精品解析：河南省郑州市郑中国际学校2025-2026学年上学期九年级第一次月考数学试题

郑中国际学校2025-2026学年上学期九年级月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程，注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：A．，当时，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； B．是分式方程，故本选项不符合题意； C．整理可得，是关于x的一元一次方程，故本选项不符合题意； D．是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 3. 如图，在菱形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形性质，平行线性质，角平分线性质等．根据题意可知，继而得到，再利用角平分线性质可得的度数． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4. 在中，添加下列一个条件，仍不能判定平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形，故选项A符合题意； B、∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，且， ∴四边形是矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴四边形是矩形，故选项D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的判定；熟记矩形的判定方法是解题的关键． 5. 若方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义得到m－2≠0且m2－2＝2，解方程得m＝±2，由于m－2≠0，于是m＝－2. 【详解】∵方程是一元二次方程，∴m－2≠0且m2－2＝2,解得m＝±2，∴m＝－2，故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义:含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程. 6. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，因式分解法求解即可． 【详解】∵， ∴ ∴， 解得． 故选：C． 7. 用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边长并表示出另一边的长．设出长为，然后表示出宽，利用面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：设长为， 则宽为， 根据题意得： 即， 故选：D． 8. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，需要熟练掌握并灵活运用．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴． ∴四边形为矩形． ∴． ∴要求的最小值就是要求的最小值． ∵点P从B点沿着往D点移动， ∴当时，取最小值． 在中， ∵，，， ∴． ∵， ∴． ∴的长度最小为：． 故选：B． 9. 对实数，定义新运算“”如下： ，如 ，若的两根为，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法求出一元二次方程的解，判断两根的大小，原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：， ， 解得：，， ∵， ∴根据题中的新定义得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程根，实数的大小比较，弄清题中的新定义是解本题的关键． 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M， N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线的性质可得，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可． 【详解】解：∵点分别是的中点， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 找到点关于直线对称点，连接、， 则， 当点三点共线时，的最小值就是， 在中，， ， ∴的最小值， 故选：B． 【点睛】本题考查矩形的性质，直线三角形斜边中线的性质，中位线的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题的关键是牢固掌握上述知识点，熟练运用等量代换思想． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 【答案】且##且 【解析】 【分析】根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出实数的取值范围． 【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 12. 如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 由菱形的性质得，，，再求出，则，然后由菱形面积求出，则，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∵菱形的面积， ， ， 在中，由勾股定理得：； 故答案为： 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意由为方程的解，将代入方程即可求出m的值． 【详解】解：根据题意将代入方程得：， 整理得：，即， 解得：或2， 当时，方程为，不合题意，舍去； 则， 故答案为：0． 【点睛】本题考查一元二次方程的解以及一元二次方程的定义，注意掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 14. 当x的值为_______，y的值为______时，多项式的最小值是______． 【答案】 ①. ②. ③. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 根据完全平方公式将进行转化，进而可得答案． 【详解】， 即当x的值为，y的值为时，多项式的最小值是． 故答案为：，，． 15. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得点从时，逐渐增大，当时，，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，，由勾股定理得到，再根据直线三角形斜边中线等于斜边的一半，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴是的直角边，是斜边， ∴点从时，逐渐增大， 根据图2可得，当时，， 当时，在中，是直角边，是斜边， ∴，即，逐渐减小，当时，值最小，当点继续运动到点时，值逐渐增大，即当点运动到点时，， 同理，点从时，逐渐减小，到时有最小值，之后逐渐增大，当点运动到点时，，此时停止运用， ∴， ∴点运动到中点时，的长为， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，动点与函数图形的综合，掌握菱形的性质，函数图象的增减性是解题的关键． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键： （1）直接开方法解方程即可； （2）配方法解方程即可； （3）因十分解法解方程即可； （4）公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：开方，得， ． 【小问2详解】 ， ， ， ， ． 【小问3详解】 整理，得． 移项，得． 因式分解，得， ． 【小问4详解】 移项，得， ， ， ． 17. 如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，交于点O，若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 如图，四边形即为所求， （2） 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交纸片的平行边于两点A、B，连接、即可； （2）根据菱形性质得出，，，根据勾股定理得出，根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：根据作图可知：垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作线段垂直平分线，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质． 18. 如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上的一点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质可得，推得，根据矩形的判定即可证明； （2）根据矩形的性质可得，，，根据角平分线的性质的，根据等腰直角三角形的判定和性质可得，根据等边三角形的判定和性质可得，推得，，根据三角形内角和即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和即可，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． （2）10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式、等腰三角形的性质、三角形三边的关系等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明； （2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 整理得， ∴， 当为等腰的底边，则有， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，应舍去； 当为等腰的腰， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴只能， ∴三角形三边长分别为：2，4，4， ∴三角形的周长为． 所以的周长为10． 20. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 【答案】（1） 解： ，理由如下： 是的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2） 解：当时，四边形是菱形． 证明：，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）由得出，再根据已知条件即可证明． （2）当时，四边形是菱形．先证明四边形是平行四边形，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定、全等三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 21. 提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程：． （2）若实数满足方程，则的值是_______． 【答案】（1），，， （2）13 【解析】 【分析】本题考查换元法解高次方程，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式： （1）参照材料中的方法，令，将原方程转化为，即可求解； （2）参照材料中的方法，令，原方程可转化为，求出的值，再利用根的判别式判断是否有实数根，对求出的的值进行取舍，最后作为整体代入即可得出答案． 【小问1详解】 解：令，原方程可转化为， 即， 解得，． 当时，，解得，， 当时，，解得，， 原方程的解为，，，． 【小问2详解】 解：令，原方程可转化为， 即， 解得，（不符合要求，舍去）． 当时，，即， ，该方程有解，符合题意， 此时； 当时，，即， ，该方程无实数解，不合题意； 综上可知，的值是13， 故答案为：13． 22. 在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），；（2）2；（3）存在．时，使得五边形的面积等于26 ；（4）存在， 时，使得的面积最大，等于． 【解析】 【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可； （2）利用勾股定理得到方程，求解即可得到结果； （3）根据长方形的面积减去的面积等于五边形的面积，列出方程，然后求解即可得到结果； （4）根据（3）可知的面积为，据此求解即可． 【详解】解：（1）由题意： ，， 故答案为，． （2）由题意得：， 解得（不合题意，舍去），， ∴当t=2秒时，的长度等于． （3）存在．理由如下： 长方形的面积是：， 使得五边形的面积等于26 ， 则的面积为， 即有：， 解得，． 当时，，不合题意，舍去， 即当时，使得五边形的面积等于26． （4）存在，理由如下： 由（3）可知的面积为， 即当时，使得的面积最大，等于． 【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键． 23. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）． (1)如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD． (2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，(1)中的结论变为 ，请给出证明． (3)在(2)的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明． 【答案】 （1）证明：正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P， ∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°， ∵∠APE＋∠EPD＝∠DPF＋∠EPD＝90°， ∴∠APE＝∠DPF， 在△APE和△DPF中 ， ∴△APE≌△DPF（ASA）， ∴AE＝DF， ∴DE＋DF＝AD； （2）证明：如图②，取AD的中点M，连接PM， ∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形， ∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°， ∴△MDP是等边三角形， ∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°， ∵∠PAM＝30°， ∴∠MPD＝60°， ∵∠QPN＝60°， ∴∠MPE＝∠FPD， 在△MPE和△DPF中， ， ∴△MPE≌△DPF（ASA） ∴ME＝DF， ∴DE＋DF＝AD； （3）DF−DE＝AD． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质得出角与线段的关系，易证得△APE≌△DPF，可得出AE＝DF，即可得出结论DE＋DF＝AD， （2）取AD的中点M，连接PM，利用菱形的性质，可得出△MDP是等边三角形，易证△MPE≌△FPD，得出ME＝DF，由DE＋ME＝AD，即可得出DE＋DF＝AD， （3）①当点E落在AD上时，DE＋DF＝AD，②当点E落在AD的延长线上时，DF−DE＝AD． 【详解】（1）略． （2）略． （3）如图， 如图③，当点E落在AD的延长线上时， 取AD的中点M，连接PM， ∵四边形ABCD为菱形，∠ADC＝120°， ∴AD＝CD，∠DAP＝30°，AC⊥BD， ∴∠ADP＝∠CDP＝60°， ∵AM＝MD， ∴PM＝MD， ∴△MDP是等边三角形， ∴∠PME＝∠MPD＝60°，PM＝PD， ∵∠QPN＝60°， ∴∠MPE＝∠FPD， 在△MPE和△DPF中， ， ∴△MPE≌△DPF（ASA）． ∴ME＝DF， ∴DF−DE＝ME−DE＝DM＝AD． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合题，涉及全等三角形，正方形及菱形的性质，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与线段之间的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑中国际学校2025-2026学年上学期九年级月考数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 根据下列表格中的对应值： x 0 0.5 1 1.5 2 5.25 13 可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 在中，添加下列一个条件，仍不能判定平行四边形为矩形的是（ ） A. B. C. D. 5. 若方程是一元二次方程，则的值为（ ） A. ±2 B. 2 C. -2 D. 无法确定 6. 方程的根是（ ） A. B. C. D. 7. 用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，，，且有一点P从B点沿着BD往D点移动，若过P点作的垂线交于E点，过点P作的垂线交于F点，则的长度最小为多少（ ） A. B. C. 5 D. 7 9. 对实数，定义新运算“”如下： ，如 ，若的两根为，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M， N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，菱形的对角线和相交于，过点作于点连接，，若菱形的面积为，则的长为______． 13. 已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为______． 14. 当x的值为_______，y的值为______时，多项式的最小值是______． 15. 如图1，动点从菱形的点出发，沿边匀速运动，运动到点时停止．设点的运动路程为，的长为，与的函数图象如图2所示，当点运动到中点时，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 用适当的方法解方程： （1）． （2）． （3）． （4）． 17. 如图是一张对边平行的纸片，点A，C分别在平行边上，连接． （1）求作：菱形，使点A，D落在纸片的同一边上；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，，交于点O，若，，求菱形的面积． 18. 如图，四边形的对角线，相交于点，其中，，，为上的一点，连接，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求的度数． 19. 已知关于x的方程 （1）求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； （2）若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 20. 如图，在中，D是边上的一点，E是的中点，过A点作的平行线交的延长线于点F，且，连接． （1）与有什么数量关系，并说明理由； （2）当满足什么条件时，四边形是菱形？请说出理由． 21. 提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程得，（不符合要求，舍去）．当时，，． 原方程的解为，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题： （1）运用上述换元法解方程：． （2）若实数满足方程，则的值是_______． 22. 在矩形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？ （3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于26cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． （4）是否存在t的值，使△BPQ的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 23. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN=α，∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C、D不重合）． (1)如图①，当α=90°时，求证：DE+DF=AD． (2)如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形，其他条件不变，当α=60°时，(1)中的结论变为 ，请给出证明． (3)在(2)的条件下，将∠QPN绕点P旋转，若旋转过程中∠QPN的边PQ与边AD的延长线交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $