11.5.1 提公因式法 课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“提公因式法”，通过复习整式乘法（如m(a+b+c)=ma+mb+mc）与因式分解对比，引导学生观察多项式化为整式积的形式，建立前后知识联系，搭建理解因式分解定义及与整式乘法关系的学习支架。 其亮点是题型由浅入深，覆盖概念辨析、整体提公因式等，结合抽象能力和运算能力，如“3(x-2)+x(2-x)”通过符号变形提取公因式。采用例题解析与随堂练习结合，小结归纳“三定”步骤，帮助学生形成结构化知识，提升解题能力，也为教师提供系统教学资源和分层练习支持。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 11.5.1 提公因式法 第11章 整式的乘除 11.5.1 提公因式法 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册11.5.1提公因式法知识点，紧扣因式分解的定义、公因式的寻找方法、单项式公因式、多项式公因式提取等核心考点。题型由浅入深，覆盖概念辨析、基础因式分解、符号变形、整体提公因式、化简求值，针对性解决找错公因式、漏提系数、漏项、符号出错等高频易错点，是因式分解最基础、最重要的必考题型。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 把一个多项式化为几个整式的________的形式，叫做因式分解。 2. 多项式$$3x^2-6x$$的公因式是________。 3. 分解因式：$$5a^2+10a=$$________。 4. 分解因式：$$-4x^2+8xy=$$________。 5. 多项式$$m(a-b)+n(a-b)$$的公因式是________。 6. 分解因式：$$2x(x-y)-y(x-y)=$$________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列变形属于因式分解的是（） A. $$x^2+2x=x(x+2)$$ B. $$x(x+2)=x^2+2x$$ C. $$x^2+2x=x(x+2)+0$$ D. $$x^2+2x=x^2(1+\dfrac{2}{x})$$ 2. 多项式$$6a^2b-9ab^2$$的公因式是（） A. $$3ab$$ B. $$3a^2b$$ C. $$6ab$$ D. $$ab^2$$ 3. 分解因式$$3x^2-9x$$的结果正确的是（） A. $$3(x^2-3x)$$ B. $$x(3x-9)$$ C. $$3x(x-3)$$ D. $$3x(x+3)$$ 4. 分解因式$$-2m^2+4m$$的结果是（） A. $$-2m(m-2)$$ B. $$-2m(m+2)$$ C. $$2m(m-2)$$ D. $$-2(m^2-2m)$$ 5. 分解因式$$a(x-y)+b(y-x)$$的结果是（） A. $$(x-y)(a+b)$$ B. $$(x-y)(a-b)$$ C. $$(y-x)(a-b)$$ D. $$(x+y)(a-b)$$ 三、解答题（共50分） 1. 基础因式分解（每题6分，共24分） （1）$$4x^2-12x$$ （2）$$8a^2b-24ab^2$$ （3）$$-6m^3+9m^2$$ （4）$$15x^3y^2-10x^2y^3$$ 2. 整体提公因式（12分）：$$3(x-2)+x(2-x)$$ 3. 能力提升求值（14分）：已知$$m-n=2$$，求代数式$$m^2-mn-2n$$的值。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. 积 2. $$3x$$ 3. $$5a(a+2)$$ 4. $$-4x(x-2y)$$ 5. $$a-b$$ 6. $$(x-y)(2x-y)$$ 选择题答案：1.A 2.A 3.C 4.A 5.B 解答题解析：1.（1）原式$$=4x(x-3)$$；（2）原式$$=8ab(a-3b)$$；（3）原式$$=-3m^2(2m-3)$$；（4）原式$$=5x^2y^2(3x-2y)$$。 2. 原式$$=3(x-2)-x(x-2)=(x-2)(3-x)$$，先统一整体因式，再提取公因式化简。 3. 原式$$=m(m-n)-2n$$，代入$$m-n=2$$得$$2m-2n=2(m-n)=4$$。 核心考点总结：提公因式法口诀“一看系数取最大公约数，二看字母取最低次幂”；首项为负先提负号，括号内各项变号；遇见互为相反数的整体，统一符号后再提公因式；因式分解要彻底，不能留有公因式，是后续公式法分解的基础。 学习目标 1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的 区别和联系.（重点） 2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法 分解因式. 学习目标 复习回顾 1.运用前面所学的知识填空： （1）m(a+b+c)=_____________； （2）(x+1)(x−1)=_____________； （3）(a+b)2=_____________. ma+mb+mc x2−1 a2+2ab+b2 2.试一试，观察上面三个等式，填空： （1）ma+mb+mc=( )( )； （2）x2−1=( )( )； （3）a2+2ab+b2=( )2. m a+b+c x+1 x−1 a+b 这些式子有什么共同点？ 都是多项式化为几个整式的积的形式. 把下列多项式写成乘积的形式，观察结果有什么特点. 都是多项式化为几个整式的积的形式 (1) ma + mb + mc = ( )( ) (2) a2 - b2 = ( )( ) (3) a2 + 2ab + b2 = ( )2 m a + b + c a + b a - b a + b 因式分解 1 定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式因式分解，也叫做这个多项式分解因式. 知识要点 x2 - 1 (x + 1)(x - 1) 因式分解 整式乘法 x2 - 1 = (x + 1)(x - 1) 等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 是互为相反的变形，即 x2 + x = x2(1 + ) 在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；不是因式分解的，请说明为什么. ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ③ ⑥ 辨一辨： am + bm + c = m(a + b) + c 24x2y = 3x ·8xy x2－ 1 = (x + 1)(x－ 1) (2x + 1)2 = 4x2 + 4x + 1 2x + 4y + 6z = 2(x + 2y + 3z) 最后不是积的运算 因式分解的对象是多项式 是整式乘法 每个因式必须是整式 pa + pb + pc 多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式. 相同因式 p 这个多项式有什么特点？ 因式分解之基本方法 — 提公因式法 2 找 3 x 2 – 6 xy 的公因式. 系数： 最大公约数 3 字母： 相同的字母 x 所以公因式是 3x 指数： 相同字母的最低次数 1 例1 如何确定一个多项式的公因式？ 典例精析 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. ( a + b + c ) pa+ pb +pc p = 知识要点 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数. 2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母. 3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂. 找一找：下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2 3mn -2xy (1) 3x + 6y (2) ab - 2ac (3) a2 - a3 (4) 9m2n - 6mn (5) - 6x2y - 8xy2 (1) 8a3b2 + 12ab3c； 例2 把下列各式分解因式： 分析：提公因式法的步骤 (分两步)： 第一步：找出公因式； 第二步：提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积. (2) 2a(b + c) - 3(b + c). 公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法. 典例精析 解：（1） 8a3b2 + 12ab3c = 4ab2 · 2a2 + 4ab2 · 3bc = 4ab2(2a2 + 3bc). 如果提出公因式4ab，另一个因式是否还有公式？ 另一个因式将是 2a2b + 3b2c， 它还有公因式是 b. （2）2a(b + c) - 3(b + c) = (b + c)(2a - 3). 如何检查因式分解是否正确？ 做整式乘法运算去检验. 例3 把下列多项式分解因式： (1) －5a² + 25a； (2) 3a²－9ab； (2) 3a²－9ab = 3a(а－3b). 解：(1) －5a² + 25a = －5a(a－5). 典例精析 跟踪训练 1.分解因式： ①ax+ay； ②3mx−6my； ③8m2n+2mn； ④12xyz－9x2y2； ⑤2a(y−z)−3b(z−y)； ⑥p(a2+b2)−q(a2+b2) . =a(x+y) =3m(x−2y) =2mn(4m+1) =3xy(4z－3xy) =(y−z)(2a+3b) =(a2+b2)(p−q) 随堂练习 2. 先分解因式，再求值： 4a2(x＋7) －3(x＋7)，其中a＝－5，x＝3 . 当a=－5，x=3时， 原式= 随堂练习 3. 计算5×34＋4×34＋9×32. 随堂练习 4.简便计算： 随堂练习 返回 1. 下列等式中，从左向右的变形为因式分解的是(　　) A．x3－x＝x(x－1)(x＋1) B．a2(a－1)＝a3－a2 C．a2－2a－1＝a(a－2)－1 D．(a－3)(a＋3)＝a2－9 A 考试考法 20 返回 2. 根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_____________________________________. x2＋6x＋8＝(x＋2)(x＋4) 考试考法 21 3. 已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值． 考试考法 22 返回 方法2：设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， ∴当x＝－3时，x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)＝0， 即(－3)2－4×(－3)＋m＝0，解得m＝－21， ∴x2－4x＋m＝x2－4x－21＝(x＋3)(x－7)， ∴另一个因式为x－7，m的值为－21. 考试考法 返回 4．把多项式12ab2c＋3ab3分解因式，应提的公因式是(　　) A．3ab B．3ab2 C．12ab3c D．12a2b5c B 考试考法 24 返回 5. 把下列各式分解因式： (1)－a2b3c＋2ab2c3－ab2c；   (2)m(m－n)－3(n－m)；   (3)5x(x－2y)3－20y(2y－x)3. 【解】原式＝－ab2c(ab－2c2＋1)． 【解】原式＝m(m－n)＋3(m－n)＝(m－n)(m＋3)． 【解】原式＝5x(x－2y)3＋20y(x－2y)3＝5(x－2y)3(x＋4y)． 考试考法 25 返回 6．长宽分别为a，b的长方形周长为16，面积为12，则a2b＋ab2的值为(　　) A．80 B．96 C．192 D．240 B 考试考法 26 返回 7. 已知a－b＝5，b－c＝－6，则代数式a2－ac－b(a－c)的值为(　　) A．－30 B．30 C．－5 D．－6 C 考试考法 27 返回 8．计算(－2)100＋(－2)101所得的结果是________． －2100 考试考法 28 返回 9. 篮子里有若干个苹果，可以平均分给(x＋1)名同学，也可以平均分给(x－3)名同学(x为大于3的正整数)，用代数式表示苹果数量不可能的是(　　) A．(x＋1)(x－3) B．x(x2－2x－3) C．x2－4x＋3 D．2x3－4x2－6x C 考试考法 29 返回 10. △ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，则△ABC一定是(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 B 考试考法 30 返回 11. 已知a>b，a>c，若M＝a2－ac，N＝ab－bc，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M＝N C．M>N D．不能确定 C 【点拨】∵M＝a2－ac，N＝ab－bc，∴M－N＝a(a－c)－b(a－c)＝(a－b)(a－c)．∵a>b，a>c，∴a－b＞0，a－c＞0.∴(a－b)(a－c)＞0.∴M＞N. 考试考法 31 返回 12. 已知x2－x－1＝0，则x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x的值是(　　) A．0　 B．1　 C．－1　 D．2 A 【点拨】∵x2－x－1＝0，∴x2 025－x2 024－x2 023＋x2 022－x2 021－x2 020＋…＋x3－x2－x＝(x2 025－x2 024－x2 023)＋(x2 022－x2 021－x2 020)＋…＋(x3－x2－x) ＝x2 023(x2－x－1)＋x2 020(x2－x－1)＋…＋x(x2－x－1) ＝0＋0＋…＋0＝0. 考试考法 32 因式 分解 定义 am + bm + mc = m(a + b + c) 提公因式法 确定公因式的方法：三定，即定系数；定字母；定指数 分两步：第一步找公因式；第二步提公因式 注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；④提负号，要注意变号 课堂小结 【解】方法1：(1)设另一个因式为x＋n，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n， ∴解得 ∴另一个因式为x－7，m的值为－21. $