______）． 【答案】(1)；(2)图见解析；(3)的面积为；(4)图见解析，． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为：，故答案为：； （2）解：如图，即为所求，       （3）解：由网格知识可得：； （4）解：点的位置如图：由图可知，点，故答案为：． 18．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当_____时，平分的面积；(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 【答案】(1)(2)t的值是或(3) 【详解】（1）解：，，，， 当时，AP平分的面积，即，，则当时，平分的面积． （2）解：∵是以为腰的等腰三角形， ①如图，当时，由题意得：， ，由勾股定理得：，，； ②如图，，，； 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，t的值是或． （3）解：如图，延长至，使，连接，过点A作于， ∴是的中垂线，即与关于对称，当为对应点时，， ，即此时的值最小，且最小值是的长， ，，的面积， ，的最小值是． 19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 【答案】(1)见解析(2)(3) 【详解】（1）解：如图，，点即为所求， （2）作于点H，交于点，过点作于点，则的最小值为， 平分，， 在中， 由勾股定理得 ，所以的最小值为，故答案为： （3）作点C关于的对称点，作点D关于的对称点， 连接分别交于点，连接，则的最小值为的长．由对称可得垂直平分，垂直平分， 在中，由勾股定理得 所以的最小值为13，故答案为： 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 将军饮马模型（含勾股） 将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以中高档题为主。在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 5 模型运用 6 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 6 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 10 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 13 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 16 20 “将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。 传说古罗马将军向数学家海伦（Heron）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。 （2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ． （2024·安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（    ） A．5 B．8 C．10 D．13 （2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ． 1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。 模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。 当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’， 当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。 1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） 例1（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．(1)在图中画出与关于直线l成轴对称的；(2)的面积为 ；(3)在直线l上找点P使得最小； 例2（2025·四川遂宁·一模）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（   ） A．9 B．10 C． D． 例3（24-25八年级下·河南漯河·阶段练习）如下图，已知等边的边长为4，D为的中点，点E是边上一个动点，则的最小值是 ．     例4（24-25八年级下·广东广州·期中）阅读理解：如何根据坐标求出两点之间的距离？ 如图，在坐标系中，，构造，则，， ∴ 若，，则 ；∴ 这就是两点间的距离公式，例如，；∴ (1)根据上述材料，老师让同学们求代数式的最小值． 小明同学的思路是：如图，可以看成是点与点的距离，可以看成是点与点的距离． 请完成如下填空：作点B关于x轴的对称点（____，___），当A、C、三点共线时最小，连接，则的最小值等于，由两点间的距离公式得=______________， ∴的最小值是_____________． (2)借助上面的思考过程，画图说明并求出代数式： ①最小值．②的最大值． 例5（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ． 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） 例1（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）如图，在中，的垂直平分线交于点N，交于点M，，的周长是，若点P在直线上，则的最大值为 . 例2（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为 ． 例3（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 例4（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，，点为上的动点，则的最大值为 ． 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） 例1（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点、分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则的值为（　　） A． B． C． D． 例2（24-25八年级上·山东·期末）如图，已知点，直线与两坐标轴分别交于A、B两点，D、E分别是上的动点．则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，点分别在射线上，，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，点在直线上运动时，当的面积最小值为时，则的面积为 ． 例4（25-26八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） 例1．（24-25八年级上·四川雅安·阶段练习）如图，已知，点为内的两个动点，且，，，点分别是上的动点，则的最小值是（ ） A．5 B．7 C．8 D．10 例2（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 例3（24-25八年级下·广东·专题练习）如图所示，，，，．点分别是上的动点，则的最小值是 ． 1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，直线 与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．6 4．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，等腰三角形的底边长为8，面积是48，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 5．（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，在等边中，，分别为和的中点，点为上一动点，若，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C． D． 6．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，点P是y轴上的一个动点，则的最小值为 ． 7．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，，点、、分别为、、上的动点，那么周长的最小值为 ． 8．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 9．（24-25八年级下·安徽合肥·开学考试）在等腰三角形中，，，为上一点，：：，，交于点，点为直线上一点，则的最小值为 ． 10．（24-25八年级上·天津河东·期末）如图，若，为内一定点，动点在上，动点在上，当的周长取最小值时，的度数为 ． 11.（24-25八年级上·天津西青·期末）如图，在中，，，点在直线上，，点为上一动点，连接，． （Ⅰ）使取最小值的动点的位置在点的 侧.（填“左”或“右”）． （Ⅱ）当的值最小时，请直接写出的度数. ． 12．（24-25八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点M是上一点，，，，若点和点M关于对称，点和点M关于对称． 则点，之间的距离最小值是 13．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是 ． 14．（24-25八年级上·新疆·阶段练习）如图，已知，点M在边上，且，点N和点P分别是和上的一个动点，则的最小值为 ． 15．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）坐标平面上点，点，点C在x轴上，则最小值为 ． 16．（25-26八年级上·河南新乡·期末）某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析． 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________； （2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值； 【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________． 17．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知每个小正方形的边长都是1，的三个顶点都在格点上．    (1)直接写出，，的坐标：________，________，________； (2)并画出关于轴的对称图形（不写画法）；(3)求的面积； (4)在轴上求作一点，连接，，若点满足有最小值，请你在轴上作出点的位置，并直接写出点的坐标为（______，______）． 18．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）如图，中，，，，动点从出发沿射线以的速度运动，设运动时间为秒． (1)当_____时，平分的面积；(2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)若点，分别为，上的动点，则的最小值是_____． 19.（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点，在直线上找一点，使点到两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题 (1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $