第二十八章 圆（单元测试·提升卷）数学冀教版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A C B A A B B C D D C 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．/120 度 14． 15．2 16．6 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分） 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ．·····································7分 18．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可； （3）点A旋转到经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形； ·····································2分 （2）解：如图，即为所求作的三角形；·····································4分 （3）解：如图，，， 点A所经过的路径长．·····································8分 19．（8分） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ，·····································2分 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米；·····································4分 （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯．·····································8分 20．（8分） 【答案】(1)= (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=；·····································2分 （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴；·····································5分 （3）∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴，·····································6分 ∴的值为， ∴，·····································7分 ∴优弧==.·····································8分 21．（9分） 【答案】(1)1.5m (2) 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为．·····································4分 （2）如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴．·····································6分 连接，，则， ∴． 又∵， ∴，·····································8分 ∴．·····································9分 22．（9分） 【答案】(1) (2)见解析 (3)；②3 【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得 ②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ；·····································2分 （2）证明：， ， 又，， (AAS)；·····································4分 （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ·····································6分 ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ．·····································9分 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 23．（11分） 【答案】(1) (2)①的值不变，；②或或 【分析】（）连接，由勾股定理可得，，再利用解答即可求解； （）①由圆周角定理可得，进而根据正切的定义即可解答；②分三种情况：经过时；经过时；经过，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴；·····································3分 （2）解：①的值不变，理由如下： 如图，， ，·····································5分 ②如图，当经过时，点与重合，此时；·····································7分 如图，当经过时， 在中，，， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ， ， ， ；·····································9分 如图，当经过时，作交的延长线于， 根据对称性可知，， 在中，， ， ， ； 综上所述，或或时，矩形恰好有个顶点落在上．·····································11分 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角形函数等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24．（12分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形，切线的性质，相似的性质． （1）点A与点P的最小距离为圆的半径减去的长度，即可解答； （2）①连接， 由为直角三角形，利用勾股定理求得的长度，可得为等腰直角三角形，进而求得的面积，，即可解答； ②过点作于点，连接，过点A的切线与平行，则，可证，则，即可得到，在中，利用勾股定理求得的长度，可得，，；在中，利用勾股定理可得，即可解答． 【详解】（1）如图1，当点P在半径上时，的长度最小， ∴． ·····································3分 （2）①连接，当边经过圆心O时， ，，， ， ∴， 为等腰直角三角形 ， ， ·····································6分 ②如图：此时，过点作于点，连接，有 ，， ∴，， ∴， ， ，·····································8分 在中，， ，， ， ，， 在中， ， ，·····································10分 ．·····································12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（   ） ①三角形的三个顶点可以确定一个圆；②顶点在圆上的角是圆周角；③同弧所对的圆周角相等 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B 【分析】通过分析三个命题的真假来判断正确选项．本题主要考查圆的确定条件、圆周角定义及圆周角定理，熟练掌握不在同一直线上的三点确定一个圆、圆周角的定义及同弧所对圆周角相等是解题的关键． 【详解】解：①∵ 不在同一直线上的三个点确定一个圆 ∴ 三角形的三个顶点可以确定一个圆，故原说法正确； ②∵ 顶点在圆上且两边都与圆相交的角才是圆周角 ∴ 仅顶点在圆上不能确定是圆周角，故原说法错误； ③∵ 同弧所对的圆周角都等于圆心角的一半 ∴ 同弧所对的圆周角相等，故原说法正确； 综上，正确的有①③，共2个． 故选：B． 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出． 【详解】解：连接和， ∵半径为，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，由可得，即得，再根据邻补角的性质即可求解，掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 故选：． 4．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 【答案】B 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，延长交圆于D，设与圆交于E，连接，则，只需要比较出三个角的大小关系即可得到答案． 【详解】解；如图所示，延长交圆于D，设与圆交于E，连接，则， ∵， ∴， ∴仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是B处， 故选：B． 5．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 【答案】A 【分析】本题考查角平分线作法及性质，垂直平分线作法及性质，垂径定理等．根据题意逐一对作法进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：甲：由作图可知平分， ∴， ∴，即作法一正确， 乙：由作图可知平分， ∵， ∴， ∵经过圆心， ∴，即作法二正确， 丙：由作图可知垂直平分选段，经过圆心， ∴，故作法三正确， 故选：A． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，反比例函数的图象和性质，设扇面的半径为，利用扇形面积公式求出与的函数关系式，进而根据函数的图象和性质判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设扇面的半径为，则，， ∴， ∴是的反比例函数， ∵，， ∴反比例函数图象分布在第一象限，且随的增大而减小， 故选：． 7．（24-25九年级上·河北·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形的面积．根据这扇车门底边扫过的区域是扇形，求出扇形的半径和圆心角，然后由扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意这扇车门底边扫过的区域是扇形， 其中扇形的半径为，圆心角最大角度为， ∴扇形的最大面积为：， 故选：B． 8．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质和弧长的计算公式．由题意可知，每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1，然后根据弧长的公式计算即可． 【详解】解：三角形是等边三角形，边长为1， ，， 第一段圆弧圆心角：， 第二段圆弧圆心角：， 以点为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点（第一段圆弧）， ， ， 以此类推，可以知道每段圆弧的中心角都是，每段圆弧的半径依次增加1， 所以蚊香的长度为， 故选：B． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长公式，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质；连接，根据，，易证是等腰三角形，再根据，推出是等边三角形，得到，即可求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接， ，， ， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 【答案】D 【分析】本题考查圆的内接四边形的性质，方向角，关键是由圆的内接四边形的性质求出和的度数． 由平行线的性质推出，求出，故可判断A选项；连接，由圆的内接四边形的性质推出，求出，得到点D在点A的南偏东的方向上，故可判断B选项；求出，得到，因此点E在点A的南偏东方向上，故可判断C选项；由圆的内接四边形的性质求出，得到，故可判断D选项． 【详解】解：如图，    由题意可得， ∴， ∴， ∴，故A选项错误； 连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点A的南偏东的方向上，故B选项错误； ∵， ∴ ∴在四边形中，， ∴， ∴点E在点A的南偏东方向上，故C选项错误； ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∴， ∴，故D选项正确． 故选：D 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作于，于．则四边形是矩形．解求出的长，进而得到的长，再求出的值，最后根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，当点落在直线上时，作于，于．则四边形是矩形． 在中，， ∴可设， ∵，， ∴， 解得或（舍去）， ，， ， 由旋转的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旋转到所扫过的面积为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，扇形面积计算，正确作出辅助线构造直角三角形求出的长是解题的关键． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】假设，则，再根据点是的中点得，则，即点将半圆三等分，但是根据已知条件无法证明点将半圆三等分，由此可对①进行判断；连接，根据圆周角定理结合三角形内角和定理可对②进行判断；延长交于，连接，由得，则，再根据垂径定理得，据此可对③进行判断；根据垂径定理得，则，即，推出，在中由，设，则，则，则，进而得，证明得，据此可对④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：假设， 则， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴点将半圆三等分， 根据已知条件无法证明点将半圆三等分， ∴假设是错误的，故①不正确； 连接， ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 又 ∵， ， ∴，故②正确； 延长交于，连接，如图2所示： ， ， ， ∵为直径，， ， ∴，故③正确； ∵为直径，， ， 又 ∵， ， ， 即， ， 在中，， ∴可设， 由勾股定理得：， ， ， 在 中，由勾股定理得：， ， ， 是直径， ， ， ， ∴，故④正确．故②③④正确，共3个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理，熟练相关知识点，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理进行计算是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·期末）某中学开展劳动教育，学生到教具加工厂参观制作圆锥．加工厂制作的圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则这种圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ． 【答案】/120 度 【分析】本题考查圆锥的知识，截图的关键是掌握圆锥展开的图形为扇形，根据展开图形的性质，可得圆锥的底面周长为扇形的弧长，即，即可求出圆锥的侧面展开图的圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为， 由题意可得：圆锥的母线长为，底面圆的半径为， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 14．（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长计算公式，根据题意可得弧和弧的长分别是直径为的圆的周长，据此根据弧长公式可得的长，再根据即可建立方程求解． 【详解】解：由题意得：， 解得 故答案为： ． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，圆周角定理，轴对称最短路径问题，等边三角形的性质与判定，正确作出辅助线推出能取得最小值的情形是解题的关键． 作A关于的对称点Q，连接交于P，此时根据两点之间线段最短，的最小值为的长度． 【详解】解：作A关于的对称点Q，连接交 于P， ∵点B 为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为2， 故答案为：2． 16．如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ． 【答案】 6 【分析】本题主要考查了圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 根据点C为的中点，得，根据三角形内角和定理得，再根据得，则；连接，设，根据直径所对的圆周角是直角得，进而根据三角形内角和定理及得，则，在和中，由勾股定理得，由此解出a的值即可得出的长． 【详解】解：∵点C为的中点，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图：连接，设， ∵是的直径， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 根据圆周角定理得：， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：6； ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆周角定理，熟练应用相关性质定理是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，由三角形内角和为计算得到的度数，由圆周角定理得，，从而得解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点所经过的路径长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形弧长公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）利用轴对称的性质画出图形即可； （2）利用旋转变换的性质画出图形即可； （3）点A旋转到经过的路径长即为圆弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：即为所求作的三角形； （2）解：如图，即为所求作的三角形； （3）解：如图，，， 点A所经过的路径长． 19．（8分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 【答案】(1)喷泉的半径为5米 (2)大约需要安装24盏景观灯 【分析】本题主要考查勾股定理、垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键； （1）连接，设喷泉的半径为，则：，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）由（1）可知米，然后根据圆的周长可进行求解． 【详解】（1）解：连接，设喷泉的半径为，则：， ， 是弦的中点， 平分弦，， ， ， ， 米； 答：喷泉的半径为5米； （2）解：由题意，得：米， ∴（盏） 答：大约需要安装24盏景观灯． 20．（8分）（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； （3）∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴， ∴的值为， ∴， ∴优弧==. 21．（9分）（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 【答案】(1)1.5m (2) 【分析】（1）连接交于点N，则，得，连接，设的半径为r ，则，根据勾股定理得，解方程即可解答． （2）连接，则，．过点O作于点H，由矩形的判定与性质得到，连接，，则，，再根据圆周角定理得到即可解答． 本题考查了矩形的判定与性质，角平分线的性质，圆周角定理，勾股定理，熟练掌握作辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图（1），连接交于点N，则， ∴，， ∴ 连接，设的半径为r ，则． 由勾股定理，得， ∴，解得． 故的半径为． （2）如图（2），连接，则，． 过点O作于点H． 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 连接，，则， ∴． 又∵， ∴， ∴． 22．（9分）（2025·河北唐山·二模）如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)；②3 【分析】（1）求劣弧长，需先确定其所对圆心角及圆半径，再用弧长公式计算． （2）利用圆中弧与角的关系找全等条件，用全等判定定理证明． （3）①通过角度关系求，在直角三角形中用三角函数求，进而得 ②构造辅助线，利用三角形相关性质确定EF与其他线段关系，根据三边关系求最大值． 【详解】（1）连接， ， 为等边三角形，， ； （2）证明：， ， 又，， (AAS)； （3）①连接 由（1）得， 当时，， 在中，， ； ②取中点，连接， 是中点， ， 在中，为中点，为中点， ， 因为，是中点， 在中， ， 在中，根据三角形三边关系 ，当、、三点共线时取等号 ，所以最大值为 ． 【点睛】本题主要考查圆的相关性质，包括弧长计算、圆周角与弧的关系，以及三角形的知识，如等边三角形判定、全等三角形判定、直角三角形边角关系、三角形中位线定理和三边关系等，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 23．（11分）（2025·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过三点的交直线于点，连接，设． (1)当时，求的长； (2)在点的整个运动过程中， ①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； ②当矩形恰好有个顶点落在上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①的值不变，；②或或 【分析】（）连接，由勾股定理可得，，再利用解答即可求解； （）①由圆周角定理可得，进而根据正切的定义即可解答；②分三种情况：经过时；经过时；经过，分别画出图形进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ∴； （2）解：①的值不变，理由如下： 如图，， ， ②如图，当经过时，点与重合，此时； 如图，当经过时， 在中，，， ∴， ∵， ∴是的直径， ∴， ， ， ， ； 如图，当经过时，作交的延长线于， 根据对称性可知，， 在中，， ， ， ； 综上所述，或或时，矩形恰好有个顶点落在上． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角形函数等，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 24．（12分）（2025·河北廊坊·二模）如图1，已知的半径为2，是内一点，且，，B是上两点，连接，、形成，随点的移动，点在上随之移动，且始终满足． (1)点与点的最小距离为________； (2)①如图2，当边经过圆心O时，求图中阴影部分的面积； ②当过点的切线与平行，且、两点在直线的两侧时，求的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形，切线的性质，相似的性质． （1）点A与点P的最小距离为圆的半径减去的长度，即可解答； （2）①连接， 由为直角三角形，利用勾股定理求得的长度，可得为等腰直角三角形，进而求得的面积，，即可解答； ②过点作于点，连接，过点A的切线与平行，则，可证，则，即可得到，在中，利用勾股定理求得的长度，可得，，；在中，利用勾股定理可得，即可解答． 【详解】（1）如图1，当点P在半径上时，的长度最小， ∴． （2）①连接，当边经过圆心O时， ，，， ， ∴， 为等腰直角三角形 ， ， ②如图：此时，过点作于点，连接，有 ，， ∴，， ∴， ， ， 在中，， ，， ， ，， 在中， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（   ） ①三角形的三个顶点可以确定一个圆；②顶点在圆上的角是圆周角；③同弧所对的圆周角相等 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 5．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 7．（24-25九年级上·河北·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·期末）某中学开展劳动教育，学生到教具加工厂参观制作圆锥．加工厂制作的圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则这种圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ． 14．（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 16．如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点所经过的路径长（结果保留）． 19．（8分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 20．（8分）（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 21．（9分）（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 22．（9分）（2025·河北唐山·二模）如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 23．（11分）（2025·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过三点的交直线于点，连接，设． (1)当时，求的长； (2)在点的整个运动过程中， ①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； ②当矩形恰好有个顶点落在上时，直接写出的值． 24．（12分）（2025·河北廊坊·二模）如图1，已知的半径为2，是内一点，且，，B是上两点，连接，、形成，随点的移动，点在上随之移动，且始终满足． (1)点与点的最小距离为________； (2)①如图2，当边经过圆心O时，求图中阴影部分的面积； ②当过点的切线与平行，且、两点在直线的两侧时，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第二十八章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（24-25九年级上·河北沧州·期末）下列说法正确的有（   ） ①三角形的三个顶点可以确定一个圆；②顶点在圆上的角是圆周角；③同弧所对的圆周角相等 A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，是的外接圆，半径为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，，已知是的直径，，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·河北·一模）如图，球员分别在点A，B，C处定点射门，表示球门，点A在圆上，点B在圆内，点C在圆外，若仅从射门的位置考虑，进球概率最大的是（   ） A．点A处 B．点B处 C．点C处 D．都一样 5．（2025·河北石家庄·一模）是的外接圆，在弧上找一点，使点平分弧．对图中的三种作法，下列说法正确的是（   ） A．三种作法均正确 B．只有作法一和作法二正确 C．只有作法二和作法三正确 D．只有作法二正确 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为；该折扇张开的角度为时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（    ） A．B．C． D． 7．（24-25九年级上·河北·期末）如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图为某校数学社团用数学软件制作的“蚊香”画法如下：在水平直线上取长为的线段，作等边，然后以点B为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点D（第一段圆弧）；再以点C为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线于点E（第二段圆弧）；再以点A为圆心，为半径逆时针画圆弧交线段的延长线（第三段圆弧）；…；以此类推，当得到的“蚊香”恰好有六段圆弧时，“蚊香”的总长度是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接，若，则的长是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·河北邯郸·三模）如图，公园里，，，四个亭子（看作点）在上，且点在点的南偏西方向上，点在点的正南方，点在点的南偏东方向上．计划在的延长线上再修建一个亭子，使．下列说法正确的是（   ）    A． B．点在点的南偏东方向上 C．点在点的南偏东方向上 D．设与交于点，连接，则 11．（24-25九年级上·河北唐山·期末）平面内，如图，在中，，，．点P为边上任意一点，连接，将绕点P逆时针旋转得到线段．当点Q恰好落在直线上，则旋转到所扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，是直径，是弦，D是弧的中点，于点G，交于点E，交于点F，下列结论一定正确的有（    ）个 ①  ②  ③  ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13．（24-25九年级上·河北保定·期末）某中学开展劳动教育，学生到教具加工厂参观制作圆锥．加工厂制作的圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则这种圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是 ． 14．（2025·河北石家庄·二模）一无盖纸杯如图1所示，经测量：杯口直径，杯底直径，杯壁．纸杯的侧面展开示意图为环形的一部分（如图2所示，忽略拼接部分），则它所对的圆心角的度数 ． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，是圆O的直径，，点B为弧的中点，点P是直径上的一个动点，则的最小值为 ． 16．如图，是的直径，点C，E为圆上两点，若点C为的中点，连接并延长与交于点F，与的延长线交于点H．若，则 ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（7分）（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，内接于圆，，点，分别在和上，若，求和的度数． 18．（8分）（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点逆时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点所经过的路径长（结果保留）． 19．（8分）（2025·河北秦皇岛·一模）如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下： 信息二：点为喷泉中心，是喷泉边缘的一条弦，米，是弦的中点，连接并延长，交劣弧于点，米． 信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以为圆心，为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下列问题 (1)求喷泉的半径； (2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（取3，结果保留整数） 20．（8分）（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 21．（9分）（2025·河北石家庄·三模）如图1是工业上用的一款切割铁皮的铡刀，图2是其侧面示意图，其中矩形是切割槽，刀刃与手柄下边缘在同一条弧上，即，经测量可知,．将手柄向下压，直至所在的圆（）与相切于点M，如图3所示，此时恰好经过点D． (1)求的半径． (2)如图4所示，将手柄往上抬，使点E恰好落在的延长线上，与交于点F．经研究发现，此时与相切于点E，连接，，求的值． 22．（9分）（2025·河北唐山·二模）如图1~图3，半圆O的直径，弦在半圆O上滑动（点C，D可以分别与A，B两点重合），且． (1)如图1，求劣弧的长； (2)连接，，，，当时，如图2，求证：； (3)点E是的中点，过点C作于点F，如图3． ①当时，求线段的长； ②在弦滑动的过程中，直接写出线段长度的最大值． 23．（11分）（2025·河北石家庄·二模）如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过三点的交直线于点，连接，设． (1)当时，求的长； (2)在点的整个运动过程中， ①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； ②当矩形恰好有个顶点落在上时，直接写出的值． 24．（12分）（2025·河北廊坊·二模）如图1，已知的半径为2，是内一点，且，，B是上两点，连接，、形成，随点的移动，点在上随之移动，且始终满足． (1)点与点的最小距离为________； (2)①如图2，当边经过圆心O时，求图中阴影部分的面积； ②当过点的切线与平行，且、两点在直线的两侧时，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $