北京市清华附中志新学校2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

2025-2026学年第一学期10月调研检测 高三年级数学 （清华附中志新学校高2023级） 2025.10 一､单项选择题（每题4分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在中,若,则（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线 相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 函数图象的对称轴方程可以为 A. B. C. D. 8. 若函数的值域为，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 9. 设（），则下列说法不正确的是 A. 为上偶函数 B. 为的一个周期 C. 为的一个极小值点 D. 在区间上单调递减 10. 设函数.若关于x的不等式有且仅有一个整数解，则正数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题5分，共25分） 11. 已知角的终边经过点，则的值是__________. 12. 在一个房间使用某种消毒剂后，该消毒剂中的某种药物含量y(mg/m³)随时间t(h)变化的规律可表示为如图所示，则a=_____; 实验表明，当房间中该药物含量不超过0.75 mg/m³时对人体无害，为了不使人体受到该药物的伤害，则使用该消毒剂对这个房间进行消毒后至少经过________小时方可进入. 13. 已知函数.若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是__________. 14. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点， 点到船底的距离是（单位：），轮子旋转时间为（单位：s）. 当时，点在轮子的最高点处. ①当点第一次入水时，__________； ②当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是________. 15. 公元前2世纪的古希腊天文学家和数学家希帕科斯是三角学的创立者之一，他因天文观测的需要编制了有关三角比率的表格.后人推测希帕科斯在编制表格的过程中本质上使用了公式如图是希帕科斯推导此公式时使用的几何图形，已知点B在以线段AC为直径的圆O上，D为弧BC的中点，点E在线段AC上且AE=AB，点F为EC的中点.设OA=给出下列四个结论:①②AB=2rsinα;③CF=r(1-cosα); ④其中，正确结论的序号是________. 三､解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共85分） 16. 已知等差数列满足. （1）求数列的通项公式； （2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 17. 已知函数. （Ⅰ）写的相邻两条对称轴的距离； （Ⅱ）若函数在区间上单调递增，求的最大值. 18. 在中，． （1）求； （2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19. 已知函数，. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值； (3)求证：存在唯一的，使得. 20. 已知函数，其中． （1）若曲线在点处的切线经过点，求的值； （2）证明：函数存在极小值； （3）记函数的最小值为，求的最大值． 21. 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”. （1）分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集； （2）已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列； （3）集合是“独立的”，求证：存在，使得. 2025-2026学年第一学期10月调研检测 高三年级数学 （清华附中志新学校高2023级） 2025.10 一､单项选择题（每题4分，共40分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】D 二､填空题（每题5分，共25分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 ①. ②. 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 【15题答案】 【答案】①③④ 三､解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共85分） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） 选择条件①：． 选择条件②：或． 选择条件③：不符合题意 【19题答案】 【答案】（1）；（2）6； （3）设=， 则， 令，得. 与随x的变化情况如下： 1 0 0 极大值 极小值 则的增区间为，，减区间为. 又，，所以函数在没有零点，又， 所以函数在上有唯一零点. 综上，在上存在唯一的，使得. 【20题答案】 【答案】（1） （2）函数的定义域为． 设函数，则， 由，得， 所以函数在上单调递增， 因为， 所以存在唯一的，使得，即． 当变化时，与的变化情况如下： - 0 + 极小值 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 故函数存在极小值． （3）0 【21题答案】 【答案】（1）是关联的，关联子集有；是独立的； （2）记集合的含有四个元素的集合分别为: ，，，， . 所以，至多有个“关联子集”. 若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则 同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”. 所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾. 所以一定不是“关联子集” 同理一定不是“关联子集”. 所以集合的“关联子集”至多为. 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 所以都是“关联子集” 所以有，即 ，即. ，即， 所以. 所以是等差数列. （3）不妨设集合，，且. 记. 因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素. 假设结论错误，即不存在，使得 所以任取，，因为，所以 所以 所以任取， 任取， 所以，且中含有个元素. (i)若，则必有成立. 因为，所以一定有成立.所以. 所以 ，， 所以，所以，有矛盾， (ii)若， 而中含有个元素，所以 所以， 因为，所以. 因为，所以 所以 所以，矛盾. 所以命题成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $