第十二章 三角形（复习讲义）（知识必备+14大核心题型+分层验收）数学北京版2024八年级上册

第十二章 三角形（复习讲义） 1.理解三角形、全等三角形、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的概念、了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。证明三角形三边的性质，掌握判定三角形全等的基本事实及定理. 3.探索并证明角平分线、线段垂直平分线的性质定理及逆定理. 4.探索并证明等腰三角形的性质定理及判定定理.探索等边三角形的性质定理，探索并掌握直角三角形的性质定理及判定定理，探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 5.理解轴对称的概念，探索它的基本性质.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形，理解轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 6.能完成所要求的尺规作图。 知识点一 三角形的概念 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。 3.三角形三边的关系（重点）：三角形的任意两边之和大于第三边。  三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）  4.三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5.三角形的稳定性 6.三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 7.三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 8.三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 知识点二 与三角形有关的角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 2.三角形的外角和定理：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。  2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 知识点三 全等三角形及其性质 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 2.全等三角形的判定（重点） 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形周长、面积相等． 3.角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。 4.线段的垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。 知识点四 轴对称与轴对称图形 1.轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 知识点五 等腰三角形与等边三角形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质： 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[ 知识点六 直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余。 2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式：1）a²=c²- b² 2）b²=c²- a² 3.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 题型一 与三角形有关的线段 【例1】 （24-25八年级上·北京房山·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 （2024·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【变式1-2】 （24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】 （24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 题型二 与三角形有关的角 【例2】 （24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，图中的值为 ．    【变式2-1】 （24-25八年级上·北京大兴·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为 ． 【变式2-2】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【变式2-3】 （24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型三 添加条件使三角形全等 【例3】 （24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】 （23-24八年级上·北京西城·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【变式3-2】 （23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 . 【变式3-3】 （24·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，，，要使，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 题型四 全等模型 【例4】 （24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【变式4-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    【变式4-2】 （24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 【变式4-3】 （24-25九年级下·北京·开学考试）在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接． (1)①请补全图形： ②直接写出之间的数量关系____________； (2)取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明． 题型五 全等三角形综合问题 【例5】 （2024·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【变式5-1】 （24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【变式5-2】 （24-25七年级下·福建南平·期中）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【变式5-3】 （23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 题型六 角平分线的性质和判定 【例6】 （23-24八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 【变式6-1】 （24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式6-2】 （24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（   ）    A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【变式6-3】 （23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型七 垂直平分线的性质和判定 【例7】 （23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【变式7-1】 （24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式7-2】 （23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，，若的周长为18，则点F到线段的距离是 ． 【变式7-3】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 题型八 等腰三角形 【例8】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A．2 B． C． D． 【变式8-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，．平分．则 （1） °； （2）点到的距离为 ． 【变式8-2】 （24-25九年级·全国·单元测试）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 【变式8-3】 （24-25·北京房山·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 题型九 等边三角形 【例9】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ． 【变式9-1】 （23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【变式9-2】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【变式9-3】 （23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接． (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 题型十 勾股定理 【例10】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式10-1】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，四边形中，，是中点，平分，平分．则下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①；②；③． 【变式10-2】 （24-25八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为 ． 【变式10-3】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接． (1)设，求的大小（用含的式子表示） (2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明． 题型十一 勾股定理的逆定理 【例11】 （24-25九年级上·重庆·开学考试）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【变式11-1】 （24-25八年级下·北京东城·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【变式11-2】 （24-25八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【变式11-3】 （24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 题型十二 逆命题与逆定理 【例12】 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理 【变式12-1】 （23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如果，那么，这个命题的逆命题是 ． 【变式12-2】 （江苏宿迁·中考真题）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ． 【变式12-3】 （24-25八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 题型十三 轴对称与轴对称图形 【例13】 （24-25九年级下·陕西·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C． D． 【变式13-1】 （24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是    【变式13-2】 （24-25八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：． 【变式13-3】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 题型十四 尺规作图 【例14】 （24-25八年级上·全国·课后作业）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】 （24-25八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式14-2】 （24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【变式14-3】 （24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）证明与作图：        (1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． (2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·北京昌平·期末）《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（ ） A．4 B．6 C．9 D．14 3．（24-25八年级下·北京海淀·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．1，1，1 B．2，3，4 C． D． 4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 6．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 8．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，且，那么的面积是 ． 9．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 10．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 11．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 12．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 14．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 4．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①；    ②； ③若，则；    ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（24-25八年级上·北京昌平·期末）阅读下面材料： 已知：，，，点是中点，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④点是上的一个动点，当取最小值时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 6．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为 （用含的代数式表示）. 7．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    8．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，，，点在射线上，连接， （1）若，则 ． （2）设，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 9．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 10．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 11．（24-25八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 13．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 14．（24-25八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 15．（24-25八年级上·北京延庆·期末）【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 三角形（复习讲义） 1.理解三角形、全等三角形、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形的概念、了解三角形的稳定性. 2.探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论。证明三角形三边的性质，掌握判定三角形全等的基本事实及定理. 3.探索并证明角平分线、线段垂直平分线的性质定理及逆定理. 4.探索并证明等腰三角形的性质定理及判定定理.探索等边三角形的性质定理，探索并掌握直角三角形的性质定理及判定定理，探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 5.理解轴对称的概念，探索它的基本性质.能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴的对称图形，理解轴对称图形的概念，认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形. 6.能完成所要求的尺规作图。 知识点一 三角形的概念 1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。 等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。 3.三角形三边的关系（重点）：三角形的任意两边之和大于第三边。  三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可）  4.三角形按角的关系分类如下： 直角三角形（有一个角为直角的三角形） 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形） 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形） 5.三角形的稳定性 6.三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。 7.三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 8.三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。 知识点二 与三角形有关的角 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。 推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 2.三角形的外角和定理：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角 性质：1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。  2. 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 知识点三 全等三角形及其性质 1.全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换。 变换方式（常见）：平移、翻折、旋转。 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 2.全等三角形的判定（重点） 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL） 性质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等； ② 全等三角形周长、面积相等． 3.角平分线 角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等； 判定定理：到角两边距离相等的点在角的平分线上． 三角形中角平分线的性质：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这点到三条边距离相等。 4.线段的垂直平分线 概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线） 性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 三角形三边的垂直平分线的性质：三角形三边垂直平分线相交于一点，这点到三个顶点的距离相等。 知识点四 轴对称与轴对称图形 1.轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称． 2.轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。这条直线就是它的对称轴。（对称轴必须是直线） 知识点五 等腰三角形与等边三角形 等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。 等腰三角形性质： 1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”） 2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一） 等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）. 等边三角形概念：三条边都相等的三角形，叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。 等边三角形性质和判定： （1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60º。 （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3）有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。 常用辅助线：①三线合一；②过中点做平行线[ 知识点六 直角三角形与勾股定理 直角三角形三边的性质： 1、 直角三角形的两个锐角互余。 2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。 勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么 变式：1）a²=c²- b² 2）b²=c²- a² 3.勾股定理的证明： 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是： ①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 方法一：，，化简可证． 方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为　　 大正方形面积为 所以 题型一 与三角形有关的线段 【例1】 （24-25八年级上·北京房山·期末）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么a取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可得解． 【详解】解：由三角形三边关系可得：， 故a取值范围， 故选：D． 【变式1-1】 （2024·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 【变式1-2】 （24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，，是的角平分线交于点，于点，下列四个结论中正确的有（    ）      ①   ②   ③   ④ A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据角平分线性质，即可得到DE=DC；根据全等三角形的判定与性质，即可得到BE=BC，△BDE≌△BDC． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴DE=DC，故①正确； 又∵∠C=∠BEC=90°，BD=BD， ∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），故④正确； ∴BE=BC，故②正确； ∵Rt△ADE中，AD＞DE=CD， ∴AD=DC不成立，故③错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 【变式1-3】 （24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，.    (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长. 【答案】(1)是直角三角形； (2)． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理的应用． （1）根据勾股定理先求出，再利用勾股定理的逆定理判断即可； （2）由是的边上的高，利用面积法计算即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， 根据勾股定理， ∵， ∴是直角三角形； （2）解：∵是的边上的高， ∴， ∴． 题型二 与三角形有关的角 【例2】 （24-25八年级上·广东东莞·期中）如图，图中的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的外角性质，利用三角形的外角性质列出等式解答即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】 （24-25八年级上·北京大兴·期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及全等三角形的性质，理解并掌握全等三角形的性质是解题关键．首先根据三角形内角和定理解得，再根据全等三角形的性质“对应角相等”，即可获得答案． 【详解】解：如下图，根据三角形内角和可得， ∵两个全等三角形， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，点在上，于点．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，角平分线的定义，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再证明平分，据此根据角平分线的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】 （24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，由线段垂直平分线的性质得到，进而证明，再由三线合一定理即可证明； （2）设，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质推出，再根据三角形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 垂直平分， ， 又， ， 是的中点， ； （2）解：设， ， ， 由三角形的外角的性质，， ， 在△中，， 解得6， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 题型三 添加条件使三角形全等 【例3】 （24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，点E，C，F，B在一条直线上，，∠A＝∠D，添加下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定．熟练掌握平行线的性质，全等三角形的判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定条件进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，，此时无法证明，故A符合要求； 当时，，故B不符合要求； 当时，则，，故C不符合要求； 当时，，故D不符合要求； 故选：A． 【变式3-1】 （23-24八年级上·北京西城·期末）如图，为等腰三角形，，，连接，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形判定定理，根据已知一角一边相等，可添加相等角的另一边相等，求解即可． 【详解】添加条件为：； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】 （23-24八年级上·北京通州·期末）如图，，要根据“”证明，应添加的直接条件是 . 【答案】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”所需要的条件即可得到答案． 【详解】解：和有一条公共直角边， 根据“”证明，应添加的直接条件是． 故答案为：． 【变式3-3】 （24·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，，，要使，应添加的条件是 ．（只需写出一个条件即可） 【答案】或或（只需写出一个条件即可，正确即得分） 【分析】根据已知的∠1=∠2，可知∠BAC=∠EAD，两个三角形已经具备一边一角的条件，再根据全等三角形的判定方法，添加一边或一角的条件即可． 【详解】解：如图所所示， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD． ∴∠BAC=∠EAD． （1）当∠B=∠E时， （2）当∠C=∠D时， （3）当AB=AE时， 故答案为：∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的各种判定方法及适用条件是解题的关键． 题型四 全等模型 【例4】 （24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是 ． 【答案】120° 【分析】延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N，要使得△AMN的周长最小，则三角形的三边要共线，根据∠BAD=120°和△AMN的内角和是180°即可列出方程求解． 【详解】解：延长AB，使得AB=BE，延长AD，使得AD=DF，连接EF，与BC，DC相较于M，N 如图所示，此时△AMN的周长最小 ∵∠ABM=90° ∴∠EBM=90° 在△AMB和△EMB中 ∴△AMB≌△EMB ∴∠BEM=∠BAM ∴∠AMN=2∠BAM 同理可得：△AND≌△FDN ∴∠NAD=∠NFD ∴∠ANM=2∠NAD 设∠BAM=x，∠MAN=z，∠NAD=y ∵∠BAD=120° ∴ 解得： 即∠AMN+∠ANM=2×60°=120°． 故答案为：120°． 【点睛】本题主要考查的是三角形周长最小的条件，涉及到的知识点为全等三角形的判定及性质、三角形内角和的应用，正确添加合适的辅助线是解题的关键． 【变式4-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是的中线，是边上一点，连接交于点，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．延长至点，使，连接，证明，得，，再由等腰三角形的性质得，进而证明，然后由等腰三角形的判定得，即可得出结论． 【详解】证明：如图，延长至点，使，连接，   是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式4-2】 （24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，CE、CB分别是△ABC与△ADC的中线，且∠ACB=∠ABC．求证：CD=2CE． 【答案】见解析 【分析】如图，考虑到CE是△ABC的中线，我们延长CE到F，使EF=CE，这样CF=2CE，结合已知条件可证△AEC≌△BEF，并可进一步证得△CFB≌△CDB，得到CF=CD，从而可得结论CD=2CE． 【详解】解：如图，延长CE到点F，使EF=CE，则CF=2CE， 、 ∵CE是△ABC的中线， ∴  AE=BE， 在△ACE和△BFE中， ∴ △ ACE≌ △ BFE（AAS）， ∴ AC=BF，∠A=∠ABF， 又∵∠ACB=∠ABC，CB是△ADC的中线， ∴ AC=AB=BD=BF，∠DBC=∠A+∠ACB=∠ABF+∠ABC，即∠DBC=∠FBC， 在△DBC和△FBC中， ， ∴△DBC≌△FBC（SAS）， ∴DC=CF=2CE． 【点睛】在这类有关三角形中线的问题中，延长中线一倍，构造全等三角形是我们在解题中常用的一种辅助线作法，需认真去体会． 【变式4-3】 （24-25九年级下·北京·开学考试）在中，，，点D为线段上一点，将线段绕点B顺时针旋转，得到线段，连接． (1)①请补全图形： ②直接写出之间的数量关系____________； (2) 取中点F，连接、，猜想与的位置关系与数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析， (2)，，证明见解析 【分析】（1）如图，连接，证明，得到，，，推出，即可得出之间的数量关系； （2）如图，设交于，延长至，使，连接，证明和，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如下： ②连接， ∵将线段绕点B顺旋转，得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， ∴， ∴； （2），证明如下： 如图，设交于，延长至，使，连接， ∵是中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 题型五 全等三角形综合问题 【例5】 （2024·辽宁鞍山·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE． （1）求证：CE=CF； （2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？ 【答案】（1）见解析（2）成立 【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB和△CFD全等，从而证出CE=CF． （2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG和△FCG全等，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立． 【详解】解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°， ∵， ∴△CBE△CDF（SAS）． ∴CE=CF． （2）GE=BE+GD成立． 理由：∵由（1）得：△CBE△CDF， ∴∠BCE=∠DCF， ∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°， 又∵∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF． ∵∠GCE＝∠GCF， GC＝GC， ∴△ECG△FCG（SAS）． ∴GE=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． 【点睛】本题考查了以下内容：1.正方形的性质；2.全等三角形的判定与性质；解决本题的关键是理解题意，灵活运用全等三角形的性质与判定． 【变式5-1】 （24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 【变式5-2】 （24-25七年级下·福建南平·期中）（1）如图1，为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则__________；    （2）如图2，在中，，剪去后成为四边形，则__________； （3）如图2，根据（1）和（2）的求解过程，请归纳与的关系是______________； （4）若没有剪去，而是将折成如图3的形状，试探究与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （2）根据三角形的内角和为，三角形的外角和定理，则，，，即可； （3）根据（1）和（2）可知，，根据，即可； （4）根据折叠的性质，则，根据全等三角形的性质，三角形内角和，平角的性质，则，，，再根据等量代换，即可． 【详解】（1）为直角三角形，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：．    （3）由（1）和（2）得，， ∵， ∴， ∴． （4），理由见下： 由题意得，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质，三角形的内角和和三角形的外角和定理． 【变式5-3】 （23-24八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，在中，点D是中点，平分．求证：． 下面是这道题的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明过程． 方法一 证明：如图，过点D作于点E，于点F． 方法二 证明：如图，延长至点E，使得，连接． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，全等三角形的性质与判定等等： 方法一：先由角平分线的性质得到，进而分别证明，得到，，则可得到，即可利用三线合一定理证明结论； 方法二：证明，得到，再由角平分线的定义推出，得到，则，即可利用三线合一定理证明结论． 【详解】证明：方法一：如图，过点D作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∵点D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 又∵点D是中点， ∴； 方法二：如图，延长至点E，使得，连接， ∵点D是中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点D是中点， ∴． 题型六 角平分线的性质和判定 【例6】 （23-24八年级上·北京西城·期末）如图，在中，，，是的角平分线．若点到的距离为3，则的长为（   ） A．12 B． C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，点到直线的距离，含30度角的直角三角形，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等．过点作于点，根据角平分线的性质，得到，再由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， 是的角平分线，， ， 点D到的距离为3， ， 在中，， ， ， 故选：C． 【变式6-1】 （24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图，的外角的平分线与相交于点P，若点P到的距离为3，则点P到的距离为（      ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质．如图，过作于，于，于，则，由的外角的平分线与相交于点P，可得，然后作答即可． 【详解】解：如图，过作于，于，于，则，    ∵的外角的平分线与相交于点P， ∴， ∴点P到的距离为3， 故选：B． 【变式6-2】 （24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图所示，点是内一点，要使点到、的距离相等，且，点是（   ）    A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，三角形中线，全等三角形的知识，解题的关键是延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交，根据角平分线的性质，则点在的角平分线上，根据，则，根据全等三角形的判定和性质，则，推出，即可． 【详解】延长交于点，过点作的延长线交于点，过点作交于点， ∵点到、的距离相等， ∴点在的角平分线上， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是上的中线， ∴点是的角平分线与边上中线的交点． 故选：B．    【变式6-3】 （23-24八年级上·北京海淀·期末）如图，四边形中，于点F，交于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键． （1）利用角平分线的性质定理即可证明； （2）证明，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 垂直平分线的性质和判定 【例7】 （23-24八年级下·北京西城·期末）如图，在中，D，E分别是，的中点，交CB的延长线于点F．若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形中位线定理，掌握线段垂直平分线性质和三角形中位线定理是解题的关键．根据D是的中点，，可以得到，进而求出，再由三角形中位线定理，即可求出． 【详解】解： D是的中点，，， 是的垂直平分线， , ，， ， D，E分别是，的中点， 是的中位线， ． 故选：A． 【变式7-1】 （24-25八年级上·北京丰台·期末）如图，在中，，，垂直平分.如果，那么的长为（   ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含30度角直角三角形的性质；由线段垂直平分线的性质得，进而有，则有； 进一步由含30度角直角三角形的性质求得，最后可求得结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴； ∴； ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式7-2】 （23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在中，根据尺规作图痕迹，，若的周长为18，则点F到线段的距离是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质，勾股定理，先根据图形得出．为的角平分线，为的垂直平分线，从而进一步求，，再利用勾股定理求解． 【详解】解：由图可知，为的角平分线，为的垂直平分线， ，点F到线段的距离等于， 的周长为18， ，， ， 点F到线段的距离等于3， 故答案为：3． 【变式7-3】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，线段、点是线段上方一动点，且，线段和线段关于直线对称，过点作，与线段的延长线交于点，点和点关于直线对称，作射线交于点，交于点. (1)当，时，求的长. (2)请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明. (3)当线段的长取最大值时，的值为__________. 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质可得，由平行线的性质可得，从而得到，由等角对等边可得，由等腰三角形的性质可得，由勾股定理计算出，即可得解； （2）由轴对称的性质可得是线段的垂直平分线，从而得到，证明，得出，即可得证； （3）当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值，设，则，证明为等腰直角三角形，结合勾股定理得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：线段，关于直线对称， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，即， ； （2）解：， 证明：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：点关于直线的对称点为， 是线段的垂直平分线， ， ， ， 如图，作于， 线段，关于直线对称， ， ，， ， 当时，的值最大，即的值最大，由可得此时的长达到最大值， 如图，当时， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， 线段，关于直线对称， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）可得， ， ， 故答案为：． 题型八 等腰三角形 【例8】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，点A，点是数轴上两点，A表示的数是1，表示的数是3．过点作，且．以点A为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点，则点表示的实数为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理以及数轴的应用，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质和勾股定理． 先判断的形状，根据勾股定理求出的长度，再根据求出点表示的数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∴是等腰直角三角形，． ∵点表示的数是，点表示的数是， ∴， ∴． 在中， 根据勾股定理， 将代入可得： ∵以点为圆心，长为半径作弧，与数轴负半轴交于点， ∴． ∵点表示的数是，点在数轴负半轴上， ∴点表示的数是． 故选：D． 【变式8-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，中，，．平分．则 （1） °； （2）点到的距离为 ． 【答案】 【分析】（1）本题根据勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，即可求解． （2）本题过点作于点，根据证明，再根据角平分线性质得到，设，则，，最后结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：，，满足， ，即为等腰直角三角形， ， 故答案为：． （2）解：过点作于点，如图所示 ， ， ， ， 平分，且， ， 设，则，， ，有， 整理得，解得（舍去），， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理、等腰直角三角形性质、角平分线的性质和勾股定理，解题的关键在于利用勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形和利用勾股定理求线段长． 【变式8-2】 （24-25九年级·全国·单元测试）如图，△ABC由△EDC绕C点旋转得到，B、C、E三点在同一条直线上，∠ACD=∠B，求证：△ABC是等腰三角形. 【答案】见解析 【分析】由旋转的性质可知∠D=∠B，再根据已知条件证明AC∥DE，进而证明∠ACB=∠A，所以△ABC是等腰三角形． 【详解】证明：由旋转知∠D=∠B， ∵∠ACD=∠B， ∴∠ACD=∠D，AC∥DE， ∴∠ACB=∠E， 又∵∠A=∠E， ∴∠ACB=∠A， ∴△ABC是等腰三角形． 【变式8-3】 （24-25·北京房山·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点，连接与直线交于点Q． (1)依题意补全图形； (2)求的度数； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据题意补全图形即可； （2）根据正方形的性质得，，根据轴对称得，，，根据三角形的外角性质及角的和差可得根据同角的余角相等等量代换得出，得为等腰直角三角形，得， （3）过点C作交延长线于点H，证，，根据全等三角形的性质可得，，在中，，得结论． 【详解】（1）解：依题意补全图形，如图． （2）解：四边形是正方形， ，． 点B，F是关于直线对称， ，，． ． ． ， ． ， ． ，即． （3）解：．证明如下： 过点C作交延长线于点H． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 在中，． ． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． 题型九 等边三角形 【例9】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）如图，是等边三角形，是的中点，动点在边的中线上．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，同时也利用了勾股定理进行计算，解题的关键是利用轴对称的性质确定满足条件的点．连接交于点Q，连接，根据两点之间线段最短，得出B、P、D在同一直线上时，最小，即最小，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点Q，连接， ∵为等边三角形的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴B、P、D在同一直线上时，最小，即最小， 是的中点，为等边三角形， ，， ∴， 的最小值， 故答案为：． 【变式9-1】 （23-24八年级下·北京朝阳·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握这三种性质是关键；由题意得是等腰三角形，则可求得的度数；同理可求得的度数，由即可求解． 【详解】解：正方形中，； 为等边三角形， ， ，， ； 同理，； ； 故答案为：30． 【变式9-2】 （24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用“截长补短法”证明线段的和差关系是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由，可证得，于是可得，，进而可得，即是等边三角形，于是可得，再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即：， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【变式9-3】 （23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接． (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．判断和的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）通过证明四边形是平行四边形，可得； （2）以为边作等边三角形，连接，由“”可证，可得，由旋转的性质和三角形中位线定理可得． 【详解】（1）解：， 如图1所示： 是等边三角形， ， 又， ， ， ， ， 将线段逆时针旋转得线段， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 理由如下：如图2，以为边作等边三角形，连接， 和都是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， 将线段逆时针旋转得线段， ， ， 点，点，点三点共线， ， ， 题型十 勾股定理 【例10】 （24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 【变式10-1】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，四边形中，，是中点，平分，平分．则下列结论中，所有正确结论的序号是 ． ①；②；③． 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用平行线的性质得，根据角平分线的定义得，故，运用勾股定理列式得；再证明，，则，结合在中，，故，因为，得，即，进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴， ∴， 故①是正确的； 过点作于点，如图所示： ∵平分， ∴ ∵是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵在中， ∴ 故②是错误的， ∵ ∴， ∴ 故③是正确的； 故答案为：①③ 【变式10-2】 （24-25八年级下·北京东城·期末）如图，在矩形中，E为上一点，将矩形的一角沿向上折叠，点B的对应点F恰好落在边上．若的周长为12，的周长为24，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，找出线段之间的数量关系是解题关键．由矩形和折叠的性质可知，，，，再根据三角形周长，求得，，然后利用勾股定理，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知，，， 的周长为12，的周长为24， ，， ， ， ，， 在中，， ， 解得：， ， ， 故答案为：4． 【变式10-3】 （24-25八年级下·北京密云·期末）如图，正方形中，点在上（不与重合），交于点，连接． (1)设，求的大小（用含的式子表示） (2)延长与延长线交于点．用等式表示之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由，得，则得； （2）根据全等三角形的性质得到，求得，过作交于点．根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是正方形的对角线， ∴， ∴； （2）答：数量关系是：， 证明：在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 过作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 题型十一 勾股定理的逆定理 【例11】 （24-25九年级上·重庆·开学考试）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理判断即可，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； B、，能组成直角三角形，故选项符合题意； C、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； D、，不能组成直角三角形，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式11-1】 （24-25八年级下·北京东城·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和为进行判定即可． 【详解】A．，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； B．，，最大角，故不是直角三角形，符合题意； C． ，，则有，故是直角三角形，不合题意； D．，则，符合勾股定理，故是直角三角形，不合题意； 故选B． 【变式11-2】 （24-25八年级下·北京·期末）我国南宋时期著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载了这样一道题目：  “今有沙田一块，有三斜，其中小斜七丈，中斜二十四丈，大斜二十五丈，欲知为田几何?”译文是：有一块三角形沙田，三条边长分别为丈，丈，丈，这块沙田的面积是 平方丈 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理的实际应用，根据题意画出示意图，根据相关数据证明图形是直角三角形，根据面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，画出示意图如下：   丈，丈，丈， ，， ， 是直角三角形，且， （平方丈）, 故答案为：． 【变式11-3】 （24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 题型十二 逆命题与逆定理 【例12】 （24-25八年级上·河北石家庄·期末）下列命题为真命题的是（   ） A．三个角对应相等的两个三角形全等 B．等腰三角形的底角必为锐角 C．等腰三角形的顶角一定是锐角 D．每个定理都有逆定理 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法、等腰三角形的性质、互逆定理的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题，故选项不符合题意； B. 等腰三角形的底角必为锐角，该命题是真命题，故选项符合题意； C. 等腰三角形的顶角不一定是锐角，也可以是直角或钝角，原命题是假命题，故选项不符合题意； D. 每个定理不一定有逆定理，原命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：． 【变式12-1】 （23-24八年级下·贵州毕节·阶段练习）如果，那么，这个命题的逆命题是 ． 【答案】如果，那么 【分析】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 【变式12-2】 （江苏宿迁·中考真题）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行．【变式12-3】 （24-25八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 题型十三 轴对称与轴对称图形 【例13】 （24-25九年级下·陕西·期中）窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花作品既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，解题的关键是：找到对称轴和对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形依次判断即可． 【详解】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意， C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意， D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意， 故选：D． 【变式13-1】 （24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，点是的垂直平分线与的交点，将沿着翻折得到，则的度数是    【答案】/度 【分析】由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 【详解】解：点是的垂直平分线与的交点， ， ， ，， 将沿着翻折得到， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质． 【变式13-2】 （24-25八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，是等边三角形，点D在边上，点C关于直线的对称点为，连接，点P是线段上的一点，连接，，延长到点E，使，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解答本题的关键，先由等边三角形和轴对称的性质知，从而可推得，再利用“边角边定理”可证明，最后利用全等三角形的性质即可证得结论． 【详解】是等边三角形， ， 点C关于直线的对称点为， ， ， ， ， 又，， ， ． 【变式13-3】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)点P，线段． 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型十四 尺规作图 【例14】 （24-25八年级上·全国·课后作业）仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了作图-基本作图，结合已知条件根据“”证明，可得答案． 【详解】解：由作法易得，， ∴， ∴． 故选：A． 【变式14-1】 （24-25八年级下·陕西汉中·期末）线段和C、D两点的位置如图所示，请用尺规作图法在线段上作一点B，连接，使得是以为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作线段的垂直平分线交于点，连接即可． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，掌握尺规作垂线的方法是解决问题． 【详解】解：连接，作的垂直平分线交于点，连接，则就是所求的以为底边的等腰三角形，如图： 【变式14-2】 （24-25八年级上·浙江温州·期中）如图1，已知，过点C作，且，用尺规作，E是边上一点． 小瑞：如图以点C为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则． 小安：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结，则 小瑞：小安，你的作法有问题． 小安：哦…我明白了! (1)指出小安作法中存在的问题． (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识． （1）根据不能判定三角形全等可得结论； （2）根据证明三角形全等即可． 【详解】（1）解：以点D为圆心，长为半径作弧，交于点E，连结， 此时点E的位置可能有两个，不能判定两个三角形全等． （2）证明：如图2中，∵， ， 由作图可得， 在和中， ， ． 【变式14-3】 （24-25八年级下·辽宁辽阳·期末）证明与作图：        (1)已知：如图1，，，垂足分别为M，N，与相交于点P．若，求证：． (2)尺规作图：如图2，已知：线段a，b， 求作：等腰三角形，使底边上的高为a，腰长为b．（提示：作图要保留作图痕迹，且要用2B铅笔，不用写作法）． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了做等腰三角形，全等的判定以及性质．掌握等腰三角形的性质以及全等的判定以及性质是解题的关键． （1）先证明，由全等的性质得出，由对顶角相等得出再证明，由全等的性质即可得出 （2）在直线l上取点D，作于D，在上截取，然后以点A为圆心，b为半径画弧交l于B、C两点，则满足条件． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ （2）等腰三角形如下图所示：    基础巩固通关测 1．（24-25八年级上·北京昌平·期末）《2025年春节联欢晚会》主标识以农历乙巳蛇年中的“巳”为原形，将两个“巳”字对称摆放，则恰似中国传统的如意纹样，双巳合璧，事事如意．二方连续，四方连续，是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量．下列图案中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在下列长度的线段中，能与长度分别为4，10的线段首尾顺次相接组成一个三角形的是（ ） A．4 B．6 C．9 D．14 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，能组成三角形，故C符合题意； D、，不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：C． 3．（24-25八年级下·北京海淀·期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（   ） A．1，1，1 B．2，3，4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；因此此题可根据勾股定理逆定理进行排除选项． 【详解】解：A、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； B、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； C、由可知该三条边能构成直角三角形，故符合题意； D、由可知该三条边不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选C． 4．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中与都是等腰三角形，且它们关于直线对称，点，分别是底边，的中点，．下列推断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等； A.由对称的性质得，由等腰三角形的性质得 ，，即可判断； B.不一定等于，即可判断； C.由对称的性质得，由全等三角形的性质即可判断； D. 过作，可得 ，由对称性质得同理可证，即可判断； 掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：A.， ， 由对称得， 点，分别是底边，的中点，与都是等腰三角形， ，， ， ，结论正确，故不符合题意； B.不一定等于，结论错误，故符合题意； C.由对称得， ∵点 E ，F分别是底边的中点， ，结论正确，故不符合题意； D. 过作， ， ， ，由对称得， ， 同理可证， ，结论正确，故不符合题意； 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知：如图，在中，于点D，，下列结论中，正确的是（   ） ①当时，则． ②当时，则． ③当时，则． ④当时，则． A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理，以及三角形的面积，掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理和勾股定理逆定理，以及等面积法得到进行求解． 【详解】解：①当时，则，正确，故①符合题意； ②当时，，则， ∵，， 不成立，故②不符合题意，④符合题意； ③∵于点D，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确，符合题意， ∴正确的有①③④， 故选：C． 6．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，，，请你添加一个适当的条件： ，使得． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由,得到,根据全等三角形的判定定理即可得到结论，熟练掌握全等三角形的判定定理并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , ； 当，理由如下， , , 即, 在和中, , 不一定全等于； 故答案为：或或（答案不唯一）． 7．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”为真命题，则这个命题的逆命题为 命题（用“真”，“假”填空） 【答案】假 【分析】本题考查了命题及其逆命题，全等三角形的性质，正确写出逆命题是解题关键． 【详解】解：命题“两个三角形全等，则它们的面积相等”的逆命题为“两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”， 两个三角形面积相等，这两个三角形不一定全等， 这个命题的逆命题为假命题， 故答案为：假． 8．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，点C在的平分线上，于点D，且，如果E是射线上一点，且，那么的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．作于点F，根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：如图，作于点F， ∵点C在的平分线上，， ∴， ∴． 故答案为：4． 9．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，在中，，已知，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长等于16，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长， ∴． 故答案为：6． 10．（24-25八年级上·北京昌平·期末）如图，点在直线上，点在直线外.若直线上有一点使得为等腰三角形，则满足条件的点位置有 个. 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 【详解】解：如图， ①以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点、， 此时，和为等腰三角形， ②以为圆心，长为半径画弧，与直线交于点， 此时，为等腰三角形， ③作的垂直平分线，与与直线交于点， 此时，为等腰三角形， 即满足条件的点位置有4个， 故答案为：4． 11．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，F，C是线段上两点，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，推导出，由，得，而，即可根据证明，则． 【详解】证明：， 在和中， 12．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，，是的平分线，交于点D，点E是上一点，作，交延长线于点F．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确证明全等是解题的关键．根据等腰三角形的性质证明出即可． 【详解】证明：， ， ， ． ，平分， ． 在和中， ， ． 13．（24-25八年级上·北京顺义·期末）在中，，于点，过点作于点，过点作，交的延长线于点． (1)依题意补全图形，并证明； (2)如果，，求，的长． 【答案】(1)见解析； (2)，． 【分析】（）依题意补全图形，由，，得，，再通过同角的余角相等得出， 然后根据“”即可求证； （）由勾股定理得出，再通过等面积法，求出，然后根据勾股定理求出，最后由全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：依题意补全图形如图， 证明：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，，         ∴，         ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴ ； （2）解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，          ∴，      ∵ ， ∴． 【点睛】本题考查了按语句画图，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等面积法，同角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图，已知和都是等边三角形，连接，，延长交于点P． (1)求证：； (2)连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握利用“截长补短法”证明线段的和差关系是解题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，进而可得，然后利用即可得出结论； （2）延长到点，使得，连接，由，可证得，于是可得，，进而可得，即是等边三角形，于是可得，再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即：， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长到点，使得，连接， 由（1）可知：， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， 即：， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期末）已知，，点D是直线上一点，连接，以为边作等边三角形，使点E在上侧，点F是线段上一点，且，连接． (1)如图1，补全图形，则______°； (2)过点E作，交于点G， ①如图1，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； ②如图2，当点D在的延长线时，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)120 (2)①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）先补全图形，可得为等边三角形，证明，再根据等边三角形的性质以及全等三角形的性质求解； （2）①连接，先证明为等边三角形，再证明，，则，故，再根据等腰三角形的三线合一求证；②先补全图形，证明同①即可． 【详解】（1）解：补全图形，如图， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：120； （2）解：①，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②，理由如下， 证明：连接 ∵， ∴ ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 能力提升进阶练 1．（24-25八年级上·北京通州·期末）根据下列条件：①，，；②，，；③，，；④，，，其中不能唯一确定的形状和大小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项进行判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：已知三角形的三边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及其夹角确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 已知三角形的两边及一边的对角确定时，可知此时这个三角形是不确定的，故该选项符合题意； 已知直角三角形的斜边和一条直角边确定时，由可知是唯一确定的，故该选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，在等边外作射线，使得和在直线的两侧，．点关于直线的对称点为，连接，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，先由点与点关于直线对称，得到 ，，再由等边三角形的性质和三角形内角和定理求得 ，然后由，即，即可求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵点关于直线的对称点， ∴为的中垂线， ∴，， ∴， ∵等边， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知线段是等腰三角形的一边，的三个顶点都在正方形网格的格点上，则这样的等腰三角形的个数为（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是注意分腰长和底边两种情况分类讨论． 【详解】解：如下图， 分情况讨论，①为等腰底边时，符合条件的C点有6个；②为等腰其中的一条腰时，符合条件的C点有4个，所以点C的个数是10个， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中，于点，于点．给出下面四个结论： ①；    ②； ③若，则；    ④若，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，根据题意，利用三角形等面积法判断①；根据三角形外角的定义判断②；根据全等三角形的判定和性质判断是哪；根据三角形外角的定义判断④，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 【详解】解：①∵于点，于点． ∴，即，故①正确； ②∵于点，于点． ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③，，只有两个条件，无法证明，故③错误； ④∵于点，于点． ∴， ∵，， ∴， ∴， 由②得：， ∴，故④正确， 综上可得：①②④正确， 故选：B． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期末）阅读下面材料： 已知：，，，点是中点，给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④点是上的一个动点，当取最小值时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】根据题意可推出，，即可判断①、②；由，，即可判断③；作点关于的对称点，连接交于点，可得的最小值为，证得即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵点是中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， 故②正确； ∴是等边三角形， ∵，， ∴，故③正确； 作点关于的对称点，连接交于点，如图所示： 则有： ∴ ∴的最小值为 ∵，， ∴ ∴ ∴当取最小值时， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形三边关系、含的直角三角形的特征、全等三角形综合以及线段和的最值问题，熟记相关定理结论是解题关键． 6．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在四边形中，，点关于的对称点恰好落在上，如果，那么的度数为 （用含的代数式表示）. 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，连接，，过作于，由， ，即可得出， 再根据直角三角形两个锐角互余可求得，又由垂直平分，即可得到 ，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于， ∵点关于的对称点恰好落在上， ∴ 垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·北京大兴·期末）如图，的角平分线相交于点，，且于点，以下结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是 （只填序号）．    【答案】③④ 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的性质、垂线的定义，根据平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，即可判断①；无法证明平分，即可判断②；求出，，即可判断③；计算出，即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①， ， 是的角平分线， ，故①错误，不符合题意； ②无法证明平分，故②错误，不符合题意； ③， ， 平分， ， ， ，且， ，即， ，故③正确，符合题意； ④的角平分线相交于点， ，， ， ， ，， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，说法正确的是③④， 故答案为：③④． 8．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，，，点在射线上，连接， （1）若，则 ． （2）设，若的形状、大小是唯一确定的，则的取值范围是 ． 【答案】 3 或 【分析】（1）由得到，由，得到是等腰直角三角形，运用勾股定理即可得到答案； （2）分两种情况讨论求解即可得到答案． 【详解】解：（1）如图， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得， 故答案为：3 （2）由题意可知，当或时，能作出唯一一个， ①当时，由（1）可知，此时，的形状、大小是唯一确定的； ②当时，以点C为圆心，为半径画弧，此弧与射线有唯一公共点，则的形状、大小是唯一确定的， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或 【点睛】此题考查了勾股定理、三角形全等的判定等知识，分类讨论是解题的关键． 9．（24-25八年级上·北京房山·期末）如图，中．三个内角，，的度数之比为，点为上一个定点．点，分别是，上的两个动点（不与点，，重合），则 °；当的周长最小时， °． 【答案】 40 【分析】本题考查了用轴对称的性质解决最短路线问题，解决本题的关键是作点关于的对称点，点关于的对称点，找到符合条件的动点E和F． 根据三角形内角和定理即可确定，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、，根据轴对称图形的性质得出当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小，，结合图形得出，，即可求解． 【详解】解：∵三个内角，，的度数之比为， ∴， 故答案为：40； 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交、于、， 、关于对称，、关于对称， ，， 当、、、四个点在同一直线上时，的周长最小， 的周长最小， 中，，，的度数之比为， ， 、关于对称，、关于对称， ，，， ， ， ， ， 故答案为： 10．（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，设直角三角形的两条直角边长分别为a，，连结，设，完成下面问题：    （1） °； （2）给出下面四个结论： ①；②；③；④． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 90 ②④/④② 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理、全等三角形的性质、完全平方公式及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解； （2）由题意易得，，则有，然后根据三角形三边关系及作差法可进行求解． 【详解】解：（1）由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为90； （2）由题意得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴由三角形三边关系可得：，故②正确； ∵， ∴， ， ，故④正确； ∴，即，故①错误； 当时，则；当时，则；故③错误； 综上所述，正确的结论有②④； 故答案为②④． 11．（24-25八年级上·北京大兴·期末）已知：如图，，，，连接，，，过点作于点．过点作的高线，交的延长线于点．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解答本题的关键． （1）根据题意，得到，，从而得到，由此得到证明． （2）根据已知条件，得到，即，又，，从而得到，进而得到，由此得到答案． 【详解】（1）证明：根据题意得：，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． （2）解：， ， ， 由（1）得：，， ， ， 在和中， ， ， ． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期末）已知：如图，中，，点D在边上，连接，过点C作于点E，过点A作，交直线CE于点F． (1)若，求证：； (2)在（1）条件下，取线段的中点H，连接，用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等： （1）证明得到，即可证明； （2）如图所示，连接，设交于G，先由等腰直角三角形的性质得到，证明，得到，可推出，由勾股定理得到，再由，可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图所示，连接，设交于G， ∵，，点H为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 13．（24-25八年级上·北京海淀·期末）如图，在中，，，作直线，使得．过点B作于D，在的延长线上取点E，使． 连接，． (1)依题意补全图形； (2)若，求（用含的式子表示）； (3)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． （1）根据题中要求补全图形即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进而根据图形进行角度的运算即可； （3）在延长线上取点F，使，连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质证得，进而得到，证明得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：依题意，补全图形如图所示： （2）解：∵于D， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． （3）解：． 证明：如图，在延长线上取点F，使，连接． ∵，， ∴，则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ，， ∴． 14．（24-25八年级上·北京昌平·期末）给出如下定义：两条线段相交于一点（交点不与端点重合），连接不同线段的两个端点，再连接另两个端点所得图形称为“8字形”．如图，线段与交于点，连接和，所得图即为“8字形”． (1)下列四个图形中，含有“8字形”的有：____________． (2)如图1，与交于点，连接和，和的延长线交于点，满足，． ①当时，判断与的数量关系，并证明； ②如图2，当时，求证：． 【答案】(1)①④ (2)①，证明见详解 ②见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）根据“8字形”的定义逐一判断即可； （2）①利用“”证明，即可得到答案； ②方法一：在上截取，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法二：在上取一点，使得，易证，再根据等角对等边的性质，即可证明结论； 方法三：在的延长线上取一点，使得，易证，即可证明结论． 【详解】（1）解：由“8字形”的定义可知，含有“8字形”的图形有①④， 故答案为：①④． （2）解：①，证明如下： ， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； ②方法一： 证明：如图，在上截取， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 方法二： 证明：如图，在上取一点，使得， 在和中 . ， ， ， ， ； 方法三： 证明：如图，在的延长线上取一点，使得， ， ，， 在和中， ， ， ． 15．（24-25八年级上·北京延庆·期末）【阅读学习】 阅读从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，如果顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就把原三角形叫作“可两分三角形”．这条线段叫作这个三角形的“两分线”． （）判断：在中，，，则________“可两分三角形”．（填“是”或“不是”） （）画图和计算： 下图中的两个三角形都是“可两分三角形”．请你画出每个三角形的“两分线”，并标出分成的等腰三角形的底角的度数． 阅读如果两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，那么我们把这两条线段叫作这个三角形的“三分线”．如图，线段将顶角为的等腰分成了三个等腰三角形，则线段是的“三分线”． （）画图和计算：请你在图中，画出顶角为的等腰的“三分线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数． （）画图和计算：在中，，和是的“三分线”，点在边上，点在边上，且，．设，试画出示意图，并求出的值． 【答案】（）是；（）图见解析；（）图见解析 ；（）图见解析，的值为或． 【分析】（）根据新定义画出图形即可判断； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； （）根据新定义画出图形即可求解； 本题考查了等腰三角形的性质、三角形的外角和定理和三角形的内角和定理，理解题目中的新定义是解题的关键． 【详解】解（1）如图，可以分割成两个小的等腰三角形， ∴是“可两分三角形”， 故答案为：是； （）如图所示； （）如图所示； （）如图所示， 由图可得的值为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $