3.1.1函数的概念(第一课时) 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念及三要素，通过火箭发射、水池排水等现实情境导入，衔接初中函数定义，搭建从直观到抽象的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于依托列车路程、恩格尔系数等四个情境，引导学生观察归纳函数共同特征，培养数学眼光和思维。采用问题驱动与表格梳理，助力学生理解概念本质，教师可借实例提升教学效率，学生能深化抽象能力与探究意识。

第三章 函数的概念与性质 章前导读 随着学习的深入我们会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反应的数学思想已经渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。同时，函数知识有广泛的运用，而且是学习其他学科的重要基础。 3.1.1 函数的概念 第 一课时 第三章 函数的概念与性质 一 二 三 学习目标 理解函数的概念，了解构成函数的要素.(重点) 能正确使用区间表示数集 会求函数的定义域与函数值.(难点) 学习目标 复习回顾 1. 回忆数学初中所学的知识，什么是函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x 叫自变量，y 叫因变量. 2. 在初中我们学习了哪些函数呢？ （1）一次函数 （2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数 思考1 回忆数学初中所学的知识，什么是函数？ 设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的函数.其中x叫自变量，y叫因变量. 思考2 在初中我们学习了哪些函数呢？ （1）一次函数 （2）正比例函数 （3）反比例函数 （4）二次函数 思考4 是函数吗？与是同一个函数吗？ 思考3 正方形的周长l与边长x的关系式是l=4x，那这个函数l=4x与正比例函数y=4x是同一个函数吗？ 初中对于函数的定义并不完善，这也正是我们今天研究函数定义的必要性。新的定义将在与原定义不相违背的基础上从更高的观点，将它完善与深化． 问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程S(单位:km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为S=350t. S是t的函数吗？ 思考1.1 有人说“根据对应关系S=350t,这趟列车加速到350km/h后,每运行1h 就前进了350km.”你认为这个说法正确吗? 思考1.2 如何用更精确的语言来描述列车行进路程S 与运行时间t 的关系？ 课本P60 对于数集A1中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应． 问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资?一个工人的工资w (单位:元)是他工作天数d 的函数吗? 课本P61 思考2.1 你能类比问题1用精确的语言来描述w 与d的关系吗？ 思考2.2 问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? S与t的对应关系是：S=350t ① t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5}, S的变化范围是数集B1={S|0≤S≤175}. w与d的关系是：w=350d ② d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变化范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100}. 追问 问题1、2中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗?为什么? S=350t和w=350d不是同一个函数，因为t与d的取值集合不同. 新知探究 问题1 问题2 问题3 下图是北京市某日的空气质量指数(简称AQI)变化图. 思考3.1 如何根据该图确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数I的值? 思考3.2 你认为这里的I是t的函数吗？ 对于数集A3=____________的任一时刻t，按照图中曲线给定的对应关系，在数集B3=____________中都有唯一确定的空气质量指数I和它对应． 故I是t的函数. {I|0<I<150} {t|0≤t≤24} 问题4 国际上常用恩格尔系数r(r=食物支出金额/总支出金额)反映一个地区人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可看出该省城镇居民生活质量越来越高. 对于数集A4=____________________的任一年份y，按照表格给定的对应关系，在数集B4=__________中都有唯一确定的恩格尔系数r和它对应． 故r是y的函数. 年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 恩格尔系数r(%) 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 28.89 29.35 28.57 思考4.1 你认为按上表给出的对应关系,恩格尔系数r是年份y的函数吗?如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数? {y∈Z|2006≤y≤2015} {r|0<r≤1} 问题情境 自变量的集合 对应关系 函数值所在集合 问题1 问题2 问题3 问题4 ={S|0 ={350,700,1050,1400，1750,2100} w=350d ={I|0 ={r|0 归纳 上述问题1～问题4中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ ①两个非空数集 ②一个对应关系 f 解析式 图 表 定义域 ③对于数集A中的任意一 个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的数y和它对应． 1.函数的概念 概念 一般地，设A，B是非空的 ，如果对于集合A中的 ，按照某种 的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 的取值范围A 值域 与x的值相对应的 值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 确定 唯一确定 x y 思考5 函数的值域与集合B什么关系？ 值域是集合B的子集. 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. A 1 2 3 A B 4 5 6 f B f f (1) A (2) f 1 2 3 4 6 B A (3) 1 2 3 4 5 6 7 B f 1 2 3 4 5 6 (4) 1 2 3 A 4 5 6 B (5) 1 2 3 中国 美国 英国 B f (6) A 补充1 下列对应关系能否构成定义在A到B上的函数 允许“一对一” “多对一” 不允许“一对多” 函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. 题型一 函数的判断 例1 (1)(多选)下列能表示从集合A到集合B的函数的是 A.A={-1，0，1}，B={0，1}，f：A中的数平方 B.A={0，1}，B={-1，0，1}，f：A中的数开方 C.A=Z，B=Q，f：A中的数取倒数 D.A=R，B={x|x≥0}，f：A中的数取绝对值 大本P44 题型一 函数的判断 　设P={x|0≤x≤4}，Q={y|0≤y≤4}，对于下列四个图象，能表示集合P到集合Q的函数关系的是 跟踪训练 1 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 例1(2)下列图象能够作为函数y=f (x)的图象的有 大本P45 17 反比例函数 一次函数 二次函数 a > 0 a < 0 图像 定义域 值域 思考6 一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、对应关系、值域分别是什么？ 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 设A, B是非空数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数f (x)和它对应，那么就称 f : A B为从集合A到集合 B的函数. 2.函数的三要素： 定义域 对应法则 值域 1. 函数的概念： $