专题04 全等三角形的动点问题8大题型（专项训练）数学北京版2024八年级上册

专题04 全等三角形的动点问题（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、动点全等问题 1 题型二、多动点全等问题 2 题型三、三角形中的动点全等问题 3 题型四、四边形中的动点全等问题 5 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 6 题型六、动点全等中的面积问题 8 题型七、动点全等中的最值问题 8 题型八、全等三角形动点问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、动点全等问题 1．如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】1或7 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意可得当点P在上时，只有这种情况，当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在，当点P在上时，只有这种情况，根据全等三角形的性质求出点P的运动路程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 当点P在上时，若和全等，则只有这种情况， ∴， ∴； 当点P在上时，由于此时不是直角三角形，故此种情况不存在， 当点P在上时，同理可得只有这种情况， ∴， ∴点P的运动路程为， ∴； 综上所述，当t的值为1秒或7时，和全等． 故答案为：1或7． 2．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 【答案】或5 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定， 根据题意分两种情况：和，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，当时， ∴ ∵在长方形中，，， ∴ ∴ ∴ ∵点P的运动时间为每秒3个单位 ∴（秒）； 如图所示，当时， ∴ ∴ ∴ ∴（秒） 综上所述，当t的值为或5秒时，与全等． 故答案为：或5． 3．如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时， ．    【答案】12 【分析】根据轴对称的性质得到，进而推出，则只存在这种情况，可设，根据，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵点关于点的对称点为， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴当与全等时，只存在这种情况， ∴， ∵， ∴设， 又∵， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． 4．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的值为或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，用表示出三角形的高是解题的关键． （1）根据题意可知，再由，推出，结合即可得到； （2）由，，可推出，，，由（1）可知，，即以为底时高为，从而推出当时，在线段上，此时，则，解之得到；当 时，在线段上，此时，则，解之得到． 【详解】（1）解：在中，为高 ， 又 ， （2）解：，， ， 由（1）可知，，且点从点出发，在上以4个单位的速度运动，那么 ，即以为底时高为，如图所示    当时，在线段上，则 解得： 当 时，在线段上，则 解得： 综上所述，存在的值为或 ． 题型二、多动点全等问题 5．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，由题意可得，，，即得，又由可得，然后分和两种情况根据全等三角形的性质解答即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， 当时，则，， ∴，， ∴， ∴此时点的速度为； 当时，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴此时点的速度为； 综上，动点的速度为或， 故选：． 6．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，在点的运动过程中，运动时间为．若以点、、为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等．则t的值有（注：点与不重合）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，利用分类讨论的额思想解决问题是关键．由题意可知，，，，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据全等三角形的对应边相等分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ①当点在线段上时， 若，则，此时点与点重合，不符合题意； 若，则， ， 解得：； ②当点在的延长线上时， 若，则， ， 解得：； 若，则， 则， 解得：， 即t的值有3个， 故选：C． 7．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别点在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选D． 8．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】解：假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则， ， ； 若， 则， ， ； 当时，即点在上， 若， 则， ， ； 若， 则， ， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述，点的运动速度为：或或， 故答案为：或或． 题型三、三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；点在上、点在上，点未到达终点A时，或点到达终点A时，继续运动；三种情况，根据列方程计算即可，舍去不合题意情况 【详解】∵，， ∴， ∴与全等分三种情况讨论： ①如图①，当，且点在上、点在上运动时， ． 此时，， ∴， 解得； ②如图②，当，且点与点重合时， ． 此时，， ∴， 解得； ③当，且点在上、点在上运动时，． 此时，． 当点未到达终点A时， ， 解得， 不符合题意，舍去． 当点到达终点A时，继续运动，如图③． 此时点与点A重合，， ∴， 解得． 综上所述，当的值为2或或6时，与全等． 故选：D．            10．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据题意画出示意图，对点和点的位置进行分类讨论即可解决问题，能根据点和点的位置进行正确的分类讨论是解题的关键. 【详解】假设运动的时间为， 当时，即点在上，如图， 若， 则，， ∴， ∴； 若， 则 ，， ∴， ∴， 当时，即点在上， 若， 则，， ∴ ∴， 若， 则，， ∴， 所以， 当时，即点在上， 此时， ∴所以不存在和全等， 综上所述, 点的运动速度为：或或， 故选：． 11．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3，    ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 12．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1) (2)或； (3)或 【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键． （1）当时，点在线段上，则点的运动距离即为的长； （2）先求出，进而得出，分两种情况讨论：当点在上时，，利用三角形面积公式求解即可；解得：； 当点在上时，过点作于点，此时，先利用等面积法求出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）分两种情况讨论：①当点在上，点在上；②当点在上，点在上，根据全等三角形的性质，得到，，再分别求出点的运动时间，进而求出点的运动速度即可． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，点的运动距离为， ， 当时，点在线段上，此时， 故答案为：； （2）解：在中，，，，， ， 的面积等于面积的一半， 当点在上时，如图，此时， ， 解得：； 当点在上时，如图，过点作于点，此时， ， ， ， ， ， 解得：， 综上可知，当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或； （3）解：由题意可知，，，，， ①当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； ②当点在上，点在上， ， ，， 点的运动时间， 点的运动速度为； 综上可知，点的运动速度为或时，恰好． 题型四、四边形中的动点全等问题 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】根据运动过程，根据点P运动的位置和全等情况分类讨论，根据全等三角形的性质即可分别求解． 【详解】解：如图甲所示，当时，， 即，解得， 如图甲所示，当时， 即，解得， 故选：D． 图甲                                  图乙 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应情况分类讨论是解题关键． 14．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 【答案】D 【分析】根据点M的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的性质和时间=路程÷速度分别求解即可． 【详解】解：当点M在AB上时，显然A、B、M构不成三角形，故不符合题意； 当点M运动到BC上时，连接AM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=DC=4，∠B=∠C=90°，结合题意，可知≌ ∴BM=CE=3 ∴点M运动的路程为AB＋BM=7 ∴此时t=7÷2=； 当点M运动到CD上时，连接AM、BM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=DC=4， 由图易知AM和BM均大于CE， ∴此时不存在和全等； 当点M运动到DA上时，连接BM，如下图所示 ∵四边形ABCD为正方形 ∴AD=BC=AB=CD=4，∠A=∠C=90°，结合题意，可知≌ ∴AM=CE=3 ∴点M运动的路程为AB＋BC＋CD＋AD－AM=13 ∴此时t=13÷2=； 综上：t的值为或 故选D． 【点睛】此题考查的是全等三角形与动点问题，掌握全等三角形的性质和分类讨论的数学思想是解题关键． 15．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 16．如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图， ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由题意得，，然后分当时和当时两种情况分析即可，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 如图，当时， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∴， ∴， ∴； ∴当的值为或秒时，和全等， 故答案为：或． 18．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 【答案】5 【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答． 【详解】解：和全等， 分两种情况， ①当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴； ②当时，即当点P在上运动时， 此时， 则， ∴， ∴， 即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒； 故答案为：5． 19．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 20．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)1或或8 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键． （1）由题意分和两种情况列出代数式即可； （2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答； （3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：当点到点时，； 当点到点时，； 当时，在上，则， ； 当时，点在上， ， ． 的长为或； （2）证明：， ， ， ， ， ． （3）解：当点到点时，， 当点P到点C时，， 当点Q到点B时，， 当点Q到点A时，， 当时，点P在边上，点Q在边上，， 此时，则有， ， ，解得：； 当时，点P、Q都在边上时，， 此时， ， ，解得：； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，， 此时， ， ，解得：． 综上，当与全等时，的值为1或或8． 题型六、动点全等中的面积问题 21．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；②16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质： （1）根据全等三角形的性质可得，即可求证； （2）①根据全等三角形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据全等三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：①与之间的位置关系是；理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为16． 22．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可． （2）根据直角三角形的全等，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为， 当时，点P在上运动，此时不存在； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， 解得； 当时，点P在上运动，此时存在，如图所示， 根据题意，运动总路程长为，此时， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴, 解得； 故当或时，的面积等于面积的一半， 故答案为：或． （2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足， ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， ∴动点Q的运动速度为； 当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在； 当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在； ∵，，，． ∴，， ∵动点P的速度为， ∴动点P的运动时间为， ∴动点Q的运动时间为， 点Q的运动路程为， ∴动点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的速度为或． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，运动问题，三角形面积计算，分类思想的应用，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 23．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 (4)点的速度为或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 24．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为； （2）分两种情况讨论：当点在上，当点在上，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 当点P在上时， ∵的面积等于面积的三分之二； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：； 故答案为：或； （2）解：∵， ∴对应顶点为与，与，与； ①当点在上，如图所示：    此时，，， 点移动的速度为， ②当点在上，如图所示：    此时，，， 即，点移动的路程为，点移动的路程为， 点移动的速度为， 综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点的运动速度为或． 题型七、动点全等中的最值问题 25．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    【答案】3 【分析】本题考查了垂线段最短的性质，角平分线全等模型，熟练掌握各性质并准确确定是解题的关键． 在上取一点，使，连接， 过点作于，易得，根据垂线段最短可知，利用三角形的面积求出，从而得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使，连接， 过点作于，   是的平分线， ， ， ， ， ∴， ，， ， 解得， ∴的最小值是3． 故答案为：3． 26．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，两点之间，线段最短，垂线段最短： 在边上截取，连接，，过点作交于点，证得，于是有，因而，再根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：如图，在边上截取，连接，，过点作交于点， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当三点共线时，，最小， ∵垂线段最短， ∴当点与点重合时，最小， ∵，， ∴，即：， ∴， 的最小值为； 故答案为：． 27．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，找出使最小时点P的位置是解题的关键． 28．如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理，直角三角形的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形内角和，求出结果即可． 【详解】解：在上截取，连接，如图所示： ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图所示： ∵，， ∴， ∴，故A正确． 故选：A． 题型八、全等三角形动点问题综合 29．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 30．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等； （2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题； （3）当点E在线段上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，，，，由（2）知，，即可． 【详解】（1）证明：证明：如图1， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：过F点作交于H点，如图，    则， 由（1）知， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，，则 ， ， ， 即是的2倍； （3）证明：当点E在线段上时，过点F作于G点，如图， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，如图4， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，比例线段的性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析； (3)或 【分析】（1）由得，利用即可得出结论； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得，，则，可得为等边三角形，则，可得，得出，根据平行线的判定可得； （3）分两种情形：当时，当时，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）证明：如图， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，理由如下： 由（1）知， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ； （3）解：如图，当时， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 如图，当时， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 32．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)的度数为或． 【分析】（）由，则可证明，通过角所对直角边是斜边的一半得，根据旋转性质可知，，等边对等角有，则，最后再由角所对直角边是斜边的一半即可求解； （）延长至，使，连接，证明，则，，设，，通过角度和差得，，从而得到，再证明，则，，再通过性质证明为等边三角形即可； （）分当点在线段上时，当点在线段延长线上时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由： 如图，延长至，使，连接， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由旋转性质可知：，， ∵为等边三角形， ∴，， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴； （3）解：如图，当点在线段上时， 作点关于直线对称点，当时，最短， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，， ∴当三点共线时，取得最小值， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当点在线段延长线上时， 作点关于直线对称点，当时，最短，绕点顺时针旋转，再截取， 在和中， ， ， ∴，，， ∵， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值， ∴， ∴， 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等边对等角，角所对直角边是斜边的一半，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 1．如图，，点P在线段上，以速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线上运动，且．若与全等，则点P运动的时间为（    ） A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s 【答案】D 【分析】分和两种情况，根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：当时，， ∵点P的速度为， ∴（s）； 当时，当， ∵点P的速度为， ∴（s） 故选：D． 【点睛】此题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 2．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可 【详解】解：①若，则，， ∴，， 解得：，； ②若，则，， ∴，， 解得：， ∴AB的长度为或． 故选：D． 3．如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 【答案】D 【分析】设，则，使与全等，由可知，分两种情况：当时，当时，列方程即可求解．本题主要考查了全等三角形的性质，利用分类讨论思想是解答此题的关键． 【详解】解：设，则， ∵， ∴与全等，可分两种情况： 情况一：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴； 情况二：当时， ∵， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或70． 故选：D． 4．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为 ．    【答案】2或 【分析】本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 根据题意，可以分两种情况讨论，第一种，第二种，然后分别求出相应的的值即可． 【详解】解：当时，则，， ，， ，， ， ， 解得； 当时，则，，． ，， ，， ， 解得； 由上可得的值是2或， 故答案为：2或． 5．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 【答案】与全等时，点运动的时间为秒 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，设点、的运动时间为，表示出、、、，再根据全等三角形对应边相等，分①、是对应边， ②与是对应边两种情况，列方程求解即可. 【详解】解：∵，， 点为的中点， ， 设点、的运动时间为， 则， ， ∴， ①、是对应边时， ∵与全等，， ∴， ， ∴且，解得； ②与是对应边时， ， ∵与全等， ∴，， ∴且， 解得 且(相互矛盾，则舍去) ， 综上所述，与全等时，点运动的时间为秒． 6．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或时与全等． 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）此题主要分两种情况①当，时，；当时，，然后分别计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． 故答案为：； （2）解：①当，时，， ∵， ∴， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：； ②当时，， ∵， ∴， ， 解得：， ， ， 解得：． 综上所述：当或时，与全等． 7．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=5，延长BC到点E，使得CE=CD，连结DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒． （1）CE= ；当点P在BC上时，BP= （用含有t的代数式表示）； （2）在整个运动过程中，点P运动了 秒； （3）当t= 秒时，△ABP和△DCE全等； （4）在整个运动过程中，求△ABP的面积． 【答案】（1）2，2t；（2）7；（3）1或6；（4）△ABP的面积为． 【分析】（1）根据CE=CD可求得CE的长，利用速度时间即可求得BP的长； （2）先计算出总路程，再利用路程速度即可计算出用时； （3）分两种情况，利用全等三角形的性质即可求解； （4）分三种情况，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵CE=CD，AB=CD=4， ∴CE=2， ∵点P从点B出发，以每秒2个单位的速度运动， ∴BP=2t； 故答案为：2，2t； （2）点P运动的总路程为BC+CD+DA=5+4+5=14， ∴在整个运动过程中，点P运动了(秒)； 故答案为：7； （3）当点P在BC上时，△ABP≌△DCE， ∴BP=CE=2， ∴2t=2， 解得：t=1； 当点P在AD上时，△BAP≌△DCE， ∴AP=CE=2， 点P运动的总路程为BC+CD+DA-AP=5+4+5-2=12， ∴2t=12， 解得：t=6； 综上，当t=1或6秒时，△ABP和△DCE全等； 故答案为：1或6； （4）当点P在BC上，即0<t时，AB=4，BP=2t， ∴△ABP的面积为ABBP=4t； 当点P在CD上，即<t时，AB=4，BC=5， ∴△ABP的面积为ABBC=10； 当点P在BC上，即7时，AB=4，AP=14-2t， ∴△ABP的面积为ABBP=28-4t； 综上，△ABP的面积为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题． 8．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 【答案】(1)6， (2)6 (3)5.5或9.5 (4)或或或 【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可； （2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可； （3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可； （4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，； ， 当时，此时点在边上，； 故答案为：，； （2）解：由题意，得：， ∴， 解得：； 故答案为：6； （3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：， ； ②当点为的中点时，为的中线，则：， ； 综上：或； （4）解：①当，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； ②当时，则：， 当点在上时，，解得：， ∴点的速度为：； 当点在上时，则：， ∴点的速度为：； 综上：点的速度为或或或． 9．如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】(1)①；②5 (2)或或6 【分析】本题考查三角形的面积、垂线段最短、三角形全等的性质、一元一次方程的几何应用，解答的关键是对动点所在位置分类讨论求解． （1）①利用三角形的面积公式，利用等面积法求解即可； ②由得到，当时，最小，此时最大，进而求解即可； （2）分①点D在边上，点E在边上时；②当点D在边上，点E在边上时；③当点D在边上，点E在边上时；④当点D在边上，点E在点A处时四种情况，利用全等三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，，是的高， ∴，则； ②由题意，， ∴， 当时，最小，此时最大，最大值为； （2）解：由题意，点D在上用时，在上用时， 点E在上用时，在上用时， 故分以下几种情况： ①点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， ∴，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等，又，， ∴，则，解得， ∵， ∴这种情况不可能，舍去； ②当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ③当点D在边上，点E在边上时，如图， 则，， 由得，解得， ∵，， ∴符合题意； ④当点D在边上，点E在点A处时，如图， 则，， 由得，解得，符合题意， 综上，满足条件的t值为或或6． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)6 (2)或 (3)Q运动的速度为或． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的中线的性质，一元一次方程的应用等知识点，清晰的分类讨论思想是解答本题的关键． （1）利用速度乘时间即可求解； （2）根据三角形中线的性质分两种情况讨论即可解答； （3）设点Q的运动速度为，然后分点P在上，点Q在上；点P在上，点Q在上两种情况，分别根据全等三角形的性质列方程解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：6； （2）解：如图，当P在上，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 当在上时，如图，的面积等于面积的一半， ∴， ∴， 综上：当为或时，的面积等于面积的一半； 故答案为：或； （3）解：设点Q的运动速度为， ①当点P在上，点Q在上，时，， ∴，解得； ②当点P在上，点Q在上，时，，    ∴点P的路程为，点Q的路程为， ∴，解得； ∴Q运动的速度为或． 11．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 【答案】(1) (2)或4 (3)或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识： （1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题； （2）作于H，于G．由平分，推出，由，可得，解方程即可解决问题． （3）存在．由，可知当时，，列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2中， ①当E在线段上时，作于H，于G． ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴. ②当点E运动到延长线上，同法可得时，也满足条件， ∴当或时，满足． 故答案为：或； （3）解：∵， ∴当时，， ∴ ∴ ∴时，． 当D在延长线上时，， 综上所述，满足条件的t的值为2或6， 故答案为：或． 12．如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 【答案】3.5秒或6.5秒 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质． 分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案． 【详解】解：如下图， ①当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意可得: ， 所以； ②当点M在上时， ∵和全等， ∴， 由题意得：，解得． 所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时，和全等． 13．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 【答案】(1)， (2)当秒或秒或12秒时，与全等 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质，解答的关键是运用分类讨论思想解答； （1）根据题意的运动方式，列代数式即可；             （2）分为，，三种情况分别解答即可 【详解】（1）当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 当动点P在上时；当动点Q在上时，，， 综上，，； （2）①如图1，Q在上，点P在上时，作，， ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：；                             ②如图2，当点P与点Q重合时， 当， 则， ∴． 解得：；                             ③如图3，当点Q与A重合时， ， ∴， 当， 则， 即， 解得：；                         当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等． 14．如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 【答案】（1）t=1；（2）t=或t= 【分析】（1）根据△DCP与△BCM全等，列出关于t的方程，解之即可； （2）分当点P在点C左侧和当点P在点C右侧，两种情况，根据PC=CM，列方程求解即可． 【详解】解：（1）要使△DCP与△BCM全等， 则PC=CM， 由题意得：2t=4-2t， 解得：t=1； （2）当点P在点C左侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴PC=CM， ∴4-3t=1.5t， 解得：t=； 当点P在点C右侧时， 则△DCP≌△BCM， ∴CP=CM， ∴3t-4=1.5t， 解得：t=， 综上：当t=或t=时，△DCP与△BCM全等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是抓住全等三角形的条件，得到相等线段，列出方程，注意分类讨论． 15．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 【答案】(1)2 (2)2.5或4.5或7.5或9.5 【分析】（1）当秒时，点P运动到线段上，即可得到的长度； （2）根据题意，要使一个三角形与全等，则点P的位置可以有四个，根据点P运动的位置，即可计算出时间． 【详解】（1）解：当t＝3秒时，点P走过的路程为：， ∵， ∴点P运动到线段上， ∴cm， 故答案是：2； （2）根据题意，如图，连接，则，，， ∴要使一个三角形与全等，则另一条直角边必须等于， ①当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ②当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ③当点P运动到时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， ④当点P运动到时，即P与Q重合时，，此时， ∴点P的路程为：， ∴， 综上所述，时间的值可以是：t＝2.5s，4.5s，7.5s或9.5s． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的动点问题，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质及动点的运动状态，从而进行分类讨论． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 全等三角形的动点问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、动点全等问题 1 题型二、多动点全等问题 2 题型三、三角形中的动点全等问题 3 题型四、四边形中的动点全等问题 5 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 6 题型六、动点全等中的面积问题 8 题型七、动点全等中的最值问题 8 题型八、全等三角形动点问题综合 8 B综合攻坚・能力跃升 题型一、动点全等问题 1．如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，和全等． 2．如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒3个单位的速度沿运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 秒时，与全等． 3．如图，点和动点在直线上，点关于点的对称点为，以为边作，使，．直线上有一点在点右侧，，过点作射线，点为射线上的一个动点，连接．当与全等时， ．    4．如图，在中，为高，，点为上的一点，，连接交于点，（和 是对应角）．    (1)求 的度数； (2)有一动点从点出发沿线段以每秒4个单位长度的速度运动，设点的运动时间为秒，是否存在t的值，使得的面积为18？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型二、多动点全等问题 5．题目：“如图，已知，，，动点以的速度从点出发沿边向终点移动，动点以的速度从点出发沿边向终点匀速移动，动点从点出发沿对角线向终点移动，三点同时出发，当其中一点到达终点时，其余两点也停止运动．连接，求动点的速度为多少时，存在某个时刻，使得以为顶点的三角形与全等（点与点是对应点）．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（      ）    A．甲、乙的答案合在一起才完整 B．乙、丙的答案合在一起才完整 C．只有乙的答案正确 D．三人的答案合在一起才完整 6．如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，在点的运动过程中，运动时间为．若以点、、为顶点的三角形和以点为顶点的三角形全等．则t的值有（注：点与不重合）（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（   ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 8．如图，在中，，在中．现有一动点P，从点C出发，沿着三角形的边运动，回到点C停止，速度为．若另外有一个动点Q，与点P同时出发，从点A开始沿着边运动，回到点A停止．若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点Q的运动速度为，则的值为 ． 题型三、三角形中的动点全等问题 9．如图，在中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点A出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点A运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则当的值为多少时，与全等？（   ） A．2 B．2或6 C．或6 D．2或或6            10．如图，在中，，，，，在中，，，，，．现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为．若另外有一个动点，与点同时出发，从点开始沿着边运动，回到点停止，若在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，设点的运动速度为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或或 D．或或或 11．如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为 s时，与全等． 12．如图①，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为秒． (1)如图①，当时，______cm． (2)如图①，当______时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某时刻，恰好，求点的运动速度． 题型四、四边形中的动点全等问题 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8cm，延长BC到点E，使CE＝2cm，连接DE，动点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当△PBC和△DCE全等时，t的值为(   ) A．3 B．5 C．9 D．3或9 14．如图，在正方形中，，是上的一点且，连接，动点从点以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是（    ） A．3.5 B．5.5 C．6.5 D．3.5或6.5 15．如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 16．如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 题型五、存在“拐点”的动点全等问题 17．如图，在长方形中，，，点是延长线上一点，且，连接，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动．设点运动的时间为，则当和全等时，的值为 ． 18．如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为 秒． 19．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 20．如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为． (1)用含的代数式表示的长； (2)当点在边上时，求证：； (3)当与全等时，直接写出的值． 题型六、动点全等中的面积问题 21．如图1和图2，点B，C，D，E在同一条直线上，且，． (1)如图 1，点 D 与点 C 重合，求证：； (2)将图 1中的 沿直线向左平移至点D与点B 重合时停止，如图2所示，与交于点 G． ①判断此时与之间的位置关系，并说明理由； ②已知 ，求四边形的面积． 22．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当____时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 23．在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为． (1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）； (2)如图1，当 s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求t的值； (4)如图2，在中，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和全等，求点Q的运动速度． 24．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当______时，的面积等于面积的三分之二； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度． 题型七、动点全等中的最值问题 25．如图，在中，平分交于点，点，分别是和上的动点，当，时，的最小值等于 ．    26．如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ． 27．如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，则的度数是（      ） A． B． C． D． 28．如下图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数是（    ） A． B． C． D． 题型八、全等三角形动点问题综合 29．在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 30．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 31．如图，在中，，D为射线上一动点（不与点B、C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当点D在线段上时，求证：； (2)若点D运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (3)在点D的运动过程中，当垂直于的某边时，则 （用含α的代数式表示）． 32．如图，为等边三角形，直线与边交于点，，为直线上一动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接． (1)如图，若，与交于点，且，，求的长度； (2)如图，若与交于点，且为中点，猜想线段、、之间存在的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图，若，连接，当最短时，在直线和线段上分别取点和点，且，连接、，直接写出（或者表示出）当取得最小值时的度数． 1．如图，，点P在线段上，以速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线上运动，且．若与全等，则点P运动的时间为（    ） A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s 2．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 3．如图，，，E、F分别为线段和射线上的一点，若点E从点B出发向点A运动，同时点F从点B出发向点D运动，二者速度之比为，运动到某时刻同时停止，在射线上取一点G，使与全等，则的长为（    ） A．18 B．70 C．88或62 D．18或70 4．如图，，，，，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与全等时，a的值为 ．    5．如图，在中，，，为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以相同速度由点向点运动，一个点到达终点后，另一个点也停止运动．当与全等时，求点运动的时间． 6．如图，在等腰中，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为．    (1)______．（用的代数式表示） (2)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 7．如图，在长方形ABCD中，AB=4，BC=5，延长BC到点E，使得CE=CD，连结DE．若动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿着BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒． （1）CE= ；当点P在BC上时，BP= （用含有t的代数式表示）； （2）在整个运动过程中，点P运动了 秒； （3）当t= 秒时，△ABP和△DCE全等； （4）在整个运动过程中，求△ABP的面积． 8．在中，，，，，动点从点出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点停止，设运动时间为． (1)如图1，当时，___________，当时，___________（用含的式子表示）； (2)如图1，当___________s时，的周长被线段平分为相等的两部分； (3)如图1，若的面积等于面积的一半，求的值； (4)如图3，在中，，，，．如图2，在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和可以完全重合，直接写出点的运动速度． 9．如图1，在中，，经过点C的动直线，交边于点H，已知． (1)直线运动的过程中， ①当是的高时，求的长； ②如图2，过点A作于点G，过点B作 于点F，设线段的长度为 ，线段的长度为，求的最大值； (2)如图3，若点D以的速度从点A出发，沿移动到点B，点E以的速度从点B出发，沿移动到点A，点E在点 D出发后开始运动，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作，，垂足分别为点M、N，设点 D运动时间为，试探究t取何值时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 10．如图①，在中，，，，，现有一动点P从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当时，________cm； (2)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (3)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 11．如图，直线，平分，过点B作交于点C．动点E，D同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)的度数为 ； (2)当点D沿射线运动时，若，求t的值； (3)当动点D在直线上运动时，若与全等，则t的值为 ． 12．如图所示，在正方形中，，E是上的一点且，连接，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当和全等时，求t的值． 13．如图，中，，，，直线l经过点C且与边相交．动点P从点A出发沿路径向终点B运动；动点Q从点B出发沿路径向终点A运动．点P和点Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B时计时结束．在某时刻分别过点P和点Q作于点E，于点F．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)用含t的式子表示______，______； (2)探究t取何值时，与全等？ 14．如图，已知正方形边长为，动点M从点C出发，沿着射线的方向运动，动点P从点B出发，沿着射线的方向运动，连结， （1）若动点M和P都以每秒的速度运动，问t为何值时和全等？ （2）若动点P的速度是每秒，动点M的速度是每秒问t为何值时和全等？ 15．如图，长方形中，cm，cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿长方形的边A—B—C—D—A返回到点A停止，点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，　 　cm； (2)Q为边上的点，且，当t为何值时，以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与全等． 1 / 6 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