第二十七章 反比例函数（单元测试·基础卷）数学冀教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十七章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图像在（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 4．（2025·河北·模拟预测）一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为（   ） A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 5．（2025·河北衡水·模拟预测）反比例函数的图象经过，两点，其中，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 6．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把一次函数的系数k与b的比值称为该一次函数的“特征值”．如图，将一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于P，Q两点，点P，Q恰好关于原点对称，则一次函数的“特征值”是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，，反比例函数的图象经过对角线的交点，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（   ） 若反比例函数的图象过点，则它必过点； 在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个． A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对 11．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 12．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ． 15．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1） ； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为 16．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 19．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 20．（8分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n，k的值． (2)若P是y轴正半轴上的一点，连接，直线与y轴交于点Q，当时，求的面积． 21．（9分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 22．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 23．（11分）（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 24．（12分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 1 / 9 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6．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把一次函数的系数k与b的比值称为该一次函数的“特征值”．如图，将一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于P，Q两点，点P，Q恰好关于原点对称，则一次函数的“特征值”是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出平移后的直线解析式为，根据与反比例函数的图象交于P，Q两点，且点P，Q关于原点对称，得到直线经过原点，从而求出m，根据“特征值”的定义即可求解． 本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A，B关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键． 【详解】解：由题意得一次函数的图象向上平移3个单位长度后解析式为， ∵直线与反比例函数的图象交于P，Q两点，点P，Q恰好关于原点对称， ∴点P，Q，O在同一直线上， ∴直线经过原点， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， ∴一次函数的“特征值”是． 故选：B． 7．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 【答案】A 【分析】本题主要考查了列关系式、反比例的定义等知识点，掌握反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数成为解题的关键． 先根据题意列出y与x的关系是可判定甲同学的正误；根据反比例函数是自变量与函数值的积为定值的函数可判断乙同学的正误． 【详解】解：根据题意列出y与x的关系是，即甲同学结论正确； 由，则y与x成反比例关系． 所以甲、乙的都对． 故选A． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的性质及三角形面积的计算；掌握利用坐标表示线段长度并结合面积公式求出的绝对值是解题的关键．通过设点A坐标，利用反比例函数性质得到，结合平行于轴确定点B坐标，再根据三角形面积公式求出，进而得到 ，确定反比例函数表达式． 【详解】设点A的坐标为，因为点A在反比例函数的图像上，所以满足，即， 由于平行于x轴且交y轴于点B，则点B与点A的纵坐标相同（均为b），且点B在y轴上（横坐标为0），因此点B的坐标为， 的三个顶点坐标分别为、、， 的长度为点A与点B的水平距离，即； 点O到的垂直距离为所在直线到原点的距离，即， 根据三角形面积公式，的面积为：面积底高， 化简得：， 由于，因此，即或， 反比例函数的表达式为或， 结合选项，因此最合理的表达式为． 9．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，，反比例函数的图象经过对角线的交点，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、求反比例函数的解析式．先根据中点坐标公式求得对角线的交点坐标，再待定系数法求k值即可． 【详解】解：如图，设对角线的交点为点，则， ， ， ∵反比例函数的图象经过点， ， 故选：C． 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（   ） 若反比例函数的图象过点，则它必过点； 在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个． A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数图像和性质，先求出反比例函数解析式，然后代入检验即可判断；根据题意确定出系数的取值范围即可判断，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴，，，，，，，， 把代入得， 把，，，，，，，，代入符合的为点，故判断正确； ∵只有个在反比例函数图象的上方， ∴点在上方，点和点在图象下方或在图象上， 故的取值范围为， ∴整数为，，，共个， 故判断正确， 故正确， 故选：． 11．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 12．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，先求出直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的整点个数，即的值，再根据每个选项确定的值，判断即可． 【详解】解：令，则，令，则， 则直线与x轴交于，与y轴交于， 围成三角形区域，内部整点需满足：取（整数），满足（正整数）， 逐一代入计算：时，无解； 时，（1个）； 时，（2个）； 时，（3个）； 时，（4个）． 总计． 计算双曲线区域整点数m， A、当时，满足的正整数对有： 时，（3个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． B、当时，满足的正整数对有： 时，（4个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 总计，与不相等．不符合题意． C、当时，满足的正整数对有： 时，（5个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与相等．符合题意． D、当时，满足的正整数对有： 时，（6个）； 时，（3个）； 时，（2个）； 时，（1个）； 时，（1个）； 时，（1个）． 总计，与不相等．不符合题意． 综上，当时，， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数k的意义． 根据图像在第二、四象限列不等式计算即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像在第二、四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】根据，得到反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大，结合时，y的最小值为，此时反比例函数经过点，解答即可． 本题考查了反比例函数的增减性，待定系数法求k，熟练掌握性质和待定系数法是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故反比例函数在每个象限内，y随x的增大而增大， 由时，y的最小值为， 故时，y的最小值为， 此时反比例函数经过点， 故． 故答案为：． 15．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1） ； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为 【答案】 5 【分析】本题考查了求反比例函数的函数值．熟练掌握求反比例函数的函数值是解题的关键． （1）由点，，在函数的图象上，可得，，，，然后代值求解即可得知， ，， （2）结合轴，，，，则，然后代值求解得出的取值范围． 【详解】解：（1）∵点，，在函数的图象上， ∴，，，， 得， ，， ∴， 故答案为：5 （2）连接，如图所示： 由（1）得， ，， ∵轴，，，． ∴ ∵反比例函数与有交点, ∴，则； ∴，则； ∴，则； 即的取值范围为 故答案为： 16．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作，如图所示，先由已知三角形面积得到，再由等腰直角三角形的判定与性质，结合三角形面积公式求出，过点作，如图所示，再由、分别为的三等分点，由相似三角形的判定与性质，数形结合求出，最后根据反比例函数的图象交线段于点，将代入函数表达式即可得到答案． 【详解】解：过点作，如图所示： 与以上所在边为底，则高相同，均为， 、分别为的三等分点， ， 的面积为3， ， 在中，，，则是等腰直角三角形， ，解得， 过点作，如图所示： ， ， ， ， 、分别为的三等分点， ，则，， ，， ， 反比例函数的图象交线段于点， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形面积公式、三等分点性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、反比例函数图象与性质等知识．找准三角形面积之间的关系，数形结合，求出点坐标是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：； ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，掌握待定系数法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数为常数，中，求出的值，即可得出这个函数的解析式； （2）分别求出当时，当时的值，再根据函数的增减性得出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数为常数，的图象经过点， ， ， ∴该反比例函数的解析式为； （2）解：当时，， 当时，， ∵反比例函数，在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， 当时，的取值范围是． 19．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数以及反比例函数的图象和性质． （1）由网格得出，然后利用待定系数法求解反比例函数即可． （2）先求出当时，y的值，然后再结合反比例函数的图象即可得出答案． 【详解】（1）解：根据网格可知：， 把代入， 可得出：， ∴反比例函数的解析式为： （2）解：当时， ， 结合函数图象可知，当，． 20．（8分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n，k的值． (2)若P是y轴正半轴上的一点，连接，直线与y轴交于点Q，当时，求的面积． 【答案】(1)； (2)16． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点，代入一次函数，求出的值，再把点代入，求出的值，即可作答． （2）先求出，得，再运用列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得； 将点代入， 得； 将点代入， 得． （2）解：当时，， ∴点， ∴， ∴， ． 21．（9分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：三个整数点，如图所示：    （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 22．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：； (2)或； (3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可． （1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可； （2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴， 解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：． （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴当或时，． （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 23．（11分）（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】(1)，1， (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及三角形面积问题，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式，然后确定与坐标轴的交点即可； （2）根据题意得出三角形的高相等，确定，即可求解； （3）根据题意得出要点共有6个，分别为：，然后结合图像确定当反比例函数恰好经过点时，符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和， 得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为； （2）∵点为正半轴上的一点，，高相等， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：， 当反比例函数恰好经过点时，， 当时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴． 24．（12分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，由勾股定理可求得的长； （2）如图3，设与相交于点，根据题意得，易证，所以，则，求出的估算值即可得出结论； （3）过点作轴于点，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线与的交点为，则，过点作轴于点，可得，由此可得点的坐标，进而可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，可得的坐标，进而可求出的长度，即可得出的最大整数值． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点， 根据题意得： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． （3）如图4，过点作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 如图所示，延长交轴于点，则，且， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数值为． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角的判定和性质，一次函数、反比例函数于几何图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十七章 反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）下列函数中，是反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北唐山·期末）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）反比例函数的图像在（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 4．（2025·河北·模拟预测）一个用电器的电阻R、电功率P与它两端的电压U之间的关系式为，当用电器电阻为4欧姆，消耗的电功率为36瓦时，它两端的电压为（   ） A．144伏特 B．72伏特 C．24伏特 D．12伏特 5．（2025·河北衡水·模拟预测）反比例函数的图象经过，两点，其中，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 6．（2025·河北·模拟预测）在平面直角坐标系中，我们把一次函数的系数k与b的比值称为该一次函数的“特征值”．如图，将一次函数的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数的图象交于P，Q两点，点P，Q恰好关于原点对称，则一次函数的“特征值”是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂现有原材料100吨，每天平均用去x吨，这批原材料能用y天．关于甲、乙两同学的结论，下列判断正确的是（    ） 甲同学：y与x的关系是； 乙同学：y与x成反比例关系 A．甲、乙的都对 B．甲、乙的都不对 C．只有甲对 D．只有乙对 8．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，反比例函数的图像的一个分支上有一点A，平行于x轴，交y轴于点B，的面积是1，则反比例函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图，，反比例函数的图象经过对角线的交点，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．12 10．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，网格（每个小正方形的边长为）中有，，，，，，，，九个格点，点的坐标为，反比例函数的表达式为，对于，下列判断正确的是（   ） 若反比例函数的图象过点，则它必过点； 在九个格点中，若只有个在反比例函数图象的上方，则的整数值有个． A．都对 B．都不对 C．只有对 D．只有对 11．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 12．（2025·河北邯郸·三模）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知双曲线与两坐标轴正半轴之间区域内（不含边界）有个整点，直线与两坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）有个整点．若，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．若反比例函数的图像在第二、四象限，则的取值范围是 ． 14．（2025·河北沧州·模拟预测）已知反比例函数，当时，y的最小值为，则k的值为 ． 15．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，反比例函数的图象在第一象限，已知点，，在函数图象上，轴，，，． （1） ； （2）若反比例函数与有交点,则的取值范围为 16．（2025·河北保定·二模）如图，平面直角坐标系内，点、点分别位于两轴正半轴上，，反比例函数的图象交线段于点，，且、分别为的三等分点，且的面积为3，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）已知． (1)当为何值时，是的正比例函数？ (2)当为何值时，是的反比例函数？当时，求的值． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)当时，求的取值范围． 19．（8分）（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，求的取值范围． 20．（8分）（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m，n，k的值． (2)若P是y轴正半轴上的一点，连接，直线与y轴交于点Q，当时，求的面积． 21．（9分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．    (1)求这个反比例函数的表达式； (2)画出反比例函数的图象； (3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？ 22．（9分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，一次函数（）的图像与反比例函数（）的图像交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)已知点在轴上，点在反比例函数图像上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 23．（11分）（2025·河北唐山·二模）如图，已知直线与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． (1)求的值，并求点的坐标； (2)若点为正半轴上的一点，，求点的坐标； (3)在第（2）问的条件下，若点在轴的正半轴上．约定：将（2）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且个数的比值为，直接写出符合条件的的整数值． 24．（12分）（24-25九年级上·河北衡水·期中）项目式学习 项目主题：守护生命，“数”说安全． 项目背景：随着社会的发展，安全问题变得日益重要．某校为了提高学生的安全意识，开展以“守护生命，‘数’说安全”为主题的项目式学习活动．创新小组通过考查测量、模拟探究和成果迁移等环节，开展弯道对通行车辆长度的限制研究． 任务一：考查测量 （1）如图1，创新小组所选取弯道的内、外侧均为直角，道路宽均为，则 ． 任务二：模拟探究 如果汽车在行驶中与弯道内、外侧均无接触，则可安全通过． （2）如图2，创新小组用矩形模拟汽车通过宽均为的直角弯道，发现当的中点与点重合，且，点落在弯道外侧上时，矩形恰好不能通过该弯道．若，要使矩形能通过该直角弯道，求的最大整数值． 任务三：成果迁移 （3）如图3，某弯道外侧形状可近似看成反比例函数的图象，第一象限的角平分线交图象于点，弯道内侧的顶点在射线上，两边分别与轴，轴平行，．创新小组探究发现通过该弯道的原理与通过直角弯道的原理一致．有一辆长为，宽为的汽车需要安全通过该弯道，求的最大整数值．（参考数据：，） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十七章 反比例函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C B D B A B C A D C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13． 14． 15．5 16． 5 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】(1) (2)； 【分析】本题主要考查了正比例函数与反比例函数的定义： （1）根据正比例函数的定义可得且，即可求解； （2）根据反比例函数的定义可得且，即可求解． 【详解】（1）解：∵是正比例函数， ∴且， 解得：；·····························3分 （2）解：∵是反比例函数， ∴且， 解得：；·····························5分 ∴该反比例函数的解析式为， 当时，， 解得：．·····························7分 18．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，掌握待定系数法是解题的关键． （1）把点代入反比例函数为常数，中，求出的值，即可得出这个函数的解析式； （2）分别求出当时，当时的值，再根据函数的增减性得出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数为常数，的图象经过点， ， ， ∴该反比例函数的解析式为；·····························4分 （2）解：当时，， 当时，， ∵反比例函数，在每个象限内函数值随自变量的增大而减小， 当时，的取值范围是．·····························8分 19．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数以及反比例函数的图象和性质． （1）由网格得出，然后利用待定系数法求解反比例函数即可． （2）先求出当时，y的值，然后再结合反比例函数的图象即可得出答案． 【详解】（1）解：根据网格可知：， 把代入， 可得出：， ∴反比例函数的解析式为：·····························4分 （2）解：当时， ， 结合函数图象可知，当，．·····························8分 20．（8分） 【答案】(1)； (2)16． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）把点，代入一次函数，求出的值，再把点代入，求出的值，即可作答． （2）先求出，得，再运用列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得； 将点代入， 得； 将点代入， 得．·····························4分 （2）解：当时，， ∴点， ∴， ∴， ．·····························8分 21．（9分） 【答案】(1) (2)作图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键． （1）将A点坐标代入即可求解； （2）分别找出三个整数点即可画出函数图象； （3）由，当时，，从而得到平移距离． 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点， 将代入得解析式得， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为；·····························3分 （2）解：三个整数点，如图所示：   ·····························6分 （3）解：由题意可知， 当时，， 将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．·····························9分 22．（9分） 【答案】(1)反比例函数的表达式为：；一次函数的表达式为：； (2)或； (3)点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形 【分析】本题考查函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图像和性质，反比例函数的图像和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，平行四边形存在性问题，进行解答，即可． （1）根据点，在一次函数和反比例函数的图像上，利用待定系数法，即可； （2）由函数图像，当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，，即可； （3）根据平行四边形的性质，分类讨论：①当，是对角线；②当，是对角线时；③当，是对角线时，根据中点坐标，进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵，在反比例函数图像上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：；·····························2分 ∴， ∴， ∴点， ∵点，在一次函数， ∴， 解得：， ∴， ∴一次函数的表达式为：．·····························4分 （2）解：由（1）得，， 当一次函数的图像在反比例函数的图像上时，， ∴当或时，．·····························6分 （3）解：∵点在轴上，点在反比例函数图像， ∴设点，， ∵四边形是平行四边形， ∴①当，是对角线， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ②当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当，是对角线时， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为：或或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．·····························9分 23．（11分） 【答案】(1)，1， (2) (3) 【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，待定系数法确定函数解析式及三角形面积问题，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）利用待定系数法代入求解即可确定函数解析式，然后确定与坐标轴的交点即可； （2）根据题意得出三角形的高相等，确定，即可求解； （3）根据题意得出要点共有6个，分别为：，然后结合图像确定当反比例函数恰好经过点时，符合题意，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：将点分代入直线和， 得，， 解得：，·····························2分 ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为；·····························3分 （2）∵点为正半轴上的一点，，高相等， ∴， ∵， ∴， ∴；·····························6分 （3）根据图象得：要点共有6个，分别为：， 当反比例函数恰好经过点时，， 当时，， 由图得反比例函数上面有2个要点，下面有4个要点，符合题意； ∴．·····························11分 24．（12分） 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）延长内侧交外侧于点，则，由勾股定理可求得的长； （2）如图3，设与相交于点，根据题意得，易证，所以，则，求出的估算值即可得出结论； （3）过点作轴于点，由勾股定理可得，可得，进而可得反比例函数的解析式为；设直线与的交点为，则，过点作轴于点，可得，由此可得点的坐标，进而可求得直线的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，可得的坐标，进而可求出的长度，即可得出的最大整数值． 【详解】解：（1）如图1，延长内侧交外侧于点，则， ∴， ∴， 故答案为：；·····························3分 （2）解法一、如图3（1），设与相交于点，根据题意得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为． 解法二：如图3（2），设直线分别与直线相交于点， 根据题意得： ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴根据实际情况可得：的最大整数值为．·····························6分 （3）如图4，过点作轴于点， 由勾股定理可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设直线与的交点为，则， 过点作轴于点，则， ∴， ∴， 如图所示，延长交轴于点，则，且， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴的最大整数值为．·····························12分 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角的判定和性质，一次函数、反比例函数于几何图形的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $