精品解析：江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校2025-2026学年好iPad阶段性测试（10月）九年级数学试题

江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校阶段性测试数学试卷（10月） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 把代入原方程，求解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 所以． 故选：D． 2. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根，则，利用换元的思想是解决问题的关键． 把方程看作关于的一元二次方程，则利用关于的方程的两根为得到，然后利用根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， 设关于的方程的两根为， 则方程的两根为， 关于的方程的两根之和为，两根之积为， ， ． 故选：D． 3. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查真假命题的判定，圆的性质，圆周角定理，四点共圆的判定以及切线的判定，根据这些知识一一判定即可得出答案． 【详解】解：．不共线的三点确定一个圆，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．在同圆或等圆中，同弦所对的圆周角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ．对角互补的四边形四点共圆，原命题是真命题，故该选项符合题意； ．经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 故选：C． 4. 在中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，根据等弧对等角，进行判断即可． 【详解】解：取的中点，连接，则： ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 5. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，直径所对的圆周角是直角，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理求出，据此根据圆内角四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵是半圆O的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的根．根据，得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：C． 7. 小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求弧长，圆周角定理，先求出圆弧所在圆的半径为，再求出所对的圆心角为，进而根据弧长公式即可得出答案． 【详解】解：∵圆弧上任意两点间的最大距离为 ∴圆弧所在圆的半径为， ∵洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的， ∴所对的圆心角为， ∴这个门洞的圆弧长为， 故选：B． 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确地理解题意是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论． 【详解】解：连接，， ∵A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心， ∴点A、B、C、D在以点O为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：B． 9. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，连接，，由题意知，平分，平分，则，，，，由，可得，由垂径定理得，则，由勾股定理得，，如图，连接交于，则，设，则，由勾股定理得，，即，解得，进而可得，，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 由题意知，平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 如图，连接交于，则， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴，， 由勾股定理得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了内心，勾股定理，垂径定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10. 如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，，由勾股定理及圆周角定理的推论得，是的直径，根据等腰直角三角形的性质得，，从而，点在定圆的上运动，利用勾股定理得，进而利用三角形的三边关系即可得解． 【详解】解：如图，以边为斜边，在的下方构造等腰直角，以为圆心，为半径作，在的优弧上取一点，连接、，连接，，，， ∵，， ∴，是的直径， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴点在定圆的上运动， ∴根据三角形的两边只差小于第三边得，当、、三点共线时，最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查直线与圆位置关系．根据题意比较点O到直线l的距离和半径长度，即可得到本题答案． 【详解】解：∵的半径为2，点O到直线l的距离为3， ∴， ∴l与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 12. 在圆内接四边形中，、的度数之比为，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案． 本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 【详解】解：设的度数为，则的度数为， 四边形是圆内接四边形， ， ∴， 解得，， ， 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义可得且，据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意得：且，解得：且． 故答案为：且． 14. 已知，则代数式的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查代数式求值，利用已知方程将高次项降次并求代数式的值是解题的关键．利用，将代数式中的四次项和三次项降次并求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故答案为：2． 15. 如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点D，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接，根据题意可得，，，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，过点D作交于点D，交于点E，则圆心O在上，在取上取圆心O，连接， 根据题意得：，，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即圆心O到的距离为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，根据题意得到圆心的位置是解题的关键． 16. 如图，内接于，若，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接，先利用平行线的性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用圆周角定理进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 17. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 18. 如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过、、三点作，连，，在优弧取点，连，，点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和，当点在扇形和扇形内，先求出，进而判断出点的轨迹，再求出，最后用弧长公式即可得出结论． 【详解】解：的内心为， ，， ， ，即， ， ，， 而， ， ， 所以点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上和； 点在扇形内时， 如图，过、、三点作，连，，在优弧取点，连，， ， ， ，而， ， 弧的长， 同理：点在扇形内时，同①的方法得，弧的长为， 所以内心所经过的路径长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式：，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题． 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）直接利用因式分解法解方程； （2）先将原方程变形为一元二次方程的一般形式，再利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的判别式，根与系数的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系以及根与系数的关系是解答的关键． （1）一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围； （2）根据根与系数的关系得到，又求出，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：一元二次方程有实数根， ， ， 即； 【小问2详解】 解：为该方程的两个实数根， ， 又， ∴ ∴ ∴， 将代入得， ∴． 21. 如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵四边形内接于一圆， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． （1）根据圆内接四边形的性质得到，根据同角的补角相等证明结论； （2）根据角平分线的定义得出，再根据圆周角定理即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ， ∴． 22. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 【答案】 （1）， 理由如下： 连接AO并延长交于点G，连接CB、BG， ∵， ∴， ∵， ∴OF是的中位线， ∴， ∵AG是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （2）⊙O的半径为 【解析】 【分析】（1）连接AO并延长交于点G，连接CB、BG，根据点OF分别是AGAB中点，得到OF是的中位线，则有，再根据同弧所对的圆周角相等可得，直径所对的圆周角是直角可得，则有，根据，，从而可得，，继而可得； （2）在中，根据勾股定理可求得的半径． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）得：，， 在中，， ∴的半径为 ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，圆周角定理，圆周角、弧、弦之间的关系，解题的关键是能够作辅助线构造以OF为中位线的三角形． 23. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 【答案】该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【解析】 【分析】先根据支付给旅行社的钱数得到旅游的人数超过25人，设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，根据题意找到等量关系列出方程即可求解. 【详解】解：因为元元，所以旅游的人数超过25人． 设该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有人，则平均每人的费用为元． 根据题意，得， 解得，． 又因为人均费用不低于70元，得． 解不等式得，所以不合题意；舍去， =30． 答：该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有30人． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系和不等关系进行求解. 24. 解答下列问题 （1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ （2）【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． （3）【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 【答案】（1） ，证明：如图①，连接． ∵I是的内心， ∴． ∵是所对的圆周角， ∴． ∴． 根据角之间的关系可得． 又∵是的一个外角， ∴． ∴． ∴； （2） 证明：连接． ∵， ∴． ∴． 即平分． ∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴． ∵， ∴，即平分． ∴I为的内心； （3） 文字说明：①以点B为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点M和N， ②以点M和点N为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点H，作射线， ③以点C为圆心，以适当长度为半径画弧，交，于点E和F， ④以点E和点F为圆心，以大于长度为半径画弧，两弧交于点G，作射线， ∴射线和射线交于点I， ∴点I即为的内心． 画图如下： 【解析】 【分析】（1）如图①，连接．首先根据三角形内心的概念得到，然后根据同弧所对的圆周角相等得到，然后通过角度之间的转化即可证明，进而得到； （2）连接．首先根据同弧所对的圆周角相等得到，然后根据得到，然后根据角度之间的转化得到，即可证明出I为的内心； （3）根据题意作出和的角平分线，两条平分线的交点即为的内心I． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了三角形内心的定义，圆周角定理的推论，等腰三角形的判定，三角形外角的性质，熟练掌握三角形内心的定义，圆周角定理的推论是解答本题的关键． 25. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于⊙． 求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画⊙． 假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE， 四边形内接于⊙， 可得 ， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在⊙内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ． 【答案】 （1）证明：如下图，连接、， ，，且， ， 同理， ； （2），；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接、，由和、和为同弧所对的圆心角和圆周角， 得出：，，已知，即可得出， 同理； （2）由圆内接四边形对角互补、等量代换即可求解； （3）由是等边三角形得出，已知，所以，从而得出：、、、四点共圆，由同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等得：；作，点始终在射线上运动，由垂线段最短可知，当，即点处时，最小，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）略； （2），； （3）是等边三角形， ， ， ， 、、、四点共圆， （同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等） 作，点始终在射线上运动， 由垂线段最短可知，当，即点处时，最小， 在中，， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，等边三角形，含的直角三角形定理，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟知圆内接四边形对角互补和同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等． 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 【答案】（1）圆心到弦的距离； （2）①证明：过点作于点，延长交于点，则，如图： 由平称的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形； ②；（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可求解； （2）过点作于点，延长交于点，则，由平称的性质可得，，则四边形是平行四边形，再证明四边是矩形，得到，即可得出结论； ②连接，过点分别作于点，于点，则，由（1）知，，由（2）同理可得，得到四边形是矩形，得到，根据勾股定理求出，得到，再根据勾股定理求出，即可求解； （3）由题意，对称轴经过圆心，翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，得到为矩形，且，易得或，所以点在以为圆心，或为半径的圆上，当时，，当时，，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， ∴， 在中，， ∴圆心到弦的距离； （2）①略 ②连接，过点分别作于点，于点，则，如图： 由（1）知，，由（2）同理可得， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）由题意，对称轴经过圆心， ∴翻折后的线段对应点仍然在大圆上，再将沿方向平移个单位，所得图形如图1和图2， 由（2）同理可得：为矩形，且， ∴或， ∴点在以为圆心，或为半径的圆上， 当时，， 当时，， 综上：． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，矩形的判定与性质，轴对称等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市秦淮区南京秦淮外国语学校阶段性测试数学试卷（10月） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 关于x的方程的一根是1，则m的值是（　　） A. B. 3 C. D. 2 2. 若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积为（    ） A. B. C. D. 3. 下列命题中，是真命题的为（ ） A. 三点确定一个圆 B. 同弦所对的圆周角相等 C. 对角互补的四边形四点共圆 D. 垂直于半径的直线是圆的切线 4. 在中，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 如图，是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A. B. 1 C. 3 D. 9 7. 小文在假期旅游时，看到了一个美丽的圆弧形门洞（如图），她对这个门洞进行了测量，测得圆弧上任意两点间的最大距离为2.4m，门洞最底部的两个端点A，B和圆弧上一点C构成的，则这个门洞的圆弧长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，为直径，C为圆上一点，I为内心，交于D，于I，若，则为（ ） A. B. C. D. 5 10. 如图，四边形是的内接四边形，，，为上一点，，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 11. 已知的半径为2，点O到直线l的距离为3，则l与的位置关系是 _____ ． 12. 在圆内接四边形中，、的度数之比为，则 ______ 13. 关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，则a的取值范围是 ________． 14. 已知，则代数式的值为______． 15. 如图，由4个边长为1的小正方形组成的图形，若经过其顶点A、B、C，则圆心O到的距离为______． 16. 如图，内接于，若，则的度数是________． 17. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 18. 如图，为的直径，且，点在半圆上，，垂足为点，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，连接、．当点在半圆上从点运动到点时，内心所经过的路径长为______． 三、解答题：本题共7小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解下列方程： （1）； （2） 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根为，，且满足，求实数的值． 21. 如图，四边形内接于一圆，延长到点． （1）求证：； （2）连接、，若，平分，求的度数． 22. 如图，四边形ABCD是的内接四边形，，，垂足分别是E、F． （1）直接写出OF与CD的数量关系 ，并证明你的结论． （2）若，．求的半径． 23. 某单位于“三八”妇女节期间组织女职工到金宝乐园观光旅游．下面是领队与旅行社导游就收费标准的一段对话． 领队：组团去金宝乐园旅游每人收费是多少？ 导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元． 领队：超过25人怎样优惠呢？ 导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团游览金宝乐园结束后，共支付给旅行社2700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到金宝乐园观光旅游的共有多少人． 24. 解答下列问题 （1）【习题再现】完成原习题；（教材P74 第10题）如图①，I是的内心，的延长线交的外接圆于点D．和相等吗？为什么？ （2）【逆向思考】如图②，I为内一点，的延长线交的外接圆于点D．若，求证：I为的内心． （3）【迁移运用】如图③，利用无刻度直尺和圆规，作出的内心I．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明．） 25. （1）证明定理：圆内接四边形的对角互补． 已知：如图①，四边形内接于⊙． 求证：． （2）逆命题证明： 若四边形的一组对角，则这个四边形的个顶点共圆（图②） 可以用反证法证明如下： 在图②中，经过点，，画⊙． 假设点落在⊙外，BC交⊙于点，连接DE， 四边形内接于⊙， 可得 ， ， ，与得出矛盾； 同理点也不会落在⊙内， ，，，共圆． （3）结论运用：如图，线段，点，分别在射线和线段上运动，以为边在内部作等边，则的最小值为 ． 26. 综合与实践：数学活动课上，某数学兴趣小组对圆中的变换进行了如下探究． 问题背景： （1）如图1，半径为4，弦，求圆心到弦的距离； 问题迁移： （2）如图2，在以点为圆心的两个同心圆中，是大圆的弦，将平移一定的距离得到对应线段，若线段的两个端点恰好在小圆上，连接，． ①求证：四边形是矩形； ②已知大圆半径为4，小圆半径为3，，若圆心在四边形的内部．求四边形的边的长度； 问题拓展： （3）如图3，大圆半径为4，小圆半径为3，弦，点在小圆上，在平面上存在点，将弦先关于直线翻折，再将翻折后的线段沿着直线所在方向平移个单位，得到线段，若恰好是小圆的弦，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $