专题01 期中真题百练通关81题27大易错题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题01 期中真题百练通关（81题27大易错题型） 题型1 分式的概念 题型15 灵活选用判定方法证明三角形 题型2 分式有无意义问题 题型16 全等三角形的模型问题 题型3 分式的基本性质 题型17 三角形的尺规作图 题型4 约分通分 题型18 算术平方根的非负性 题型5 最简分式、最简公分母 题型19 估计算数平方根的取值范围 题型6 分式的四则混合运算 题型20 算术平方根的实际应用 题型7 分式化简求值 题型21 求平方根 题型8 分式方程的解法 题型22 利用平方根解方程 题型9 根据分式方程解的情况求值 题型23 求立方根 题型10 分式方程的增根、无解问题 题型24 无理数 题型11 分式方程的实际应用 题型25 实数的分类 题型12 命题与证明 题型26 实数与数轴 题型13 全等三角形的性质 题型27 近似数 题型14 全等三角形的判定 题型一 分式的概念（共3小题） 1．观察：①②③④⑤⑥，其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键． 一般地，如果A、表示两个整式，且B中含有字母，那么式子就叫做分式，由此判断即可． 【详解】解：分式有∶ 、、、，共4个， 故选∶B 2．根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查分式的值，分式无意义的条件，根据时，分式的值无意义可知分母含有因式，再根据时，分式的值为解答即可． 【详解】解：满足条件的分式可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 3．观察下面一列分式：，…，根据你发现的规律写出第8个分式： ． 【答案】 【分析】根据已知分式的分子与分母的系数都是1，再找出分子的次数是从3开始的连续奇数，分母是由1开始的连续的整数，即可得出结论． 【详解】解：∵，…， ∴第8个分式是． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查与分式有关的规律，找到规律是解题的关键． 题型二 分式有无意义问题（共3小题） 4．要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件“分式的分母不等于0”，熟练掌握分式的分母不等于0是解题关键．根据分式的分母不等于0求解即可得． 【详解】解：要使分式有意义，则， 解得且， 故选：D． 5．若分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件作答即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，， 解得：，， 即， 故答案为：． 6．若时分式无意义，时，分式的值为零，求分式的值． 【答案】 【分析】根据分式无意义和值为零分别得到，，求出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：由题意可得： ，， 解得：，， ∴． 【点睛】此题考查分式的值为零的问题和分式有意义的条件，解题的关键是掌握值为零和有意义的相应条件． 题型三 分式的基本性质（共3小题） 7．将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的8倍 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质，正确计算是解题的关键．设原分式为，根据分式的性质，得新分式为，进而解答即可． 【详解】解：设原分式为， 将的值同时扩大为原来的2倍后，新分式为， ∴分式的值扩大为原来的8倍， 故选：C． 8．利用分式的基本性质填空：，空格应填入 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分母扩大倍，则分子应扩大倍，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 9．已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式基本性质运用．分式的求值，熟练运用分式基本性质是关键．把条件化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为： 题型四 约分通分（共3小题） 10．代数式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 11．约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解答本题的关键． （1）分子分母同时除以约分即可； （2）将分子分母因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 12．（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分子，分母都含有，即可得； （2）与的最简公分母是12x2y，即可得 【详解】解：（1）． （2）∵与的最简公分母是12x2y， ∴． 【点睛】本题考查了约分，通分，解题的关键是掌握约分，确定最简公分母． 题型五 最简分式、最简公分母（共3小题） 13．以下分式是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了最简分式，直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义：分子与分母不含公因式的分式叫做最简分式，进而判断即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； B、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； C、是最简分式，符合题意，选项正确； D、，原分式不是最简分式，不符合题意，选项错误； 故选：C 14．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的最简公分母，因式分解，掌握分式的最简公分母的定义，因式分解方法是解题关键． 先将分式分母因式分解，然后根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：先将分式分母因式分解， ∴分式的最简公分母是． 故选：D． 15．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】． 【分析】本题考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题的关键． 先对分式的分母因式分解，然后确定最简公分母． 【详解】解：， ， ， ∴最简公分母是：． 故答案为：． 题型六 分式的四则混合运算（共3小题） 16．化简：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算．先算括号里面的减法运算，再把除法化为乘法，然后进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． （1）根据分式的减法和除法可以解答本题； （2）根据分式的乘除法和加法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的混合运算． 根据分式的混合运算法则和运算顺序进行化简计算即可． （1）先计算括号里面的，再把除法转化成乘法，然后约分即可求解． （2）先计算括号里面的，再把除法转化成乘法，然后约分即可求解． （3）先计算括号里面的，再把除法转化成乘法，然后约分即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型七 分式化简求值（共3小题） 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式乘法和减法的运算法则． 根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将代入化简后的式子，计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式，熟练计算是解题的关键． 先通分括号内，再运算除法，进行化简，得，再解不等式，然后结合为正整数且，得，最后代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， ， 为正整数且， 当时，原式 综上，原式的值为． 21．先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 【答案】（答案不唯一，符合条件即可） 【分析】本题考查分式的化简求值，平方差公式，完全平方公式，分式有意义的条件，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 先利用分式的性质化简，再确定m的取值范围，再代入m值计算即可． 【详解】解：原式 ． ∵，且， ∴且， ∴当时，原式（答案不唯一，符合条件即可）． 题型八 分式方程的解法（共3小题） 22．解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 先将分式方程去分母，转化为整式方程，求解并检验即可． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 23．解下列分式方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 24．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程的解法，解题关键是通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，并且解分式方程后一定要进行检验，确保分母不为0．通过去分母，解整式方程，验根的步骤求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为：． （2） 去分母得： 解得： 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为：． 题型九 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 25．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入方程计算，即可求出m的值． 【详解】解：把代入得， 解得， 故选：B． 26．若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵该分式方程的解是非负数，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 27．已知关于x的分式方程． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为正数，求m的取值范围． 【答案】(1)该分式方程的解为 (2)且 【分析】（1）把代入原方程中，然后按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； （2）先解分式方程可得，然后根据题意可得且，从而可得且，最后进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，原方程即为：， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； （2）解：， ， 解得：， 该分式方程的解为正数， 且， 且， 解得：且， 的取值范围为：且． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解分式方程，解题的关键是准确熟练地进行计算． 题型十 分式方程的增根、无解问题（共3小题） 28．若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，由分式方程有增根，得到最简公分母，进而可得答案． 【详解】解：方程的最简公分母为， 由分式方程有增根，得到， 即， 则增根是， 故选：． 29．若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的无解问题，解题关键是熟练掌握分式方程的无解问题的解法． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，将代入整式方程即可求解． 【详解】解：原方程去分母得， 分式方程无解， ， ， 将其代入得． 故答案为：． 30．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 题型十一 分式方程的实际应用（共3小题） 31．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 【答案】(1)A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元 (2)800件 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元，根据题意列出分式方程解方程即可求解； （2）设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设A型学习用品的单价是x元，则B型学习用品的单价是元， 依题意得， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 答：A型学习用品的单价是20元，B型学习用品的单价是30元． （2）解：设购买B型学习用品m件，则购买A型学习用品件， 依题意得：， 解得：． 答：最多购买B型学习用品800件． 32．某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 【答案】(1)原计划每小时播种8万平方米 (2)甲播种机至少要播种20小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题意找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要检验． （1）设原计划每小时播种万平方米，根据题意列出方程解答即可; （2）设甲播种机播种小时，根据题意列出不等式解答即可． 【详解】（1）解：设原计划每小时播种x万平方米， 由题意得： 解得： 经检验是原方程的解， 答：原计划每小时播种8万平方米． （2）解：设甲播种机播种a小时， 则乙播种机播种小时， 根据题意得 解得 答：甲播种机至少要播种20小时． 33．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 【答案】(1)A款无人机模型的单价为1500元，B款无人机模型的单价为900元 (2)有3种购买方案：①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架；②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架；③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，二元一次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，根据用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同，列出方程，解方程即可； （2）设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架，根据购买费用18000元，列出方程，得出答案即可． 【详解】（1）解：设B款无人机模型的单价为x元，则A款无人机模型的单价为元，由题意，得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴ 答：A款无人机模型的单价为1 500元，B款无人机模型的单价为900元． （2）解：设A款无人机模型购买m架，B款无人机模型购买n架．由题意得： ， 整理得：， ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案： ①A款无人机模型购买9架，B款无人机模型购买5架； ②A款无人机模型购买6架，B款无人机模型购买10架； ③A款无人机模型购买3架，B款无人机模型购买15架． 题型十二 命题与证明（共3小题） 34．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．全等三角形对应角相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．若，，是的三边，，则 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点． 首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断即可． 【详解】解：A.该选项逆命题为：对应角相等的三角形全等．不成立，不能够判定出三角形全等，缺少边相等的条件，故该选项不符合题意； B. 该选项逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是直角．不成立，两个角相等度数可以任意取，故该选项不符合题意； C. 该选项逆命题为：若，，是的三边，如果，那么．成立，该逆命题是勾股定理的逆定理，该选项符合题意； D. 该选项逆命题为：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等．不成立，如两个互为相反数的数平方相等，但这两个数不相等，故不成立； 故选：C． 35．把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 【答案】如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法． 一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果后面是条件，那么后面是结论． 【详解】因为“等边三角形三个内角都相等”的逆命题为：三个内角都相等的三角形是等边三角形，则可写成如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 故答案为：如果一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是等边三角形． 36．（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 【答案】（1）见详解（2）见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互逆命题，命题的真假，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合同位角相等，两直线平行，得，再由，得，故，所以，即可作答． （2）分析（1）的解题过程，得两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结合（1）的过程，得同位角相等，两直线平行以及两直线平行，同位角相等， 即两个互逆的真命题：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 题型十三 全等三角形的性质（共3小题） 37．如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查等边对等角、三角形全等的性质，根据性质得到是解题的关键． 由，得到，进而得到，即可求解． 【详解】，， 又， ， ． 故选：A． 38．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形． 【答案】/ 【分析】本题考查了偏等积三角形和全等三角形的概念，正确掌握偏等积三角形的概念是解决本题的关键． 分别计算出与面积，再由偏等积三角形的概念可得，由此可解． 【详解】解：设点B到的距离为h， 则， ∵与是偏等积三角形． ∴， ∴， ∵，且为上一点， ∴， 又∵，， 即， ∴与不全等， ∴当时，与是偏等积三角形． 故答案为： ． 39．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 【答案】(1)见解析 (2)当时，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和平行线的判定等应用，关键是通过三角形全等得出正确的结论，通过做此题培养了学生分析问题的能力，题型较好． （1）根据全等三角形的性质求出，，代入求出即可； （2）结合，则，根据全等三角形的性质求出，推出，根据平行线的判定求出即可． 【详解】（1）证明：， ，， ， 即； （2）解：当时，，理由如下： ∵， ∴， ， ，， 则， ∴， ∴， 则， ∴． 题型十四 全等三角形的判定（共3小题） 40．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后问题可求证． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴． 41．如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 先由于D，于E，得到，再利用AAS证即可． 【详解】证明：∵于D，于E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 42．如图，已知，，，点在上，点在延长线上． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用直接证明； （2）先判断由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数，再说明与垂直． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴（）． （2）． 理由： ∵， ∴由绕点C顺时针旋转得到，旋转角度为的度数， ∴与为对应边， ∴与也旋转了的度数， 又 ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和SAS综合（SAS），全等三角形的性质，判断由一个图形旋转而成的图形，根据旋转的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 题型十五 灵活选用判定方法证明三角形（共3小题） 43．如图，甲、乙、丙中的三角形与全等的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：甲中50度角的对边与中50度角的对边不相等，故两个三角形不全等； 利用可以得到乙中的三角形和两个三角形全等，符合题意； 两组对应边的夹角不相等，故丙中的三角形和不是全等三角形，不符合题意； 故选B． 44．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了三角形全等的四个判定定理所需要的条件. 根据三角形全等的判定定理进行判断. 【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法； 第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行； 第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去； 第四块，仅保留了原三角形的部分边，故该块不行； 故答案为③． 45．如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①∵， ∴，符合题意； ②∵ ∴，符合题意； ③， ∴，符合题意； ④，满足边边角，无法证得． 故答案为：①②③ 题型十六 全等三角形的模型问题（共3小题） 46．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 47．【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即），将边绕点C逆时针旋转得到（即）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 【答案】（1）证明见解析   （2）证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识﹒ （1）根据“”证明，得到，即可证明； （2）过点E作，交的延长线于点G﹒先证明，再根据“”证明，进而证明，再根据“”证明，即可证明即点F是的中点． 【详解】证明：（1）∵，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）过点E作，交的延长线于点G，如图2， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即点F是的中点． 48．直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）． (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． （1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到； （2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到． 【详解】（1）解： ；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论还成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十七 三角形的尺规作图（共3小题） 49．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键．由作图过程可得，，，，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：由作图可知，，，， ∴（三边分别相等的两个三角形全等） 故选：A． 50．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 51．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 【答案】(1)见解析 (2)② 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定．熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据题意作图步骤进行作图即可； （2）根据作图痕迹，利用即可证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形； （2）解：根据作图可知：，，， ∴， 即判定的依据是②， 故答案为：②． 题型十八 算术平方根的非负性（共3小题） 52．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了算术平方根的非负性和代数式求值，正确求出的值是解题的关键． 先根据算术平方根的非负性得到，求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 53．已知，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 根据完全平方公式变形，然后根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， 即， ， ∴，， ， ， 故答案为：9． 54．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质、平方根，熟记绝对值、算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值、算术平方根的非负性列出二元一次方程组，解方程组求出x、y； （2）把x、y的值代入，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴由题意得：， 解得：； （2）解：当时，， ∵2的平方根是， ∴的平方根是． 题型十九 估计算数平方根的取值范围（共3小题） 55．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了算数平方根的估算， 根据圆的面积公式求出，即可得出答案 【详解】解：设圆的半径是r， 根据题意得， 解得. ∵， ∴r在之间. 故选：C 56．写出一个小于的正整数是 ． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据无理数的估算可进行求解． 【详解】解：∵， ∴比小的正整数可以为1或2； 故答案为1． 【点睛】本题主要考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． 57．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 【答案】1 【分析】根据正方形的边长，进行估算，可得结论． 【详解】解：拼剪后的正方形的面积， ∴， ∵，即 ∴， ∴的整数部分是1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查图形的拼剪，正方形的性质及无理数的估算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型二十 算术平方根的实际应用（共3小题） 58．物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根的应用，把h的值代入中即可求解． 【详解】解：把代入，得， 故答案为：2． 59．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？ 【答案】这块大台布能盖住现在的新桌子 【分析】本题考查了算术平方根的应用； 先求出大台布的面积，再根据算术平方根的意义求出大台布的边长，然后可得答案． 【详解】解：根据题意得：大台布的面积为（平方米）， 所以大台布的边长为米． 因为， 所以这块大台布能盖住现在的新桌子． 60．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； （2）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 【答案】（1）；（2）不能，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，利用平方根解方程，实数的大小比较，正确理解题意是解题的关键． （1）根据两个小正方形的面积和等于大正方形的面积，即可求出大正方形的边长； （2）先求得正方形的边长，设长方形纸片的长为，宽为，列方程后解得x的值，再与正方形的边长比较即可． 【详解】解：（1）由题意得，大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， 故答案为：； 解：（2）不能，理由如下： ∵正方形的面积为， ∴其边长为， 设长方形纸片的长为，宽为， 则， 解得：（舍负） 那么， 故不能裁出． 题型二十一 求平方根（共3小题） 61．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了求一个数的平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键． （1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据平方根的定义求解即可； （3）根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根是． （2）解：， 的平方根是． （3）解：， 的平方根是． 62．已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零，求平方根；由非负数的性质求得，，的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 63．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． （1）根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定； （2）将的值代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ； （2）解：∵，， ， ∴的平方根为． 题型二十二 利用平方根解方程（共3小题） 64．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了利用平方根求一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的步骤和平方根的运算法则． （1）利用平方根求一元二次方程的解即可； （2）利用平方根求一元二次方程的解即可． 【详解】（1）解： 移项，得． ， 即或， 或； （2）解： 移项，得． 两边同除以，得． ， 即或， 或． 65．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：． 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查解无理方程，熟练掌握平方法解无理方程是解题的关键： （1）把代入方程，进行求解即可； （2）仿照题干，解方程即可； （3）根据题意，列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴； （2）解：， 两边平方，得：， 解得：； 经检验：是原方程的解； 是原方程的增根，舍去； ∴原方程的解为：； （3）解：不能． ， 原方程变形得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 66．利用平方根求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键． （1）方程直接开平方即可求出解； （2）方程变形后，把看作一个整体，利用平方根定义开方即可求出解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ， ， 解得：或． 题型二十三 求立方根（共3小题） 67．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 68．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】按照小明的计算方法解答即可． 本题考查了立方根的估算，熟练掌握估算方法是解题的关键． 【详解】解：为整数，根据题意，得 ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由185193的个位上的数是3，因为，能确定的个位上的数是7； ③如果划去185193后面的三位193得到数185，而，由此能确定的十位上的数是5． 故， 由， 故选：A． 69．解方程 (1) (2) 【答案】(1) 或 ， (2) 【分析】本题主要考查了利用立方根及平方根解方程，解题的关键是熟记开立方及开平方的定义． （1）先移项，再在方程两边同除以9，再开平方，求出解即可； （2）方程变形后，利用立方根定义开立方即可求出解． 【详解】（1）解： ， 解得： 或 ， （2） 题型二十四 无理数（共3小题） 70．比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查无理数的大小比较，利用即可判断． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 71．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 由题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ∵，，， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：D． 72．（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】本题考查了估算无理数的大小及实数与数轴，熟练掌握估算无理数的方法以及会根据数轴判定实数的大小是解题的关键． （1）根据数轴上a的位置，判断出a，b，c的取值范围，然后代入所求的式子中进行化简； （2）先估算出与的大小，从而得到a、b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：（1）由数轴知，， ∴ ； （2）∵，， ∴，， ∴． 题型二十五 实数的分类（共3小题） 73．在，，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“0”）中，无理数共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了实数的分类和无理数的定义，算术平方根，掌握以上知识是解答本题的关键． 无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，根据以上知识进行作答，即可求解． 【详解】解：是无限不循环小数，因此是无理数； 是分数，因此是有理数； 是分数，因此是有理数； 是整数，因此是有理数； 是无理数，； ，是整数，因此是有理数； （每两个“2”之间依次多一个“0”）：小数无限且不循环，因此是无理数； 综上所述，无理数共有三个， 故选：C； 74．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了无理数的概念，二次根式的化简，掌握无理数是指无限不循环小数是解题的关键．根据无理数定义逐一判断即得． 【详解】解：①是有理数； ②是有理数； ③是无理数； ④是无理数； ⑤是有理数； ⑥是有理数； ⑦是有理数． 故答案为：③④． 75．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 【答案】⑥⑨；①④；①④⑤⑥⑨；②③⑦⑧⑩ 【分析】本题重点考查​实数的分类与定义​，​准确理解并区分整数、负分数、有理数和正无理数的概念，特别是对需要化简的表达式（如带根号或绝对值的式子）进行正确运算是解题的关键​． 根据整数，负分数，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】整数有：⑥⑨； 负分数有：①④； 有理数有：①④⑤⑥⑨； 正无理数有：②③⑦⑧⑩． 题型二十六 实数与数轴（共3小题） 76．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，用到的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．首先根据数轴上1，的对应点分别是点A和点B，可以求出线段AB的长度，然后根据中点的性质即可解答． 【详解】解：∵数轴上1，的对应点分别是点A和点B， ∴， ∵是线段的中点， ∴， ∴点C表示的数为：． 故选：C． 77．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式． 先根据线段中点的定义，求出，设点表示的数为，再根据两点间的距离，列出关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：是线段的中点，， ， 设点表示的数是， ， ， 或（不合题意舍去）， 点表示的数是：， 故答案为：． 78．先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 【答案】(1)2，4 (2)C (3)6 【分析】本题主要考查了算术平均数的定义以及估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小是解题的关键． （1）根据给出的方法逐步进行求解即可； （2）确定点在3和之间，然后根据给出的方法求出取值范围即可； （3）根据给出的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是2； ， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4； 故答案为：2，4； （2）解：， ， 假设点表示的数为， 则， 即， 故选：C； （3）解：， ， ， ∵， ∴与最接近的整数是4， 与最接近的整数是6， 故答案为：6． 题型二十七 近似数（共3小题） 79．把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法与有效数字，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：A． 80．下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 81．用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到百分位，只需要对千分位上的数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：精确到百分位的结果为， 故答案为：． 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的乘除法，整式的定义，根据每个选项中所给的条件计算，再根据结果判断即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，结果是整式，故选项符合题意； B、，结果不是整式，故选项不符合题意； C、，结果不是整式，故选项不符合题意； D、，结果不是整式，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程的解为负数得到，则，再由，得到，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵关于x的方程的解是负数， ∴， ∴， ∵， ∴， 综上，， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是分式的混合运算． （1）根据分式的乘法法则计算； （2）根据分式的除法法则计算； （3）根据分式的加减法法则计算； （4）先算分式的除法，再算减法即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 【答案】乙、丁同学在接力中出错，正确答案为 【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握分式的乘除法法则、分式的约分法则是解题的关键． 根据分式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：乙、丁同学在接力中出错． 正确的过程： ． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理，延长交于，由全等三角形的性质可得，，，，再由三角形内角和定理得出，即，即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴，，，，故选项A、C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，故选项B正确，不符合题意； 和不一定相等，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 【答案】A 【分析】本题尺规作图的步骤以及全等三角形的判定定理，熟悉掌握尺规作图原理是解决本题的关键． 根据作图痕迹可得，先在射线上截取，再分别以B，C为顶点，在线段的两端，利用作一个角等于已知角的方法，作，从而可得出所要求的三角形， 【详解】A、根据作图知，，，，这里，，及夹边来作，所以依据为，故选项正确，符合题意； B、弧是以点B为圆心，长为半径画的，故选项错误，不符合题意； C、弧是以B为圆心，为半径画的，故选项错误，不符合题意； D、弧是以长为半径画的，故选项错误，不符合题意． 故选：A． 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等形．也考查了正方形的性质．如图，根据题意得，，，，先判断为等腰直角三角形得到，再证明，得到，则，从而求出的度数． 【详解】解：如图， 根据题意得，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何关系，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先说明，再根据“边角边”可得答案； （2）根据全等三角形的性质得，再说明,可得答案. 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即. 在和中， ， ∴； （2）答：，且. 证明：∵， ∴. ∵， ∴， ∴， 即. 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，掌握运用判定三角形全等是解题的关键． （1）由得出，再根据可知，即，再运用定理可得出，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）根据（1）中可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，立方根，无理数的大小估算，实数的大小比较，解题的关键是算出a，b，c的值． 先根据平方根，立方根的概念得出，再根据无理数的大小估算得出，进而即可比较． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 即， ， 故选：C． 12．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 【答案】 3 0 【分析】此题考查了无理数的估算和实数的混合运算．根据无理数的估算得到的整数部分，小数部分，代入求值即可． 【详解】解：∵， ， 的整数部分，小数部分， ， 故答案为：， 13．（24-25七年级下·河北沧州·期中）观察：，即的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，填空：___________，___________； (2)已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 【答案】(1)5；1 (2) 【分析】此题考查了估算无理数的大小，不等式的性质，解决本题的关键是根据无理数的整数部分确定小数部分． （1）根据题目中所给规律即可得结果； （2）分别求出，再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5；1； （2）解：∵， ∴的整数部分为， ∴小数部分为， ∴． 14．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读材料，解答问题： 材料：， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的小数部分； (2)求的平方根． 【答案】(1)小数部分 (2) 【分析】本题考查了无理数的估算、立方根、算术平方根、平方根，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解此题的关键． （1）先估算出的范围，得出的整数部分，即可得到小数部分； （2）先根据立方根、算术平方根的定义、无理数的估算求出的值，从而求出的值，再根据平方根的定义得出答案． 【详解】（1）解：， ， ∴整数部分为3 ，小数部分； （2）解：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ，，， ，，， ， 的平方根为：． 15．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，有一张长宽比为的长方形纸片ABCD，而积为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由． 【答案】(1)24cm，16cm ． (2)她能裁出符合要求的长方形，理由见详解 【分析】（1）设长方形的长为cm，宽为cm，再利用长方形的面积公式，列出方程，即可求出结论； （2）设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm，根据新纸片的面积，即可得出关于a的方程，利用平方根得出a的值，然后计算出长宽，即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形的长为cm，宽为cm， 根据题意得： ， 解得：（负值舍去） ∴． 答：长方形纸片的长和宽分别是24cm，16cm ． （2）解：能，理由如下： 设长方形纸片的长为（）cm，则宽为cm， 根据题意得：， 解得：（负值舍去）， ∴ ∴她能裁出符合要求的长方形. 【点睛】本题考查了算术平方根以及长方形的面积，解题的关键是：找准等量关系，正确列出相应的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期中真题百练通关（81题27大易错题型） 题型1 分式的概念 题型15 灵活选用判定方法证明三角形 题型2 分式有无意义问题 题型16 全等三角形的模型问题 题型3 分式的基本性质 题型17 三角形的尺规作图 题型4 约分通分 题型18 算术平方根的非负性 题型5 最简分式、最简公分母 题型19 估计算数平方根的取值范围 题型6 分式的四则混合运算 题型20 算术平方根的实际应用 题型7 分式化简求值 题型21 求平方根 题型8 分式方程的解法 题型22 利用平方根解方程 题型9 根据分式方程解的情况求值 题型23 求立方根 题型10 分式方程的增根、无解问题 题型24 无理数 题型11 分式方程的实际应用 题型25 实数的分类 题型12 命题与证明 题型26 实数与数轴 题型13 全等三角形的性质 题型27 近似数 题型14 全等三角形的判定 题型一 分式的概念（共3小题） 1．观察：①②③④⑤⑥，其中是分式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．根据表格中的信息，请写出一个含的分式： ． … 0 1 2 … 分式的值 … * 无意义 * * … 3．观察下面一列分式：，…，根据你发现的规律写出第8个分式： ． 题型二 分式有无意义问题（共3小题） 4．要使分式有意义，则的取值范围为（   ） A． B． C． D．且 5．若分式的值为零，则的值为 ． 6．若时分式无意义，时，分式的值为零，求分式的值． 题型三 分式的基本性质（共3小题） 7．将分式中的的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．扩大为原来的4倍 C．扩大为原来的8倍 D．不变 8．利用分式的基本性质填空：，空格应填入 ． 9．已知，则分式的值为 ． 题型四 约分通分（共3小题） 10．代数式化简的结果是 ． 11．约分： (1)； (2)． 12．（1）约分：； （2）通分：与． 题型五 最简分式、最简公分母（共3小题） 13．以下分式是最简分式的是（  ） A． B． C． D． 14．分式的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 15．分式，，的最简公分母是 ． 题型六 分式的四则混合运算（共3小题） 16．化简：． 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2)； (3)． 题型七 分式化简求值（共3小题） 19．先化简，再求值：，其中． 20．先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 21．先化简，然后选择一个合适的m值代入求值． 题型八 分式方程的解法（共3小题） 22．解方程：． 23．解下列分式方程 (1) (2) 24．解分式方程： (1)； (2)． 题型九 根据分式方程解的情况求值（共3小题） 25．若关于的分式方程的解为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 26．若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是 ． 27．已知关于x的分式方程． (1)当时，求该分式方程的解； (2)若该分式方程的解为正数，求m的取值范围． 题型十 分式方程的增根、无解问题（共3小题） 28．若关于的分式方程有增根，则增根是（   ） A． B． C． D． 29．若分式方程无解，则的值为 ． 30．关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 题型十一 分式方程的实际应用（共3小题） 31．为支援贫困山区，某学校爱心活动小组准备用筹集的资金购买A、B两种型号的学习用品．已知B型学习用品的单价比A型学习用品的单价多10元，用180元购买B型学习用品与用120元购买A型学习用品的件数相同． (1)求A，B两种学习用品的单价各是多少元； (2)若购买A、B两种学习用品共1000件，且总费用不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？ 32．某农场要在面积为400万平方米的土地上播种玉米，为了尽量减少种植的时间，实际播种时，若每小时比原计划多播种，就可以提前10小时完成播种任务． (1)求原计划每小时播种多少万平方米？ (2)若有甲、乙两台播种机参与播种，其中甲播种机每小时可播种12万平方米，乙播种机每小时可播种8万平方米，若安排甲播种机先播种一段时间后离开，再由乙播种机完成播种任务，在保证至少提前10小时完成播种任务的前提下，甲播种机至少要播种多少小时？ 33．2024年11月12日第15届中国国际航空航天博览会在珠海开幕．这激发了航模小组对新款无人机模型的极大兴趣和购买欲望，于是他们去模型商店了解后知道：一架A款无人机模型的价格比一架B款无人机模型的价格贵600元，用9000元购买A款无人机模型的数量与用5400元购买B款无人机模型的数量相同． (1)求A款无人机模型和B款无人机模型的单价． (2)航模小组计划用18000元购买无人机模型，要求A，B两款模型都要购买且钱刚好用完，请求出所有的购买方案． 题型十二 命题与证明（共3小题） 34．下列命题的逆命题成立的是（    ） A．全等三角形对应角相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．若，，是的三边，，则 D．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 35．把命题“等边三角形三个内角都相等”的逆命题写成“如果…那么…”的形式为 ． 36．（1）已知：如图，直线被直线所截，．求证：． （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题？ 题型十三 全等三角形的性质（共3小题） 37．如图，，且D，C，E三点共线，若，则（    ）． A． B． C． D． 38．我们把两个面积相等但不全等的三角形叫作偏等积三角形，如图，在中，，，，为上一点，当 时，与是偏等积三角形． 39．如图，A，D，E三点在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)当满足什么条件时，？并说明理由 题型十四 全等三角形的判定（共3小题） 40．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，，求证：． 41．如图，于D，于E，与相交于点O．求证：． 42．如图，已知，，，点在上，点在延长线上． (1)求证：； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 题型十五 灵活选用判定方法证明三角形（共3小题） 43．如图，甲、乙、丙中的三角形与全等的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 44．一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，若只能带一块去店里买形状、大小与原来一样的玻璃，则应带的玻璃编号是 ． 45．如图，给出下列四组条件： ①；②；③；④．其中能使的条件是 ． 题型十六 全等三角形的模型问题（共3小题） 46．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 47．【问题初探】（1）如图1，点B在线段上，于点A，于点C，，且．求证：； 【问题改编】（2）如图2，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到（即），将边绕点C逆时针旋转得到（即）．连接，延长交于点F．求证：点F是的中点． 48．直线m上有3个点D，A，E，在直线上方有，且． (1)如图1，当时，猜想，，之间的数量关系是______（直接写出结论）． (2)如图2，当时，问题（1）中的结论还成立吗？若成立，给出证明过程；若不成立，说明理由． 题型十七 三角形的尺规作图（共3小题） 49．下面是“作一个，使得”的尺规作图方法， （1）作一条线段； （2）以为圆心，AC长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）连接，， 则． 上述判定的依据是（   ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 50．如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 51．小明先画出了，再利用尺规作图画出了，使 (1)请依据如下步骤作图（不写作法，保留作图痕迹，标上相应字母）： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②以点M为圆心，以长为半径画弧，与①中的弧交于点P（不与点N重合），作射线； ③以点B为圆心，以长为半径画弧，与边交于点D； ④以点B为圆心，以长为半径画弧，与射线交于点E，连接． (2)在小明的作图中，判定的依据是_______（填写正确结论的序号）． ①，②，③，④． 题型十八 算术平方根的非负性（共3小题） 52．已知，那么（    ） A． B．1 C．2 D． 53．已知，则 ． 54．已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 题型十九 估计算数平方根的取值范围（共3小题） 55．《清秘藏》是明代所著工艺美术鉴赏著作，其中所述的刺绣在中国经过长时间的发展，已经形成了极高的工艺水平和独特的工艺门类．现有一张圆形绣布，面积为51（注：取3），下列关于这张绣布半径的说法正确的是（   ） A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 56．写出一个小于的正整数是 ． 57．如图，面积分别为5和10的两个长方形，通过剪、拼后恰好组成一个正方形，并且正方形的边长为a，则的整数部分为 ． 题型二十 算术平方根的实际应用（共3小题） 58．物理研究表明：一个物体作自由落体运动，其下落时间与下落高度之间满足的关系式为，若，则下落时间 s． 59．小明家买了一张边长是米的正方形新桌子，原有边长是1米的两块正方形台布都不适用了，丢掉又太可惜了，小明的姥姥按如图所示的方法，将两块台布裁剪拼成一块正方形大台布，这块大台布能盖住现在的新桌子吗？ 60．（1）如图1，分别把两个边长为的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个大正方形，则大正方形的边长为____； （2）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？ 题型二十一 求平方根（共3小题） 61．求下列各数的平方根： (1)121； (2)； (3)． 62．已知，则的平方根为 ． 63．已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型二十二 利用平方根解方程（共3小题） 64．求下列各式中x的值． (1)； (2)． 65．阅读理解：转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．利用转化思想，我们可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：． 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． ∴原方程的根是． 解决问题： (1)已知关于x的方程有一个根是，那么a的值为 ； (2)仿照以上方法，解方程：； (3)代数式的值能否等于8？若能，求出x的值；若不能，请说明理由． 66．利用平方根求下列各式的值： (1)； (2)． 题型二十三 求立方根（共3小题） 67．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 68．课堂上老师提出一个问题：“一个数是74088，它的立方根是多少？”小明脱口而出：“42”．老师十分惊奇，忙问计算的奥妙．小明给出以下方法： ①由103＝1000，1003＝1000000，能确定是两位数； ②由74088的个位上的数是8，因为，能确定的个位上的数是2； ③如果划去74088后面的三位088得到数74，而，由此能确定的十位上的数是4． （提示：） 已知为整数，请利用以上方法，则的每位数上的数字之和为（   ） A．12 B．13 C．14 D．15 69．解方程 (1) (2) 题型二十四 无理数（共3小题） 70．比较的大小，正确的是（    ） A． B． C． D． 71．将一把损坏的直尺按如图方式放置在单位长度为1的数轴上，直尺上“”和“” 刻度线分别对应数轴上的和0，那么数轴上x的值可以是（    ） A． B． C．2 D． 72．（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式． （2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值． 题型二十五 实数的分类（共3小题） 73．在，，，，，，（每两个“2”之间依次多一个“0”）中，无理数共有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 74．下列各数：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦，是无理数的是 （填序号） 75．在① ② ③④ ⑤3.14 ⑥0 ⑦⑧ ⑨⑩ 0.121221222（两个1之间依次多一个2）中，请按下列要求填序号： 整数有____________； 负分数有____________； 有理数有____________； 正无理数有____________． 题型二十六 实数与数轴（共3小题） 76．数轴上表示，的点分别为，，点是的中点，则点所表示的数是(　　) A． B． C． D． 77．如图，点在数轴上，点D表示的数是1，C是线段的中点，线段，则点A表示的数是 ． 78．先阅读，再理解： 数学课上，老师讲解如何确定无理数最接近的整数时，按下面方法解决问题： ①确定的值在哪两个相邻整数之间：； ②求这两个整数的平均数：； ③对平均数的值进行平方，即，因为，所以与最接近的整数是3． 请回答下列问题： (1)与最接近的整数是___________；与最接近的整数是___________； (2)如图，数轴上点表示的数可能为___________； A．    B．    C．    D． (3)与最接近的整数是___________． 题型二十七 近似数（共3小题） 79．把1598000精确到万位，其结果正确的是（   ） A． B． C． D． 80．下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 81．用四舍五入法把精确到百分位，所得到的近似数是 ． 1．（24-25八年级上·河北沧州·期中）若运算的结果是整式，则“”内的式子可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）关于x的方程的解是负数，则k的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）分式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（23-24八年级下·河北张家口·期中）老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是每人只能看到前一人给的式子，并进一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简，过程如图所示： 但老师最后说，结果是错的，请你确定接力中出错的同学，并写出正确的过程． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，，则下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图1所示，已知线段，，求作，使，，小明的作法如图2所示，下列说法中一定正确的是（   ） A．作的依据为 B．弧是以长为半径画的 C．弧是以A为圆心，为半径画的 D．弧是以长为半径画的 7．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如下图是由6个边长相等的正方形组合成的图形， ． 8．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，在、中，，，，点、、三点在同一直线上，连接. (1)求证：； (2)请判断、有何关系，并证明. 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 10．（24-25八年级上·河北廊坊·期中）已知，如图，中，，，l是过A的一条直线，于E，于D．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知，且，，则a，b，c的大小关系为（　　） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）若为整数，且，则 ，m是的小数部分，则 ． 13．（24-25七年级下·河北沧州·期中）观察：，即的整数部分为2，小数部分为，请你观察上述式子后解决下面问题． (1)规定用符号表示实数的整数部分，例如：，填空：___________，___________； (2)已知是的整数部分，是它的小数部分，求的值． 14．（24-25八年级上·河北沧州·期中）阅读材料，解答问题： 材料：， ∴，即， ∴的整数部分是2，小数部分为． 问题：已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求的小数部分； (2)求的平方根． 15．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，有一张长宽比为的长方形纸片ABCD，而积为． (1)求长方形纸片的长和宽； (2)小丽想沿这张长方形纸片边的方向裁剪一块长宽比为的新长方形，使其面积为，请问她能裁出符合要求的长方形吗？试说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $