第十一章 实数和二次根式（复习讲义）（知识必备+16大核心题型+分层验收）数学北京版2024八年级上册

第十一章 实数和二次根式（复习讲义） 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，初步认识实数与数轴上的点具有一—对应关系，感悟数域的扩充。 2.能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小。 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 4.知道平方根，算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 5.知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数)，会用计算器计算平方根和立方级。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 7.了解二次根式、最简二次根式的概念,会用二次根式的加、减，、除运算法则进行简单的四运算。 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,其中a是被开方数。 平方根概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。 平方根的性质与表示： 表示：正数a的平方根用±表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， -叫做a的负平方根。 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a那么x叫做a的立方根或三次方根， 表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 开立方概念：求一个数的立方根的运算。 知识点三 实数 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。实数概念：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 1.按属性分类： 2.按符号分类 知识点四 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a≥0）就表示a的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 知识点五 二次根式的运算 二次根式的乘法法则:•=(a≥0,b≥0) 【注意】1、要注意a≥0,b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 2、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：•=(a≥0,b≥0) 二次根式的除法法则：= (a≥0,b>0) 【注意】要注意(a≥0,b>0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：= (a≥0,b>0) 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若a>b>0，则有>；2、若>，则有a>b． 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 题型一 求平方根 【例1】 （24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【变式1-1】 （24-25八年级上·广西南宁·期末）2的平方根为（    ） A．4 B． C． D． 【变式1-2】 （24-25·四川凉山·中考真题）的平方根是 ． 【变式1-3】 （24-25八年级下·北京通州·期末）解方程：． 题型二 求算术平方根 【例2】 （24-25）八年级上·北京房山·期末）5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【变式2-1】 （24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【变式2-2】 （24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 【变式2-3】 （24-25八年级上·北京昌平·期中）已知和的小数部分分别为，求该代数式的值. 题型三 求立方根 【例3】 （24-25七年级下·辽宁营口·期末）的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【变式3-1】 （24-25·江苏无锡·中考真题）计算：= ． 【变式3-2】 （24-25八年级下·全国·课后作业）算术平方根等于它本身的数有 ，立方根等于本身的数有 ． 【变式3-3】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 题型四 用计算器求平方根和立方根 【例4】 （23-24八年级下·山东潍坊·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】 （24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【变式4-2】 （24-25八年级上·河南平顶山·期中）用计算器求的按键顺序是（    ）． A．8=S⇔D B． 8=S⇔D C．=S⇔D D．8=S⇔D 【变式4-3】 （23-24八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（    ） A．计算，按键：   B．计算，按键：   C．计算，按键：   D．计算，按键：   题型五 实数的大小比较 【例5】 （23-24八年级上·宁夏银川·期中）实数和的大小关系是（   ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【变式5-1】 （24-25八年级下·湖南湘西·期中）比较大小： 3（请填写“>”、“<”或“=”）． 【变式5-2】 （24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】 （23-24八年级上·吉林长春·期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ，，0，，． 题型六 无理数的估算 【例6】 （24-25八年级上·四川眉山·期中）估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【变式6-1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5与6之间 B．在6与7之间 C．在7与8之间 D．在8与9之间 【变式6-2】 （24-25八年级上·陕西西安·期中）若是整数，则x的值为 ．（写出一个即可） 【变式6-3】 （24-25八年级上·福建三明·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c． (1)分别求出a、b、c的值； (2)求的平方根． 题型七 二次根式有意义的条件 【例7】 （2025八年级下·河南·专题练习）要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】 （24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】 （24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知，则 ． 【变式7-3】 （24-25八年级下·安徽滁州·期中）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 题型八 化简二次根式 【例8】 （24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 【变式8-1】 （24-25八年级上·四川成都·阶段练习）化简： ． 【变式8-2】 （2025·湖南·中考真题）化简 ． 【变式8-3】 （23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 题型九 二次根式的乘法 【例9】 （24-25八年级上·山西晋中·期末）计算：×= ． 【变式9-1】 （24-25九年级·北京西城·假期作业）计算：已知，，则 ． 【变式9-2】 （24-25八年级上·北京密云·期末）计算：． 【变式9-3】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）计算：． 题型十 二次根式的除法 【例10】 （24-25八年级下·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】 （24-25九年级上·福建泉州·期中）计算： ． 【变式10-2】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）计算： ； ． 【变式10-3】 （24-25八年级下·湖北咸宁·期末）化简：． 题型十一 判断最简二次根式 【例11】 （24-25八年级下·北京海淀·期中）下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】 （24-25九年级上·浙江台州·学业考试）把化成最简二次根式得 ． 【变式11-2】 （24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【变式11-3】 （24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 题型十二 判断同类二次根式 【例12】 （24-25八年级下·吉林长春·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】 （24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式12-2】 （24-25八年级下·山东烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式12-3】 （24-25八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 题型十三 二次根式的加减 【例13】 （23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【变式13-1】 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【变式13-2】 （24-25八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【变式13-3】 （24-254八年级上·广东茂名·期末）计算． (1) (2) 题型十四 二次根式的加减乘除混合运算 【例14】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 【变式14-1】 （24-254八年级下·北京东城·期末）计算：． 【变式14-2】 （24-25八年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 【变式14-3】 （24-25八年级下·北京海淀·期末）计算 (1)； (2)． 题型十五 分母有理化 【例15】 （24-25八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 【变式15-1】 （24-25八年级下·北京·期中）如果，那么a与b的关系是（    ） A．a＞b且互为倒数 B．a＞b且互为相反数 C．ab=-1 D．ab=1 【变式15-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，，求． 【变式15-3】 （24-25八年级下·北京·期中）阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 题型十六 二次根式的应用 【例16】 （24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ． 【变式16-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 【变式16-2】 （24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【变式16-3】 （24-25八年级上·北京·单元测试）将一组数，，3，，，…，， 按下面的方式进行排列： 按这样的方式进行下去，将所在的位置记为，所在的位置记为，那么 （1）所在的位置应记为 ； （2）在的位置上的数是 ，所在的位置应记为 ； （3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 ． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）下列各式中，是最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）若，则的值为（　　　） A．-6 B．6 C．-1 D．1 6．（24-25·河南·中考真题）27的立方根为 ． 7．（24-25山东临沂·中考真题）比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 8．（24-25八年级上·北京丰台·期末）写出一个比大且比小的整数 ． 9．（24-25九年级·广东汕头·专题练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 10．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长 ，点F表示的数是 ． 11．（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）已知，，求的值． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 14．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期中）阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 16．（21-22八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则（　　） A． B． C． D．x为一切实数 2．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期中）用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 4．（24-25八年级上·北京昌平·期中）已知n为整数，且，则n的值为 ． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果，则的值为 ． 6．（24-25八年级下·安徽·专题练习）把根式根号外的移到根号内，得 ． 7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 8．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 9．（23-24八年级上·北京昌平·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算 ． 10．（24-25八年级上·北京房山·期中）斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示. 通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ，第2个数为 11．（24-25八年级上·北京房山·期中）观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 13．（24-25八年级上·北京房山·期中）（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    14．（24-25八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 15．（24-25八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 实数和二次根式（复习讲义） 1.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，初步认识实数与数轴上的点具有一—对应关系，感悟数域的扩充。 2.能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小。 3.能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。 4.知道平方根，算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。 5.知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数)，会用计算器计算平方根和立方级。 6.能用有理数估计一个无理数的大致范围。 7.了解二次根式、最简二次根式的概念,会用二次根式的加、减，、除运算法则进行简单的四则运算。 知识点一 平方根 算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2 =a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。 算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作，读作根号a,其中a是被开方数。 平方根概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根或二次方根，即如果x2=a，那么x叫做a的平方根。 平方根的性质与表示： 表示：正数a的平方根用±表示， 叫做正平方根，也称为算术平方根， -叫做a的负平方根。 知识点二 立方根和开立方 立方根概念：如果一个数的立方等于a，即x3=a那么x叫做a的立方根或三次方根， 表示方法：数a的立方根记作，读作三次根号a 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０. 开立方概念：求一个数的立方根的运算。 知识点三 实数 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。实数概念：有理数和无理数统称为实数 实数的分类： 1.按属性分类： 2.按符号分类 知识点四 二次根式的有关概念和性质 二次根式概念：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。 【注意】 1.二次根式，被开方数a可以是一个具体的数，也可以是代数式。 2.二次根式是一个非负数。 3.二次根式与算术平方根有着内在联系，（a≥0）就表示a的算术平方根。 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 知识点五 二次根式的运算 二次根式的乘法法则:•=(a≥0,b≥0) 【注意】1、要注意a≥0,b≥0这个条件，只有a，b都是非负数时法则成立。 2、乘法交换律在二次根式中仍然适用。 二次根式的乘法法则变形（积的算术平方根）：•=(a≥0,b≥0) 二次根式的除法法则：= (a≥0,b>0) 【注意】要注意(a≥0,b>0这个条件，因为b=0时，分母为0，没有意义。 二次根式的除法法则变形（商的算术平方根）：= (a≥0,b>0) 二次根式的加减：先将二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）进行合并。（合并方法为：将系数相加减，二次根式部分不变），不能合并的直接抄下来。 二次根式比较大小： 1、若a>b>0，则有>；2、若>，则有a>b． 3、将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小。 二次根式混合运算顺序：先计算括号内，再乘方（开方），再乘除，再加减。 注意：运算结果是根式的，一般应表示为最简二次根式。 题型一 求平方根 【例1】 （24-25八年级上·北京丰台·期中）某数的两个平方根分别为和，则这个数是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平方根，掌握一个正数的两个平方根互为相反数成为解题的关键． 根据一个正数的两个平方根互为相反数得到关于a的方程可求得a的值，然后确定一个平方根，最后确定这个数即可． 【详解】解：∵某数的两个平方根分别为和， ∴，解得：， ∴， ∴这个数是． 故答案为：9． 【变式1-1】 （24-25八年级上·广西南宁·期末）2的平方根为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得则x就是a的平方根，由此即可解决问题． 【详解】解：2的平方根是， 故选：D． 【变式1-2】 （24-25·四川凉山·中考真题）的平方根是 ． 【答案】±3 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键 【变式1-3】 （24-25八年级下·北京通州·期末）解方程：． 【答案】或 【分析】此题考查了利用平方根的意义解方程，根据平方根的意义可得，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解： 开平方得，， 则或， 解得或． 题型二 求算术平方根 【例2】 （24-25八年级上·北京房山·期末）5的算术平方根是（   ） A．25 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：∵的平方为5， ∴5的算术平方根为． 故选：B． 【变式2-1】 （24-25八年级上·全国·课后作业）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2-2】 （24-25八年级上·北京·期中）若，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，偶次幂的非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． 首先根据非负数的性质可求出的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】 （24-25八年级上·北京昌平·期中）已知和的小数部分分别为，求该代数式的值. 【答案】0 【分析】先估算出的大小，然后求得、的值，最后直接代入利用二次根式的法则进行计算即可． 【详解】解；， ． ．． ． 【点睛】本题主要考查了估算无理数的大小、二次根式的混合运算，求得、的值是解题的关键． 题型三 求立方根 【例3】 （24-25七年级下·辽宁营口·期末）的立方根为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根．根据立方根的性质解答，即可求解． 【详解】解：的立方根为． 故选：B 【变式3-1】 （24-25·江苏无锡·中考真题）计算：= ． 【答案】﹣2 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 【变式3-2】 （24-25八年级下·全国·课后作业）算术平方根等于它本身的数有 ，立方根等于本身的数有 ． 【答案】0和1，0和±1 【详解】本题主要考查了平方根与立方根的定义. 算术平方根等于它本身的数是非负数，且绝对值较小，立方根等于本身的数的绝对值较小，由此即可求解． 解：算术平方根等于它本身的数有0，1， 立方根等于本身的数有0，1，-1． 【变式3-3】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了立方根、二次根式的性质、零指数幂、化简绝对值，根据立方根、二次根式的性质、零指数幂、绝对值的意义进行化简，再计算加减即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：． 题型四 用计算器求平方根和立方根 【例4】 （23-24八年级下·山东潍坊·期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】 解：依次按键，对应的计算是． 故选：A． 【变式4-1】 （24-25八年级上·山东烟台·期末）用科学计算器进行计算，按键顺序依次为，则计算器显示结果与下列各数最接近的一个是（   ） A．3.2 B．4.0 C．4.2 D．4.4 【答案】C 【分析】本题考查计算器—基础知识，根据计算器的按键顺序，写出计算的式子，然后求值即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式4-2】 （24-25八年级上·河南平顶山·期中）用计算器求的按键顺序是（    ）． A．8=S⇔D B． 8=S⇔D C．=S⇔D D．8=S⇔D 【答案】A 【分析】根据计算器的使用方法解答即可； 【详解】解：计算器求，先按，再按8，则A选项符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了计算器的应用，掌握计算器的基本操作是解答本题的关键． 【变式4-3】 （23-24八年级下·山东潍坊·期中）用我们数学课本上选用的科学计算器计算下列算式的值，其按键顺序正确的是（    ） A．计算，按键：   B．计算，按键：   C．计算，按键：   D．计算，按键：   【答案】B 【分析】根据计算器键功能键列式计算，即可解答．此题考查了利用计算器的能力，熟练掌握各键功能是解题的关键． 【详解】解：A．求按键：   ，故选项错误，不符合题意； B．求按键：   ，故选项正确，符合题意； C．求按键：  ，故选项错误，不符合题意； D．求按键：   ，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 题型五 实数的大小比较 【例5】 （23-24八年级上·宁夏银川·期中）实数和的大小关系是（   ） A． B． C．一样大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，分别求出两个数的平方，进而比较出大小，掌握实数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：． 【变式5-1】 （24-25八年级下·湖南湘西·期中）比较大小： 3（请填写“>”、“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，将两个实数平方即可比较出大小． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：>． 【变式5-2】 （24-25八年级下·安徽滁州·期中）下列各组数比较大小正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法，熟练掌握利用乘方比较根式大小、负数比较大小的规则是解题的关键．分别对每个选项中的数，利用立方根、算术平方根的性质以及实数比较大小的方法来判断． 【详解】解： A、因为，，且，根据“若（为实数），则”，可得，故此选项不符合题意； B、因为，，且，根据“若（为非负实数），则”，可得，故此选项不符合题意； C、因为，，又，根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，可得，故此选项符合题意． D、因为，，且，所以，故此选项不符合题意；． 故选：C． 【变式5-3】 （23-24八年级上·吉林长春·期末）将下列各数按从小到大的顺序排列，并用“<”号连接起来： ，，0，，． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，正数大于零，负数小于零；根据，即可进行比较求解． 【详解】解：∵， ， ∴ 题型六 无理数的估算 【例6】 （24-25八年级上·四川眉山·期中）估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】B 【分析】本题考查了无理数估算，可估算，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【变式6-1】 （24-25八年级上·江苏宿迁·期末）估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5与6之间 B．在6与7之间 C．在7与8之间 D．在8与9之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，估算得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：C． 【变式6-2】 （24-25八年级上·陕西西安·期中）若是整数，则x的值为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数有意义的条件，先求出，然后根据整数解题即可． 【详解】解：由题可得，解得， 又∵是整数， ∴可以是或或， 即x可以为或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-3】 （24-25八年级上·福建三明·期中）已知的立方根是2，的算术平方根是3，的小数部分为c． (1)分别求出a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据立方根，算术平方根，无理数的估算求解，即可得到答案； （2）将a、b、c的值丢计算出，即可求解． 【详解】（1）解：∵的立方根是2， , ， 的算术平方根是3， ， ， 的小数部分为c，且， ； （2）解： ， 的平方根为． 【点睛】本题考查了立方根、算术平方根、无理数的估算，平方根、完全平方公式代数式求值，熟练掌握相关计算方法是解题关键． 题型七 二次根式有意义的条件 【例7】 （2025八年级下·河南·专题练习）要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 【变式7-1】 （24-25八年级下·广东江门·期中）下列各式一定属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意； D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式7-2】 （24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【详解】解：， ， 解得， ， ， 故答案为：5． 【变式7-3】 （24-25八年级下·安徽滁州·期中）若实数a，b，c满足． (1)求a，b，c； (2)若满足上式的a，b为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长． 【答案】(1)a=，b=2，c=3； (2)等腰三角形的周长为2+2或+4． 【分析】（1）首先由得出c=0，再进一步得出a、b的数值即可； （2）分a是腰长与b是底边和b是腰长与a是底边两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：由题意得c-3≥0，3-c≥0， 则c=3，|a-|+=0， 则a-=0，b-2=0， 所以a=，b=2； （2）解：当a是腰长与b是底边， ∵+>2， ∴等腰三角形的周长为++2=2+2； 当b是腰长与a是底边， ∵+2>2， ∴等腰三角形的周长为+2+2=+4． 综上，等腰三角形的周长为2+2或+4． 【点睛】此题考查二次根式的意义与加减运算，以及等腰三角形的性质．利用二次根式有意义的条件得出c的值是解题关键． 题型八 化简二次根式 【例8】 （24-25八年级上·四川宜宾·期末）计算的结果是（　　） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确利用二次根式的性质得出是解题关键．直接利用二次根式的性质化简求出即可． 【详解】解：， 故选：B． 【变式8-1】 （24-25八年级上·四川成都·阶段练习）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的化简，根据化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-2】 （2025·湖南·中考真题）化简 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式8-3】 （23-24八年级下·广西南宁·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法．先化简，再进行减法运算即可． 【详解】解： ． 题型九 二次根式的乘法 【例9】 （24-25八年级上·山西晋中·期末）计算：×= ． 【答案】1 【分析】利用二次根式的乘法运算法则进行梳理计算即可． 【详解】解：×==1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解答的关键． 【变式9-1】 （24-25九年级·北京西城·假期作业）计算：已知，，则 ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：2 【变式9-2】 （24-25八年级上·北京密云·期末）计算：． 【答案】 【分析】根据平方差公式结合二次根式的乘法法则可以解答本题． 【详解】解： 【点睛】本题考查二次根式的乘法运算、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式乘法运算的计算方法． 【变式9-3】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式和完全平方公式计算即可； 【详解】解：原式 【点睛】本题考查的是完全平方公式和平方差公式,熟练掌握乘法公式是解题的关键． 题型十 二次根式的除法 【例10】 （24-25八年级下·北京·期中）下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算 根据二次根式的乘法法则对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算对B选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断． 【详解】解：A.，所以A选项不符合题意； B.，所以B选项不符合题意； C.，所以C选项不符合题意； D. ，所以D选项符合题意； 故选：D 【变式10-1】 （24-25九年级上·福建泉州·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 【变式10-2】 （24-25八年级上·北京平谷·期末）计算： ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质化简，根据二次根式的除法法则进行运算，则，再结合二次根式的性质进行化简，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：2，． 【变式10-3】 （24-25八年级下·湖北咸宁·期末）化简：． 【答案】5 【分析】本题考查二次根式的化简，混合运算，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． 先计算除法，平方并化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 题型十一 判断最简二次根式 【例11】 （24-25八年级下·北京海淀·期中）下列二次根式属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了最简二次根式的识别，解题的关键是熟知最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义即可判断． 最简二次根式同时满足下列三个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽的因式；（3）被开方数不含分母． 【详解】A．含有能开的尽的因式16，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； B．含有能开的尽的因式4，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； C．里有分母，不是最简二次根式，故选项错误，不符合题意； D．为最简二次根式，故选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式11-1】 （24-25九年级上·浙江台州·学业考试）把化成最简二次根式得 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式11-2】 （24-25八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式，，，中，最简二次根式是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的判定条件逐个分析即可得解，熟练掌握最简二次根式的判定条件是解此题的关键． 【详解】解：，，，不是最简二次根式，是最简二次根式， 故答案为：． 【变式11-3】 （24-25八年级下·江西赣州·期中）若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 题型十二 判断同类二次根式 【例12】 （24-25八年级下·吉林长春·期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及同类二次根式的定义，正确对二次根式化简是关键．要判断与是同类二次根式的选项，需将各选项化简为最简二次根式，若被开方数为3，则为同类二次根式． 【详解】A、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B、是整数，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C、，与是同类二次根式，故该选项符合题意； D、，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【变式12-1】 （24-25八年级下·江苏扬州·期末）已知与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且， ∴，则， 故答案为：0． 【变式12-2】 （24-25八年级下·山东烟台·期末）已知最简二次根式与二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的概念，根据题意先化简，再根据同类二次根式的最简二次根式的被开方数相等列关系式，求解即可． 【详解】解：， 又最简二次根式与二次根式是同类二次根式， ， 解得． 【变式12-3】 （24-25八年级下·河北廊坊·期中）嘉嘉和淇淇玩一个摸球计算游戏，在一个不透明的容器中放有四个大小相同且标有不同数字的小球.游戏规则：将从容器中摸取到的小球上所表示的数相加． (1)若嘉嘉摸到如图1所示的两个小球，请计算出结果． (2)如图2，若嘉嘉摸出全部的四个小球，计算结果为，淇淇说的值能与合并．你认为淇淇的说法正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)淇淇的说法正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，同类二次根式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可列出式子计算求解即可； （2）根据题意结合二次根式的加减计算法则求出x的值，再判断x与是否为同类二次根式即可得到结论． 【详解】（1）解： ； （2）解：淇淇的说法正确，理由如下： ， ∴， ∵， ∴的值能与合并， ∴淇淇的说法正确． 题型十三 二次根式的加减 【例13】 （23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减，先化简各项，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【变式13-1】 （24-25八年级下·安徽合肥·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减； 先利用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式． 【详解】解：原式 ． 【变式13-2】 （24-25八年级上·全国·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查二次根式的加减运算，熟练掌握二次根式的加减运算法则，是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先化简，再合并即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【变式13-3】 （24-254八年级上·广东茂名·期末）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用二次根式的性质先化简，再合并即可； （）利用平方差公式计算即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型十四 二次根式的加减乘除混合运算 【例14】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）计算： 【答案】8． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式和二次根式的乘法法则运算，然后化简二次根式，最后合并即可． 【详解】解： ． 【变式14-1】 （24-254八年级下·北京东城·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算以及加减运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 先根据二次根式的乘除法法则分别计算乘法和除法部分，再将所得结果化为最简二次根式，最后进行加减运算． 【详解】解：原式 ． 【变式14-2】 （24-25八年级下·北京·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再和并即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式14-3】 （24-25八年级下·北京海淀·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十五 分母有理化 【例15】 （24-25八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 【答案】 【分析】首先把分式中的分子与分母同时乘以，然后再根据二次根式的性质，计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握分母有理化的方法． 【变式15-1】 （24-25八年级下·北京·期中）如果，那么a与b的关系是（    ） A．a＞b且互为倒数 B．a＞b且互为相反数 C．ab=-1 D．ab=1 【答案】B 【分析】将分母有理化，进而即可比较大小，从而求得a与b的关系． 【详解】解：∵，，， ∴a＞b且互为相反数． 故选B． 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化是解题的关键． 【变式15-2】 （24-25八年级上·北京海淀·期中）已知，，求． 【答案】62 【分析】利用分母有理化化简、，求出和，再将所求式子利用分式加法法则变形，代入计算即可． 【详解】解：，， ∴，， 则 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式是解题的关键． 【变式15-3】 （24-25八年级下·北京·期中）阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 【答案】 / / / 【分析】（1）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； （2）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； （3）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键． 题型十六 二次根式的应用 【例16】 （24-25八年级下·山东淄博·期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和27的两个小正方形，则剩下阴影部分的面积为 ． 【答案】36 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的性质． 直接利用二次根式的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为12和27， ∴大正方形边长为：， ∴大正方形面积为， ∴留下的阴影部分面积和为： 故答案为：36． 【变式16-1】 （24-25八年级上·北京石景山·期末）对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下： ，如，那么 8 12 的运算结果为 ． 答案】 【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可． 【详解】8 12＝== 故答案为：． 【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题的关键．【变式16-2】 （24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 【变式16-3】 （24-25八年级上·北京·单元测试）将一组数，，3，，，…，， 按下面的方式进行排列： 按这样的方式进行下去，将所在的位置记为，所在的位置记为，那么 （1）所在的位置应记为 ； （2）在的位置上的数是 ，所在的位置应记为 ； （3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 ． 【答案】（1）；（2），（5，4）；（3）（6，2） 【分析】观察这组数字的规律为被开方数为从3开始的3的自然倍数，将30个数按题干方式排列后，依据题意表示即可： （1）依据在第二行第五列即可得出结论； （2）每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为；依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定； （3）由于最大得有理数为，依据每行有5个数，找出规律，位置即可确定． 【详解】解：（1）∵在第二行第五列， ∴所在的位置应记为：， 故答案为：； （2）由题意得，每个被开方数都是3的倍数，因此第四行第一列的数字为， ∴（4，1）位置上的数是； ， ， 每行有5个数， ∴所在的位置记为（5，4）， 故答案为：，（5，4）； （3）这组数中最大的有理数是，它所在的位置记为第6行第2列， ∴这组数中最大的有理数所在的位置应记为：（6，2）， 故答案为：（6，2）． 【点睛】题目主要考查二次根式的应用，坐标位置的确定，理解题意，确定被开方数存在的规律是解题的关键． 基础巩固通关测 1．（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）9的算术平方根是（    ） A．3 B．81 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，两个实数a、b若满足且a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：9的算术平方根是3， 故选：A． 2．（24-25八年级上·北京昌平·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查开立方，二次根式的加法，乘法，除法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则．根据相关运算法则逐项计算并判断，即可解题． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、与不是同类二次根式，不能进行计算，故计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式定义，以及求一个数的平方根，根据被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式，列出方程求出，，再根据平方根概念求解，即可解题． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， a的平方根是， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京朝阳·期末）下列各式中，是最简二次根式的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，是逐个检查定义中的两个条件①被开方数不含分母②被开方数不含能开的尽方的因数或因式，据此可解答. 【详解】A、被开方数含分母，错误. B、满足条件，正确. C、被开方数含能开的尽方的因数或因式，错误. D、被开方数含能开的尽方的因数或因——错误. 所以选：B. 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握相关知识是解题关键. 5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）若，则的值为（　　　） A．-6 B．6 C．-1 D．1 【答案】A 【分析】利用非负性求出和的值即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴ 故选：A． 6．（24-25·河南·中考真题）27的立方根为 ． 【答案】3 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 7．（24-25山东临沂·中考真题）比较大小： 5（选填“”、“ ”、“ ” ）． 【答案】＜ 【分析】先把两数值化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法即可求解． 【详解】解：∵，， 而24＜25， ∴＜5． 故答案为：＜． 【点睛】此题主要考查了实数的大小的比较，当一个带根号的无理数和一个有理数进行比较时，首选的方法就是把它们还原成带根号的形式，然后比较被开方数即可解决问题． 8．（24-25八年级上·北京丰台·期末）写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】3（或4） 【分析】先分别求出与在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案． 【详解】∵，， ∴比大且比小的整数是3或4， 故答案为：3（或4）． 【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数估算的知识，分别求出与在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键． 9．（24-25九年级·广东汕头·专题练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是 ． 【答案】1 【详解】∵的整数部分为1,小数部分为−1， ∴x=1,y=−1， ∴x−y=−(−1)=1. 故答案为1. 10．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如图所示，点F、O、D、A是数轴上四个点，O与原点重合，边长为3的正方形被分成形状、大小完全相同的四个直角三角形和一个小正方形，，．则小正方形的边长 ，点F表示的数是 ． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了实数与数轴，三角形全等的判定和性质，正方形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据正方形的边长为3，得出，求出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F表示的数为． 故答案为：；． 11．（24-25八年级上·北京昌平·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减．解题的关键在于把各根式化成最简根式．把二次根式、立方根分别化简再合并同类根式即可． 【详解】解： 12．（24-25八年级下·湖北黄冈·期末）已知，，求的值． 【答案】7 【分析】求出的值，利用整体的思想解决问题． 【详解】∵，， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则等知识，解题的关键是学会利用整体的思想进行化简计算，属于中考常考题型． 13．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）已知：一个正数a的两个不同平方根分别是x+5和4x﹣15． （1）求x的值； （2）求a+1的立方根． 【答案】（1）x＝2；（2）2 【分析】（1）根据正数a的两个平方根互为相反数列式求出x的值即可； （2）把（1）中求出的a的值代入a+1，然后再求立方根即可． 【详解】解：（1）∵一个正数a的两个平方根分别是x+5和4x﹣15， ∴（x+5）+（4x﹣15）＝0， ∴5x﹣10＝0，解得x＝2； （2）由（1）得x＝2， ∴a＝（2+5）2＝49． a+1＝×49+1＝7+1＝8， ∴a+1的立方根是：＝2． 【点睛】本题主要考查了平方根的性质、立方根的性质等知识点，一个正数的两个平方根互为相反数；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 14．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）我们知道是二次根式的一条重要性质．请利用该性质解答以下问题： (1)化简： ， ； (2)若，则x的取值范围为 ； (3)已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质； （1）根据化简即可； （2）根据可知，解不等式即可； （3）先根据数轴判断出，，再根据二次根式和绝对值的性质化简． 【详解】（1）解：，， 故答案为：2，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴得：， ∴，， ∴． 15．（24-25八年级上·北京昌平·期中）阅读下面文字，解答问题． 是无理数．无理数是无限不循环小数，小明用表示它的小数部分，理由是：的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分， 又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为． 参考小明的做法解答： (1)如果的整数部分为m，小数部分为n，则_______； (2)如果，其中x是整数，且，则_______． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算： （1）先估算出，再参照小明的做法求出m和n，代入计算即可； （2）先估算出，再参照小明的做法求出的整数部分和小数部分，即可求出，的值，将，的值代入中计算求解即可． 【详解】（1）解：， ∴， 的整数部分为， ∴小数部分为． ，， ， 故答案为：8； （2）解：， ∴， 的整数部分为，小数部分为． ，即，其中是整数，且， ，； ∴ ， 故答案为：． 16．（21-22八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 能力提升进阶练 1．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若，则（　　） A． B． C． D．x为一切实数 【答案】A 【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选A． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，能够熟练运用二次根式被开方数的非负性列不等式是解题关键． 2．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的加减法，完全平方公式及平方根，由，可得，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：， ，， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·北京顺义·期中）用表示不超过的最大整数，例如：，则的值为（   ） A． B．21 C． D．22 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算，先估算，的大小，然后根据已知条件中的新定义，求出所求代数式中带有根号的数的近似值，然后再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴表示不超过x的最大整数， ∴， ， ， ...， ， ∴ ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·北京昌平·期中）已知n为整数，且，则n的值为 ． 【答案】2 【分析】根据无理数的估算，进行求解即可． 【详解】解：，即：， 的值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查无理数的估算．熟练掌握无理数的估算方法，是解题的关键． 5．（24-25八年级上·北京昌平·期中）如果，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负性求得的值，进而即可求解． 【详解】解：∵ ∴，则， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，求代数式的值，根据算术平方根的非负性求得的值是解题的关键． 6．（24-25八年级下·安徽·专题练习）把根式根号外的移到根号内，得 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，主要是判断根号有意义的条件，然后确定值的范围再进行化简，是常考题型．由于根号内为，所以，所以将移到根号内时根号外面要加负号，然后再把根号内值化简即可． 【详解】解：有意义， ，即， 原式 故答案为： 7．（24-25八年级上·北京顺义·期中）如果，那么x的取值范围 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式有意义的条件， 根据二次根式的被开方数是非负数求解即可． 【详解】∵ ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·北京房山·期中）已知，，，．若为整数，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数，且， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级上·北京昌平·期中）利用平方与开平方互为逆运算的关系，可以将某些无理数进行如下操作：当时，移项得，两边平方得，所以，即得到整系数方程：． 仿照上述操作方法，完成下面的问题：当时， ①得到的整系数方程为 ； ②计算 ． 【答案】 2014 【分析】①根据题干中给定的方法，转化为整系数方程即可；②根据①中得到的结论，将代数式进行转化后，即可得出结果． 【详解】解：①， ∴， ∴， ∴， 整理得：，即：； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴ ； 故答案为：2014． 【点睛】本题考查无理数的转化．理解并掌握题目中给出的解题方法，是解题的关键． 10．（24-25八年级上·北京房山·期中）斐波那契（约1170-1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列）.后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用表示. 通过计算求出斐波那契数列中的第1个数为 ，第2个数为 【答案】 1； 1 【详解】试题解析：第1个数，当n=1时， = = =1． 第2个数，当n=2时， = = = =1. 11．（24-25八年级上·北京房山·期中）观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足． (1)化简：； (2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）； (3)求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，实数的运算，分式的混合计算： （1）先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则求解即可； （2）观察可知，这一列的数的被开方数是序号的平方加1，据此规律求解即可； （3）根据（1）（2）所求可得，则，进而可得，再代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， ……， 以此类推，可知第个数为， 故答案为：； （3）解：∵是这列数的第2024个数， ∴由（2）可知， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25八年级上·北京顺义·期中）阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式，如果一个三角形的三边长分别为，记，则三角形的面积，此公式称为“海伦公式”． 思考运用，已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看． 【答案】李大爷这块菜地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，将题目中的已知量代入到海伦公式里面进行计算即可．解题的关键是正确的代入公式并进行计算． 【详解】解：， ． ． 李大爷这块菜地的面积为 13．（24-25八年级上·北京房山·期中）（1）如图1，把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形，则正方形的边长为 （2）类比以上探究思路，解决如下问题： 如图2，正方形的对角线EG长为3，通过画图写出正方形的边长．    【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了化简二次根式： （1）根据正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的求出正方形的面积，进而根据正方形面积计算公式可求出正方形的边长； （2）仿照（1）可得正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的，则可求出正方形的面积，进而求出其边长即可． 【详解】解：（1）∵正方形是由四个腰长为1的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； （2）解：如图所示，正方形是 由四个腰长为的等腰直角三角形拼接而成的， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故答案为：； 14．（24-25八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 特例1：， 特例2：， 特例3：， 特例4：， 特例5：_______________（填写运算结果）． (2)观察、归纳，得出猜想． 如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：_________________． (3)应用运算规律． ①化简___________； ②若（a，b均为正整数），则的值为_____________． 【答案】(1)； (2)； (3)①20；②57. 【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5； （2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想； （3）①②根据（2）中的规律即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）， 证明： 左边， 又右边， 左边右边， 成立, 故答案为：； （3）① ， 故答案是：； ②， 根据， 得， 解得：，（舍去）， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题． 15．（24-25八年级上·北京房山·期末）将个0或排列在一起组成一个数组，记为，其中取0或，称是一个元完美数组（且为整数）.例如：，都是2元完美数组，，都是4元完美数组.定义以下两个新运算： 新运算1：对于， 新运算2：对于任意两个元完美数组和，．例如：对于3元完美数组和，有． (1)①在，，中是2元完美数组的有_____； ②设，，则______； (2)已知完美数组，求出所有4元完美数组，使得； (3)现有个不同的2022元完美数组，是正整数，且对于其中任意的两个完美数组，满足，则的最大可能值是______． 【答案】(1)①；② (2)或或或或或． (3) 【分析】（1）①根据定义直接判定即可； ②根据定义直接计算即可； （2）由定义可知当时，，当时，，当或0，再由此求解即可； （3）根据题意可知C、D中对应的元都不相等，的最大值为，当C确定后，D中的对应元与C中的不同即可． 【详解】（1）解：①∵中有， ∴不是2元完美数组； ∵中只有和0，且有2个数， ∴是2元完美数组； ∵中有3个数， ∴不是2元完美数组； 故答案为：． ② ． 故答案为：． （2）解：∵， ∴当时，，当时，， 当时，或0， ∵， ∴， ∵， ∴或或或或或． （3）解：∵， ∴、中对应的元都不相等或、中对应的元都相等且为， ∵、是不同的两个完美数组， ∴、中对应的元都不相等， ∴的最大值为，当确定后，中的对应元与中的不同． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，弄清定义，熟练掌握绝对值的运算，能够通过所给的运算关系，得到一般规律是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $