11.5 因式分解 讲义 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

11.5因式分解 学习目标 1. 理解因式分解的概念：明确因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，理解它与整式乘法的互逆关系。 2. 掌握提公因式法：能够准确找出多项式各项的公因式，并熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 3. 掌握公式法：牢记平方差公式和完全平方公式，能根据多项式的特点选择合适的公式进行因式分解。 4. 学会综合运用多种方法进行因式分解：对于较为复杂的多项式，能够综合运用提公因式法和公式法，按一定的步骤进行因式分解，培养分析问题和解决问题的能力。 知识点讲解 （一）因式分解的定义 1. 概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 例如，，就是将多项式分解成了两个整式((x + 1))与((x - 1))的积的形式。 2. 与整式乘法的关系： 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式。如。 而因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。如。 所以因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。 （二）提公因式法 1. 公因式的概念：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： · 系数：取各项系数的最大公因数。例如，对于多项式，系数(6)和(9)的最大公因数是(3)。 · 字母：取各项都含有的相同字母。在中，都含有字母(x)和(y)。 · 指数：取相同字母的最低次幂。(x)的最低次幂是(1)次，(y)的最低次幂也是(1)次，所以公因式是(3xy)。 2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如，对进行因式分解，提公因式(3xy)可得：。 （三）公式法 1. 平方差公式 · 公式形式： · 公式特点： · 左边是一个二项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。例如，，，符合平方差公式左边的形式。 · 右边是两个数的和与这两个数的差的积。对于。 2. 完全平方公式 · 公式形式：， · 公式特点： · 左边是一个三项式，其中首末两项是两个数的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数乘积的(2)倍。例如，首项，末项，中间项，符合完全平方公式左边的形式。 · 右边是这两个数和（或差）的平方。对于。 例题解析 （一）提公因式法例题 1. 分解因式： 解： · 先确定公因式：系数(3)、(-6)、(3)的最大公因数是(3)，各项都含有的字母是(x)，(x)的最低次幂是(1)次，所以公因式是(3x)。 · 提公因式可得： 2. 分解因式： 解： · 确定公因式：系数(-2)、(4)、(-6)的最大公因数是(2)，各项都含有的字母是(x)和(y)，(x)的最低次幂是(1)次，(y)的最低次幂是(1)次，又因为首项系数为负，所以公因式是(-2xy)。 · 提公因式得： （二）平方差公式例题 1. 分解因式： 解： · 这里，，符合平方差公式的形式，其中，。 · 分解因式得： 2. 分解因式： 解： · 把看成，看成，符合平方差公式形式，其中，。 · 则 · 去括号得： · 合并同类项得： （三）完全平方公式例题 1. 分解因式： 解： · 首项，末项，中间项，符合完全平方公式的形式，其中，。 · 分解因式得： 2. 分解因式： 解： · 首项，末项，中间项，符合完全平方公式的形式，其中，。 · 分解因式得： （四）综合运用例题 1. 分解因式： 解： · 先提公因式(3a)，得到： · 括号内的式子符合完全平方公式，进一步分解为： 2. 分解因式： 解： · 可先利用平方差公式，把看成，则： · 其中还可以继续利用平方差公式分解，。 · 所以 巩固练习 （一）选择题 1. 多项式的公因式是（ ） A.... 2. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A.... 3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. ((x + 3)(x - 3)) D. ((x + 9)(x - 9)) 4. 若是一个完全平方式，则(m)的值是（ ） A. (6) B. (-6) C. D. （二）填空题 1. 分解因式：。 2. 分解因式：。 3. 若，，则。 4. 分解因式：。 （三）解答题 1. 分解因式：。 巩固练习答案 （一）选择题 1. 答案：B 解析：系数(8)和(12)的最大公因数是(4)，各项都含有的字母是(x)和(y)，(x)的最低次幂是(3)次，(y)的最低次幂是(1)次，所以公因式是。 2. 答案：D 解析：平方差公式的形式是，，符合平方差公式形式，A选项两平方项符号相同，B选项两平方项符号相同，C选项(y)的次数不同，都不符合平方差公式。 3. 答案：A 解析：中，首项，末项，中间项，符合完全平方公式，其中，，所以。 4. 答案：C 解析：因为是一个完全平方式，，根据完全平方公式，这里，，所以，则。 （二）填空题 1. 答案：(3a(a - 2)) 解析：公因式是(3a)，提公因式(3a)后，。 2. 答案：((4 + 3x)(4 - 3x)) 解析：，根据平方差公式，这里，，所以。 3. 答案：(6) 解析：先对提公因式(ab)，得到(ab(a + b))，已知，，代入可得(2×3 = 6)。 4. 答案：(2(x + 2)(x - 2)) 解析：先提公因式(2)，，再对利用平方差公式，，所以。 （三）解答题 1. 解： · 先提公因式(4xy)， · 再对利用平方差公式， · 所以 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5因式分解 学习目标 1. 理解因式分解的概念：明确因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，理解它与整式乘法的互逆关系。 2. 掌握提公因式法：能够准确找出多项式各项的公因式，并熟练运用提公因式法对多项式进行因式分解。 3. 掌握公式法：牢记平方差公式和完全平方公式，能根据多项式的特点选择合适的公式进行因式分解。 4. 学会综合运用多种方法进行因式分解：对于较为复杂的多项式，能够综合运用提公因式法和公式法，按一定的步骤进行因式分解，培养分析问题和解决问题的能力。 知识点讲解 （一）因式分解的定义 1. 概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 例如，，就是将多项式分解成了两个整式((x + 1))与((x - 1))的积的形式。 2. 与整式乘法的关系： 整式乘法是把几个整式相乘，化为一个多项式。如。 而因式分解是把一个多项式化为几个整式的积。如。 所以因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。 （二）提公因式法 1. 公因式的概念：多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。 确定公因式的方法： · 系数：取各项系数的最大公因数。例如，对于多项式，系数(6)和(9)的最大公因数是(3)。 · 字母：取各项都含有的相同字母。在中，都含有字母(x)和(y)。 · 指数：取相同字母的最低次幂。(x)的最低次幂是(1)次，(y)的最低次幂也是(1)次，所以公因式是(3xy)。 2. 提公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 例如，对进行因式分解，提公因式(3xy)可得：。 （三）公式法 1. 平方差公式 · 公式形式： · 公式特点： · 左边是一个二项式，并且这两项都能写成平方的形式，符号相反。例如，，，符合平方差公式左边的形式。 · 右边是两个数的和与这两个数的差的积。对于。 2. 完全平方公式 · 公式形式：， · 公式特点： · 左边是一个三项式，其中首末两项是两个数的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数乘积的(2)倍。例如，首项，末项，中间项，符合完全平方公式左边的形式。 · 右边是这两个数和（或差）的平方。对于。 例题解析 （一）提公因式法例题 1. 分解因式： 2. 分解因式： （二）平方差公式例题 1. 分解因式： 2. 分解因式： （三）完全平方公式例题 1. 分解因式： 2. 分解因式： （四）综合运用例题 1. 分解因式： 2. 分解因式： 巩固练习 （一）选择题 1. 多项式的公因式是（ ） A.... 2. 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（ ） A.... 3. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. ((x + 3)(x - 3)) D. ((x + 9)(x - 9)) 4. 若是一个完全平方式，则(m)的值是（ ） A. (6) B. (-6) C. D. （二）填空题 1. 分解因式：。 2. 分解因式：。 3. 若，，则。 4. 分解因式：。 （三）解答题 1. 分解因式：。 学科网（北京）股份有限公司 $