专题02 期中真题百练通关64题16大压轴题型（期中专项训练）八年级数学上学期新教材冀教版

专题02 期中真题百练通关（64题16大压轴题型） 题型1 分式的求值问题 题型9 倍长中线问题 题型2 分式的求整问题 题型10 一线三等角问题 题型3 分式的新定义问题（含最值） 题型11 半角模型 题型4 分式的化简求值 题型12 旋转模型 题型5 根据分式方程解的情况求值（增根、无解） 题型13 全等三角形综合 题型6 分式方程的实际应用 题型14 算术平方根、立方根规律探究 题型7 全等三角形的存在性问题 题型15 无理数整数部分的有关计算 题型8 全等三角形的判定与综合 题型16 实数的新定义运算 题型一 分式的求值问题（共4小题） 1．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5 2．若，则（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知 ，且，则的值为 ． 4．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 题型二 分式的求整问题（共4小题） 5．已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，为第一次操作，记为对a₁的分母与分子分别加1，为第二次操作，记为，……第k次操作后为，则下列说法：①第五次操作后为；②若第十次操作后得到的分式可以化为整数，则正整数m的值共有4个；③若，则满足这个条件的正整数k、m有无数对．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知两个多项式，（为实数），以下结论中正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则关于的方程无实数根； ④若为整数，且的值为整数，则的取值个数为5． A．4 B．3 C．2 D．1 7．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 8．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 题型三 分式的新定义问题（含最值）（共4小题） 9．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 11．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 12．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 题型四 分式的化简求值（共4小题） 13．设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 14．已知，，则的值为 ． 15．已知，则的值为 ． 16．实数，满足，则分式的值是 ． 题型五 根据分式方程解的情况求值（增根、无解）（共4小题） 17．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 18．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 19．已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为 ． 20．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 题型六 分式方程的实际应用（共4小题） 21．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 23．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 24．某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批      x 16000 第二批     2x   34000 (1)该商场两次共购进这种电子产品多少件？ (2)如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 题型七 全等三角形的存在性问题（共4小题） 25．如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 26．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 27．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 28．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 题型八 全等三角形的判定与综合（共4小题） 29．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 30．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 31．如图，在中，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)如图一，线段三者之间的数量关系是___________ (3)当转动至如图二所示的位置时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 32．【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 题型九 倍长中线问题（共4小题） 33．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 34．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 35．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 36．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 题型十 一线三等角问题（共4小题） 37．如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 38．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 39．是经过顶点的一条直线，，分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且点在射线上，点在点左侧，请解决下面两个问题： ①如图①，若，则______，______；（均选填“＞”“＜”或“＝”） ②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件：______，使①中的两个结论仍然成立，并证明； (2)如图③，若直线不经过的内部，，请直接写出三条线段的数量关系． 40．如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 题型十一 半角模型（共4小题） 41．在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 42．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 43．如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 44．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 题型十二 旋转模型（共4小题） 45．如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 46．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 47．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 48．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 题型十三 全等三角形综合（共4小题） 49．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 50．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 51．如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 52．【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 题型十四 算术平方根、立方根规律探究（共4小题） 53．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 54．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 55．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 56．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 题型十五 无理数整数部分的有关计算（共4小题） 57．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 58．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 59．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 60．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 题型十六 实数的新定义运算（共4小题） 61．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 62．定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， (1)=_______； (2)若，求x的取值范围． 63．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 64．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有 ．（只填写序号） 8．（24-25八年级上·河北·期中）在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 10．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 11．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为 ． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为 ． 12．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 13．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期中真题百练通关（64题16大压轴题型） 题型1 分式的求值问题 题型9 倍长中线问题 题型2 分式的求整问题 题型10 一线三等角问题 题型3 分式的新定义问题（含最值） 题型11 半角模型 题型4 分式的化简求值 题型12 旋转模型 题型5 根据分式方程解的情况求值（增根、无解） 题型13 全等三角形综合 题型6 分式方程的实际应用 题型14 算术平方根、立方根规律探究 题型7 全等三角形的存在性问题 题型15 无理数整数部分的有关计算 题型8 全等三角形的判定与综合 题型16 实数的新定义运算 题型一 分式的求值问题（共4小题） 1．对于正数x，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5 【答案】D 【分析】本题考查分式的加减法，代数式求值，规律型：数字的变化类，根据运算规则可得，据此可推出结果． 【详解】解：根据运算规则可得； ，，则； ，，则； ⋯⋯， ，，则； ∴ ． 故选：D． 2．若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，求代数式的值，掌握分式的性质是解题的关键； 设，分与两种情况考虑，利用分式的知识即可求解． 【详解】解：设， 则， 以上三式相加得：； 当时，则； 此时， 解得：， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上，的值为或； 故选：C． 3．已知 ，且，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了分式的求值，代数式求值，由可得，再整体代入即可，熟练把条件变形再整体代入计算是解本题的关键． 【详解】解：， ， ， ， 则原式， ， ， 原式， 故答案为：1． 4．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即． 所以． 故的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知：，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，本题属于基础题型．根据“倒数法”的解题思路即可求出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 题型二 分式的求整问题（共4小题） 5．已知一个分式（m为正整数），对该分式的分母与分子分别加1，为第一次操作，记为对a₁的分母与分子分别加1，为第二次操作，记为，……第k次操作后为，则下列说法：①第五次操作后为；②若第十次操作后得到的分式可以化为整数，则正整数m的值共有4个；③若，则满足这个条件的正整数k、m有无数对．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简．①按照定义代入即可，②根据定义得出第三次操作后的分式，再根据②的化简方式得出是整数，即可得出答案．③根据定义，结合已知条件得出，从而表示出k的值，因为k，m都是整数，所以得出m是19得倍数，所以有无数个． 【详解】解：根据定义可得：，故①正确； ， ∵第十次操作后得到的分式可以化为整数， ∴是整数， ∵m为正整数， ∴可以取19，，，， ∴可以取9，28，47，104．四个正整数，故②正确； ∵， ∴，即：， ∴， ∵，都是整数， ∴是19的倍数， 即是19的倍数， ∴m的值可以是19，38，57，…无数个，故③正确． 综上，正确的有①②③，共3个， 故选：D． 6．已知两个多项式，（为实数），以下结论中正确的个数是（    ） ①若，则； ②若，则； ③若，则关于的方程无实数根； ④若为整数，且的值为整数，则的取值个数为5． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】①直接列方程求解即可；②列绝对值方程即可直接求解，③由，可得或，再验证这两个方程是否有实数根；④列代数式，再化简，直接代数验证即可． 【详解】解：①∵， ∴， 解得：， ∴①不正确； ②∵， ∴， ∴， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，恒成立， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， ∴②正确； ③∵， ∴， ∴或， 当时，，该方程无实数根， 当时，，该方程无实数根， ∴若，关于的方程无实数根， ∴③正确； ④∵ ， ∵为整数，且值为整数， ∴，，， 又∵ ∴的取值个数为个， ∴④不正确． 正确的个数是2 故选：C． 7．分式的值为整数，则所有符合条件的整数x的值为 ． 【答案】或0或2或8 【分析】本题考查了分式的值，原式变形为，根据题意可得是7的因数，则或，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 要使分式的值是整数，则是7的因数， ∴或， ∴或0或2或8， 故答案为：或0或2或8． 8．我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形，转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： ，． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： ； （2）若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】 2或6 【分析】此题考查了分式的加减及求分式的值等知识，理解题意并熟练掌握分式的基本性质及运算法则是解本题的关键． （1）根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式； （2）首先根据材料中分式转化变形的方法，即可把变形为满足要求的形式，然后根据整数概念求解即可； 【详解】解：（1）由题意可得， ， 故答案为：； （2）由题意可得， ， ∵为正整数，且也为正整数， ∴或5， ∴或6， 故答案为：2或6； 题型三 分式的新定义问题（含最值）（共4小题） 9．阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立，，，． 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： (1)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式； (2)如果的值为整数，求的整数值； (3)当时，试求的最小值． 【答案】(1)分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 (2) (3)8 【分析】本题考查了分式的拆分运算、平方数的非负性、不等式的运算等知识点，读懂材料，掌握分式的运算法则是解题关键． （1）参照例题材料，设−，然后求出a、b的值，从而即可得出答案； （2）由，结合它为整数得到为整数，因此，，求解即可； （3）由得到，进而，，即可解答． 【详解】（1）解：由分母为，可设 则 对应任意，上述等式均成立， ， ，． ， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． （2）解：， ∵的值为整数， ∴为整数， ∵x为整数， ∴，， ∴ （3）解：由（1）得， 当时，， ∴，， ∴， 即， ∴的最小值为8． 10．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝，＝． (3)和谐分式的最大值为． (4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③ (2)； (3)3 (4)2或8 【分析】本题考查了分式的化简、分式有意义的条件及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“和谐分式”的定义． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，结合“和谐分式”的定义进行化简求解； （3）先对变形，配凑出，依据得范围，进而确定范围，求出最大值． （4）把变形为，因值为整数，故是的因数，据此找正整数． 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）． 故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为， 则，， 所以， 最大值为． （4）解：． 因为值为整数， 所以是的因数， 或（正整数）， 解得或． 11．阅读材料，并解决问题： 我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式． 如：． 再如：． 解决问题： (1)分式是 ；（填“真分式”或“假分式”） (2)将分式化成带分式； (3)当a为何值时，分式有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)假分式 (2) (3)时，最大值为7 【分析】本题考查了分式的定义和化简，做题的关键是把分子中高于或等于分母次数的项通过凑项与分母化简． （1）根据题意判断，即可求解； （2）把原式变形为，约分即可得到答案； （3）由（2）可得：，求出分母的最小值即可得原分式的最大值． 【详解】（1）解：分子，分母的次数相等，则是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： （3）由（2）可得：， ∵， ∴， ∴当时，最大， ∴当时，有最大值，最大值为：． 12．定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如，，则是“和谐分式”． (1)下列分式：①；②；③；④，其中，属于“和谐分式”的是 ．（填序号） (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． (3)先化简，结果是“和谐分式”吗？并求当x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④ (2) (3)结果是“和谐分式”, 当时，该式的值为整数． 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握“和谐分式”的定义是解题的关键． （1）根据“和谐分式”的定义解答即可； （2）根据“和谐分式”的定义把分式化简即可； （3）根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据分式为整数求出x的值即可． 【详解】（1）解：①，故是“和谐分式”； ②不符合和谐分式定义，故不是“和谐分式”； ③，故是“和谐分式”； ④，故是“和谐分式”； 属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ； （3）解： ∵该式的值为整数， ∴，， 解得或或1或， 又，1，，， ∴， 即当时，该式的值为整数． 题型四 分式的化简求值（共4小题） 13．设a，b，c满足，，则的值为（   ） A．0 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】本题考查分式的求值，根据，得到，，，整体代入法进行求值即可． 【详解】解：由，得，，． ∴原式． ∵， ∴原式； 故选B． 14．已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是分式的求值，考查对换元法的理解和运用，掌握完全平方公式的应用是解本题的关键．设，，．可得，，再利用完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：设，，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 故答案为：1． 15．已知，则的值为 ． 【答案】13 【分析】根据已知条件易得，，，从而可得，然后利用完全平方公式可得，最后将所求的式子进行变形计算，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟练掌握完全平方公式，利用整体思想进行求值是解题的关键． 16．实数，满足，则分式的值是 ． 【答案】 【分析】先把已知等式的两边去括号，移项变形，化成 ，利用非负性得到，代入分式即可求值． 【详解】解：， ． ． ，． ，． 原式 ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是把已知的等式变性后利用非负性质求得，． 题型五 根据分式方程解的情况求值（增根、无解）（共4小题） 17．关于x的方程  去分母转化为整式方程后产生增根，则m的值是（   ） A． B．4 C．或 D．或4 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程的解法和增根的定义，根据分式方程的解法，化简成整式方程，再根据增根的定义算出增根代入整式方程，即可求得答案； 【详解】解：， 方程两边同时乘以， ， ， ， 令时，是方程的增根； ∴或 故答案选：C． 18．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 19．已知关于x的方程的解为和，则关于x的方程的解为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的解法，利用换元法求解方程是解题的关键 令代入方程，整理得到，则和是方程的解，由此可求关于x的方程的解． 【详解】解：令， 方程可化为， 整理得， 方程的解为和， 和， 关于x的方程的解为和， 经检验，和是方程的解， 方程的解为和， 故答案为：和 20．已知关于x的分式方程只有一个实数解，求k值． 【答案】或或 【分析】本题主要考查分式方程，将方程两边同时乘以，整理得，当时，当时，分情况讨论即可． 【详解】解：将方程两边同时乘以． 得 整理得① 当时，有 ∴ 将代入① 中，得 ∴．经检验：是分式方程的解； 当时，有 ∴ 若是方程的增根， 则将代入①中 得 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去)． 故原分式方程只有一个实数解． 当是方程的增根， 则将代入①中， 求得． 即时，①可化为 ∴ (是增根，舍去) 故原分式方程只有一个实数解． 综上所述，当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为； 当时，这个实数解为． 题型六 分式方程的实际应用（共4小题） 21．端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多元，用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同． (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种粽子共个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为元/个、元/个，设购进甲种粽子个，两种粽子全部售完时获得的利润为元． ①求与的函数关系式，并求出的取值范围； ②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) ①(是正数）； ②购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润为元． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用， （1）设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元，根据用元购进甲种粽子的个数与用元购进乙种粽子的个数相同列分式方程解答； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元，根据单个利润乘以数量求出函数解析式，由甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍，得到，求出的取值范围； ②根据一次函数的性质解答 【详解】（1）解：设甲粽子每个的进价为，则乙粽子每个的进价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 则， 答：甲粽子每个的进价为元，则乙粽子每个的进价为元； （2）①设购进甲粽子，则乙粽子个，利润为元， 由题意得：， ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的倍， ∴， 解得：， ∴(是正数）， ∴与的函数关系式为(是正数）； ②∵， 则随的增大而减小，即的最小整数为， 当时，最大，最大值， ∴个 ∴答：购进甲粽子个，乙粽子个才能获得最大利润，最大利润为元． 22．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型健身器材的单价比乙型健身器材的单价低300元，用50000元购买甲型健身器材的数量和用56000元购买乙型健身器材的数量相同． (1)求甲、乙两种型号健身器材的单价各是多少元． (2)该健身中心计划购买甲、乙两种型号的健身器材共20台，且甲型健身器材的购买数量不超过乙型健身器材购买数量的3倍，购买甲型健身器材多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1)甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元 (2)购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 【分析】（1）设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元，根据题意，得，解方程即可． （2）根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且，根据题意，得，解答即可． 本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲型健身器材价格为x元，则乙型健身器材的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根． 此时， 答：甲型健身器材价格为2500元，则乙型健身器材的价格为2800元． （2）解：根据题意，甲型健身器材买了个，则购买乙型健身器材数量为个，且即，且a为正整数， 根据题意，得， 由，得随a的增大而减小， 故当时，取得最小值，且最小值为（元）， 故购买甲型健身器材15台，购买乙型健身器材5台时，费用最低，最低费用51500元． 23．某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，相关信息如下表： 单枪充电桩 花费：50000元 单价：x元/个 双枪充电桩 花费：45000元 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据居民需求，小区决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共20个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购小区预备支出不超过25000元，求小区最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个 (2)小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． （1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多20个列出分式方程求解即可； （2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元，再根据此次加购小区预备支出不超过25000元列出不等式求解并取最小整数解即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可列方程， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， （元/个）． 答：单枪新能源充电桩的价格为1000元/个，双枪新能源充电桩的价格为1500元/个． （2）解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，则现在单枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，则现在双枪新能源充电桩的单价为（元/个）， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个，总花费为元． ∵此次加购小区预备支出不超过25000元， ，解得， 的最小值为8， ∴小区最少需要购买单枪新能源充电桩8个． 24．某商场分两批购进同一种电子产品，第二批单价比第一批单价多10元，两批购进的数量和所用资金见下表： 购进数量（件） 所用资金（元） 第一批      x 16000 第二批     2x   34000 (1)该商场两次共购进这种电子产品多少件？ (2)如果这两批电子产品每件售价相同，除产品购买成本外，每天还需其他销售成本60元，第一批产品平均每天销售10件．售完后，因市场变化，第二批电子产品比第一批平均每天少销售2件，商场为了使这两批电子产品全部售完后总利润不低于20%，那么该商场每件电子产品的售价至少应为多少元？ 【答案】(1)商场两次共购进这种电子产品件； (2)该商场每件电子产品的售价至少应为元. 【分析】本题主要考查了分式方程与一元一次不等式的应用，熟练掌握总价、数量、单价的关系以及利润的计算方法是解题的关键． （1）根据第二批单价比第一批单价多10元这一关系，结合总价、数量、单价的关系列出方程，求解出第一批购进数量，进而求出两次共购进的数量． （2）先求出两批销售分别用的天数，从而得到总销售成本，再根据总利润不低于20%这一条件，结合利润的计算关系列出不等式，求解出售价的最小值． 【详解】（1）解：设第一批购进数量为件，则第一批单价为元，第二批单价为元，由题意得 ， 经检验，是原方程的解， ∴（件）， 答：商场两次共购进这种电子产品件； （2）解：第一批销售天数：（天）， 第二批销售天数：（天）， 总销售成本：（元）， 设每件售价为元，由题意可得 , ∴该商场每件电子产品的售价至少应为元. 题型七 全等三角形的存在性问题（共4小题） 25．如图，已知线段米，于点A，米，射线于B，P点从B点向A运动，每秒走1米，Q点从B点向D运动，每秒走3米，P、Q同时从B出发，则出发x秒后，使与全等，则x的值为（    ） A．5 B．5或10 C．10 D．6或10 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的概念和性质，关键是要考虑到分两种全等的情况．分两种全等情况考虑，再根据全等的性质可确定时间． 【详解】解：由题意得，设米，则米，米， （1）当时， 则， 即， 解得：； （2）当时， 则米， 此时所用时间x为10秒， 而米，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，与全等． 答案：A． 26．如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 27．如图，中，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点；于点，设运动时间为秒． ①当点在上时， （用含秒代数式表示）； ②当 秒时，与全等． 【答案】 或或 【分析】①根据题意可得，再由即可求解； ②分三种情况：在上，点在上；点与点重合；点与重合，分别画出图形解答即可； 本题考查了全等三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①由题意得，， 当点在上时，， 故答案为：； ②由题意得，， 如图，在上，点在上时，作，，则，， ∵， ∴， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； ②如图，当点与点重合时，则，， 此时只能是，则， ∴， 解得； ③如图，当点与重合时，则，，， ∴， 此时只能是，则， ∴， 解得； 综上所述，当秒或秒或秒时，与全等， 故答案为：或或． 28．如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点在上，点在上时，可证明，则时，；当点在上，点在上时，当点，重合时，，则；当点在上时，点到终点与点A重合，，分别列出关于的一元一次方程求解； （4）由于当、两点的连线将的周长分成两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点运动到点用时，点运动到点用时，当点分别在上时， 则，或；当点重合，点在上时，则或，再得到关于t的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或． 题型八 全等三角形的判定与综合（共4小题） 29．【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 30．已知，其中． (1)将这两个三角形按图①方式摆放，使点E落在上，的延长线交于点F． 求证：①．②； (2)改变的位置，使交的延长线于点F（如图②），则（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，写出此时与之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)结论不成立，有，理由见解析． 【分析】本题考查了直角三角形全等的性质和判定，除了一般三角形全等的判定方法外，还要掌握直角三角形特殊的全等判定，根据三角形全等将结果中的三条线段转化到一条直线中，得出结论． （1）由得，根据证明得，由代入可得结论； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，根据证明得，再由得出结论． 【详解】（1）①如图①，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． ②∴， ∴； （2）如图②，（1）中的结论不成立，有，理由是： 连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 31．如图，在中，，点O是中点，，将绕点O旋转，的两边分别与射线交于点D、E． (1)当转动至如图一所示的位置时，连接，求证：； (2)如图一，线段三者之间的数量关系是___________ (3)当转动至如图二所示的位置时，线段之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据ASA证明即可； （2）连，则可得到，然后证明得到，则； （3）连接，同理可得，则，然后证明得到，则． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2），理由如下： 如图所示，连， ∵，O为AB的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）． 理由：连接． ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 32．【教材呈现】数学教材中有这样一道习题：“如图，，，，，垂足分别为，，若，，求的长．”请写出此题的解答过程； 【类比探究】如图，点，在的边、上，点，在内部的射线上，、分别是、的外角，已知：，．猜想：线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【小题1】； 【小题2】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是找全等三角形，利用全等三角形对应边相等找边之间的关系． 根据垂直的定义可得：，根据同角的余角相等可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得：，，从而可得； 根据，，，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； 解：， 理由如下， ，，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ． 题型九 倍长中线问题（共4小题） 33．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫作倍长中线法， 【举例】如图，在中，，是中线，延长至点，使，可得．请你说明理由． 【应用】如图，，，，，为中点，求证：． 【答案】举例:见解析；应用：见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（SAS等）是解题的关键． 举例：要说明，根据中线定义得到，再结合已知以及对顶角相等，利用判定全等． 应用：通过倍长中线法，延长到使，先证，得到相关角和边相等，再结合已知条件证明，从而得出． 【详解】解：举例：是中线， ． 在和中， ， ． 应用：延长到，使，连接． 为中点， ． 在和中， ， ． ，． ， ． ，， ． ． 又， ． 在和中， ， ． ． ， ． 34．在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为：_____． （2）如图1，在中，若，，是的中线，则的取值范围是_____． 【问题应用】 （3）如图2，是的中线，点在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （4）如图3，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析；（4）．理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）根据三角形三边关系，列式计算即可得出答案； （3）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （4）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）．理由如下： 延长至G，使，连接，则， ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 35．【问题情境】 （1）如图①，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一个叔叔帮他出了这样一个主意：先在地上取一个可以直接到达点A和点B的点C，连接并延长到点D，使；连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度，如果，求A、B间的距离； 【探索应用】 （2）如图②，在中，，，求边上的中线的取值范围， 提示：解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接得到，把，集中在中，利用三角形的三边关系即可判断中线的取值范围； 【拓展提升】 （3）如图③，在中，，，，，的延长线交于点F，且F是的中点，直接写出与的数量关系． 【答案】（1）A、B间的距离为；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，由全等的性质得出； （2）延长到点，使，连接，证明，可得，再由三角形三边关系即可求解； （3）在上截取，易证，得到，再证明，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，连接， 在和中， ∵， ∴ ∴； ∴A、B间的距离为； （2）延长到点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴； （3）， 理由：在上截取， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型十 一线三等角问题（共4小题） 37．如图甲，已知在中，，，直线经过点，且于，于． (1)证明：． (2)已知条件不变，将直线绕点旋转到图乙的位置时，若，，则________ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由已知推出，因为，推出，根据可证明，根据全等三角形的性质可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （2）与（1）证法类似可证出，能推出得到，再结合已知条件以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：∵于，于． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 38．在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E． (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角． （1）由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 39．是经过顶点的一条直线，，分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且点在射线上，点在点左侧，请解决下面两个问题： ①如图①，若，则______，______；（均选填“＞”“＜”或“＝”） ②如图②，若，请添加一个关于与关系的条件：______，使①中的两个结论仍然成立，并证明； (2)如图③，若直线不经过的内部，，请直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)①=，=；②添加的条件为，理由见解析 (2)．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）①证明即可得到，，故； ②证明和（1）类似，根据即可得到，，故； （2）求出，，根据证，推出，即可． 【详解】（1）解：①在图①中，，   ，，   ，   在和中，   ，   ，，   ，   故答案为，； ②在图②中，添加的条件为，   ，   ，   ，   ，   在和中， ，   ，，   ． 故答案为； （2）．   理由是：如图③中，   ，，   又，，   ，   ，   在和中，   ，   ，，   ，   ． 40．如图1，在中，，，分别过两点作过点A的直线l的垂线，垂足为； (1)如图1，当两点在直线的同侧时，猜想，三条线段有怎样的数量关系？并说明理由． (2)如图（2），将（1）中的条件改为：在中，，三点都在直线m上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． (3)如图3，，，．点P从B点出发沿路径向终点C运动；点Q从C点出发沿路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，各自到达终点时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作于F，于G．问：点P运动多少秒时，与全等？（直接写出答案） 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，理由见解析 (3)当t等于或或时，与全等 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用及分类讨论的思想，解决这类问题要注意类比思想方法的运用． （1）根据，，可得，根据等角的余角相等得，然后再根据可证得，则，，于是； （2）利用，则，，得出，进而得出即可求解； （3）由题意可知，，只需，就可得到与全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （2）成立，理由如下： ， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）设点运动的时间为， 当点在上，点在上，如图1， 则，，，， 与全等， ，即， 解得， 即运动4秒时，与全等； 当点都在上，即点与点重合时，与全等， 此时， 解得， 当点在上，点在上，如图2， 则，， 与全等， ，即, 解得，（不符合题意，舍去）； 当点停在点处，点在 由得， 解得， 综上所述，当t等于或或时，与全等． 题型十一 半角模型（共4小题） 41．在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 42．【问题发现】 （1）如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，试猜想图中与的数量关系． 小王同学解决此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，试探究、、之间的数量关系，并说明理由： 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）；理由： 如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ． ， ， 故答案为：； （2）如图2，延长到点，使，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ； （3），理由如下， 证明：如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， 43．如图，在中，，，D，E是斜边上两点，且，若，，，求与的面积之和． 【答案】21 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点．如答图，作关于AE的对称图形，连接，证明出，得到，，，然后得到． 【详解】解：如答图，作关于AE的对称图形，连接，则， ，， 所以． 由题意，得， 所以． 在和中， 所以， 所以，，， 所以，即是直角三角形， 所以， 所以， 即与的面积之和为21． 44．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 题型十二 旋转模型（共4小题） 45．如图，在和中，，为锐角，，，连接、，与交于点，与交于点． (1)与有怎样的数量关系和位置关系？说明理由． (2)固定不动，将绕着点B顺时针方向旋转，在变化的过程中的长度变化的范围是______． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形三边关系的应用： （1）证明即可； （2）根据的三边关系即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 即， 在和中，， ， ， ， ， ； （2）解：∵（当且仅当共线时取等号）， 即． 故答案为：． 46．已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于，． (1)当绕点旋转到时（如图1），，，之间的数量关系为___________； (2)当在上，在上，但（如图2）时，（1）中结论是否成立？请说明理由． (3)当在延长线上，在延长线上（如图3）时，（1）中结论是否成立？若不成立，线段，，之间又有怎样的数量关系？ 【答案】(1) (2)（1）中结论成立，理由见解析 (3)（1）中结论不成立， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，根据旋转的性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （2）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； （3）将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则，根据题意可得A与点C重合，，从而得到点G，C，F三点共线，可证明，从而得到，即可解答； 【详解】（1）解：如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （2）解：（1）中结论成立，理由如下： 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：（1）中结论不成立， 如图，将绕点B顺时针旋转，点E落在点G处， 则， ∵，，，， ∴A与点C重合，， ∴，， ∴，即点G，C，F三点共线， ∴，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 47．【猜想证明】 （1）在平面内，的直角顶点A放置在直线上，，，分别过B，C两点作直线的垂线，垂足分别为D，E． ①如图所示，旋转，当B，C两点在直线的同侧时．请直接写出______； ②如图，旋转，当B，C两点在直线的异侧时，点在A，E两点之间，猜想，，三条线段之间有怎样的数量关系，并证明你的结论； 【问题解决】 （2）如图，直线于点O，Q为直线上的任意一点．为直线上点右侧的一动点，连接，过点作，且，的长度为2，求的面积． 【答案】（1）①；②，见解析；（2）4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，需熟练掌握角角边的证明方法，由角角边的证明方法证明三角形全等是解决本题的关键． （1）①根据角角边的证明方法即可证明≌； ②根据角角边的证明方法证明与全等，由此得到，即可得证； （2）根据角角边的证明方法证明与全等，由此可得，再由边角边的证明方法证明与全等，由此可得，即可求解三角形的面积． 【详解】（1）①解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴在与中，， ∴≌； 故答案为：； ②解：，理由如下： 直线l，直线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， ； （2）解：分别过、两点作直线的垂线，垂足分别为A、， 直线l，直线， ， ，， 在和中， 由， ， ， 直线， ，即， ， ，即， ， ，， 在和中， 由， ， ， ， ． 即的面积是4． 48．如图1，在中，，，D是上的一点，且，连接，． (1)试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，仍然有，，试判断与的位置关系和数量关系是否发生变化； (3)如图3，若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，且与交于点F，其他条件不变． ①请直接写出与的数量关系； ②你能求出与所成的较小的角的度数吗？如果能，请直接写出该角的度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)没有发生变化 (3)①，②能， 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）延长交于点F，证明，得到，，推出，即可得出结论； （2）证明，得到，，推出，即可得出结论； （3）同法，证明，得到，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：，． 理由：延长交于点F，如图 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． （2）由题意得， ． ． 在和中， ． ，． ， ． ， ． ， ． 与的位置关系和数量关系没有发生变化． （3）①，理由见②． ②能，与所成的较小的角的度数为． 和是等边三角形， ，，，． ． ． 在和中， ． ． ． 即与所成的较小的角的度数为． 题型十三 全等三角形综合（共4小题） 49．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图（1），在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是______．         A．            B．            C．            D． （2）AD的取值范围是______． A．       B．       C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【方法应用】 （3）如图（2），是的中线，点E在的延长线上，，．求证：． 【拓展延伸】 （4）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，则的长为______． 【答案】（1）B （2）C （3）证明见解析 （4）31 【分析】本题考查了用倍长中线构造全等三角形，三角形的三边关系，正确理解题意作辅助线构造全等是解题关键． （1）由中线可得，结合已知条件和对顶角相等即可确定结果． （2）将转化为，利用三角形三边关系可知． （3）利用题目中给的延长中线的方法，构造，再利用已知条件证明即可证出． （4）利用题目中给的延长中线的方法，构造可得，再证明可得，计算长度即可． 【详解】（1）解：D为中点， ， ， ， 证明方法为． 故选：B． （2）解：由（1）得， ， ， ， ． 故选：C． （3）证明：延长至点M，使，连结， 为的中线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （4）解：延长至点，使，连结， 为中点， ， ， ， ， ， ， ． 50．综合与探究 数学活动：三角形全等中的数学问题 【提出问题】 如图，和都是等腰直角三角形（，，），且这两个三角形的顶点O重合，连接．请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，解决所提出的问题： 【探究一】（1）小红看到图1后，很快发现，请你帮助小红证明这一结论． 【探究二】（2）小红继续探究：如图2，连接和，小红发现．请你帮助小红证明这一结论． 【探究三】（3）小红还想进一步探究：如图3，连接和，且，的延长线交于点E，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形； （1）证明，即可得证； （2）过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，证明，得到，根据三角形的面积公式，即可得出结论； （3）过点D作，交的延长线于点H，先证明，求出的长，再证明，根据线段的和差关系以及全等三角形的性质，即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：， ，即． 在和中， ． ． （2）证明：如图1，过点C作于点E，过点D作，交的延长线于点F，． ∵， ∴， ， ． 在和中， ． ． ，， ； （3）如图2，过点D作，交的延长线于点H． ， ． ， ， ， 又∵，， ∴， ． ， ． ， 又∵， ∴， ． ， ， ， 即的长为2． 51．如图1，在四边形中，，点E，点F分别在边上，已知，． (1)请直接写出线段之间的数量关系； (2)证明（1）中的结论； (3)如图2，若点E，点F分别在边的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请写出新的结论，并证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）由题目条件结合半角问题，可得到猜想：； （2）延长到H，使，连接，先证明，得，；再证明，得，从而可证明结论； （3）在上截取，证明，得，，再证明，得，即． 【详解】（1）解：； （2）证明：如图，延长到H，使，连接， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：不成立，，理由如下： 如图，在上截取， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 52．【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②或5． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①过点E作交的延长线于点F，证明，再证明，即可得出结论；②过点E作交的延长线于点F，由①得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 题型十四 算术平方根、立方根规律探究（共4小题） 53．（1）填表： 0 1 100 10000 0 ______ 1 ______ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位，则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 【答案】（1），；（2）两，向左（或右），一；（3）；（4）①时：；②或时：；③时： 【分析】本题考查了算术平方根的应用． （1）根据算术平方根计算即可； （2）根据表格作答即可； （3）根据（2）的规律作答即可； （4）分或三种情况作答即可． 【详解】解：（1），； 故答案为：，； （2）由表格可知，若正数的小数点向左（或右）移动两位，则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 故答案为：两，向左（或右），一； （3）， ， ． （4）由表格可知，①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 54．某数学兴趣小组在学习“算术平方根”之后进行了拓展研究．新定义：对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“组合平方数”．例如：，，这三个数，，，其结果2，3，6都是整数，所以，，这三个数称为“组合平方数”． (1)，，这三个数是“组合平方数”吗？请说明理由． (2)若三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求m的值． (3)写出两组含有的“组合平方数”． 【答案】(1)，，这三个数是“组合平方数”，理由见解析 (2)m的值为 (3)，，；，，（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了新定义，解题关键是能够熟练理解新定义的含义． （1）先分别求出这三个数两两乘积的算术平方根，然后根据已知条件中的新定义，进行判断即可； （2）根据两个数乘积的算术平方根为，求出这两个数的乘积，列出关于m的方程，解之可得； （3）根据“组合平方数”的定义，写出一组“组合平方数”． 【详解】（1）解：，，这三个数是“组合平方数”．理由如下． ∵，，， ∴，，这三个数是“组合平方数”． （2）解：∵三个数，m，是“组合平方数”，其中有两个数乘积的算术平方根为， ∴，，都是整数． ∴或． ∴或（不合题意，舍去）． 当时，这三个数，，是“组合平方数”． 综上所述，m的值为． （3）解：两组含有的“组合平方数”为：，，或，，（答案不唯一） 故答案为：，，或，，（答案不唯一）． 55．阅读材料： 据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题： (1)已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是______； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是______； ______． (2)仿照上面的计算过程，请写出：______；______；______． 【答案】(1)，， (2)，， 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握立方根的定义，理解题目所提供的解题方法是正确解答的关键． （1）完成题目所提供的解题过程即可； （2）根据（1）的解题方法进行计算即可． 【详解】（1）解：已知，且为整数． ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 故答案为：，，； （2）解：已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是；划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， ；已知，且为整数， ， ，一定是一个两位数； 的个位数字是， 的个位数字一定是； 划去后面的三位得， ， 的十位数字一定是； ， 即， 故答案为：，，． 56．先观察下列等式，再回答问题： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：． (1)根据上述三个等式提供的信息填空， = ； (2)请按照上面各等式反映的规律，试写出第n个等式（n为正整数）； (3)对于任何实数a，表示不超过a的最大整数，如，，计算：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了与算术平方根有关的规律探索，正确找到题中的规律是解题关键． （1）根据题中所给信息可判结果； （2）根据第一问的结果用字母代替数字即可； （3）根据规律将原式进行正确变形求解； 【详解】（1）∵第一个等式； 第二个等式； 第三个等式； 故根据规律可猜测第五个等式为； 故答案为：． （2）根据（1）总结规律可得：第n个等式为； （3）根据规律可化简 ． 题型十五 无理数整数部分的有关计算（共4小题） 57．“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法，即： 例如：比较与2的大小． ∵，又∵，则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是_______，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． 【答案】(1)5， (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数比较大小，熟知无理数的估算方法是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法可得，据此可得的整数部分是5，则可推出，的整数部分是1，由此可得答案； （2）求出，再仿照题意可证明，则． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴的整数部分是5，的整数部分是1， ∴的小数部分是； （2）解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 58．阅读下面的文字，解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此​的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示​的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为​的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如： ​，即 的整数部分为2，小数部分为 请解答： (1)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值 (2)已知其中x是整数，且求的相反数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键． （1）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （2）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）∵， ∴， ∵的小数部分为a， ∴， ∵， ∴， ∵的整数部分为b， ∴， ∴． （2）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵， ∴， ∴，， ∴， 所以的相反数为． 59．阅读理解： 同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分不能全部地写出来，于是小伟用来表示的小数部分，事实上，小伟的表示方法非常有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是的小数部分，又如：，即，的整数部分是2，小数部分是． 请参考小伟思考问题的方法解答： (1)的整数部分是_____，小数部分是______． (2)如果的小数部分是a，的整数部分是b，求的值． (3)已知m是的整数部分，n是其小数部分，直接写出的值． 【答案】(1)， (2)5 (3) 【分析】本题考查了估算无理数的大小和求代数式的值，能估算出无理数的大小是解此题的关键． （1）先估算出的范围，再求解即可； （2）先估算出和的范围，再求出、的值，最后求出代数式的值即可； （3）先求出的范围，再求出、的值，最后代入求出即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分是3，小数部分是， 故答案为：3，； （2）解：，， ，， ，， ； （3）解：， ， ，， ． 60．如图，将面积分别为10和5的正方形纸片的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为___________；点表示的数为___________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： ， ． 的整数部分为2，小数部分为． 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为___________，小数部分为___________． (3)已知是整数，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)2， (3) 【分析】本题考查了无理数的估算，实数与数轴，算术平方根的应用，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据面积分别为10和5的正方形纸片，得边长为，再运用数形结合思想，即可作答． （2）模仿题干过程，则，即的整数部分为2，小数部分为，即可作答． （3）根据，有，即可得，代入进行计算即可． 【详解】（1）解：∵将面积分别为10和5的正方形纸片放在数轴上，使正方形的一条边恰好落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点A和点B处． 则面积分别为10和5的正方形纸片的边长为． ∴ ∴点A表示的数为；点B表示的数为， 故答案为：，； （2）解：由（1）得点B表示的数为， ， ， 的整数部分为2，小数部分为． ∴点B所表示的数的整数部分为2，小数部分为； 故答案为：2，； （3）解： 是整数，， ， ． 题型十六 实数的新定义运算（共4小题） 61．对代数式定义新运算：．在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”．实数，，在数轴上的位置如图所示．例如：，，．下列说法正确的个数是（    ） ①； ②； ③至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0； ④至少存在一种“新运算操作”，使运算结果为． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据数轴上的位置可得即可判断①；分别求出和的结果即可判断②；根据即可判断③；推出不论怎么操作，都不可能出现这种情况即可判断④． 【详解】解：由题意得，， ∴，， ①，故①正确； ②，， ∴，故②正确； ③∵原代数式为， ∴要想新操作的结果与原代数式之和为0，那么新操作的结果为， ∵， ∴至少存在一种“新运算操作”，使运算结果与原代数式之和为0，故③正确； ④∵，， ∴不论怎么操作，都不可能出现这种情况，故④错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，新定义，正确理解题意是解题的关键． 62．定义：不大于实数x的最大整数称为x的有效部分，记作，如，，按照此规定， (1)=_______； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先估算的范围，再根据有效部分的定义确定的值； （2）根据有效部分的定义列出关于的不等式组，进而求解的取值范围． 本题主要考查了新定义运算以及不等式的求解，熟练掌握新定义的含义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 63．新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的相邻值为．同理规定无理数的相邻值为．例如：因为，所以的相邻值为，的相邻值为．请回答下列问题： (1)的相邻值为 ；的相邻值为 ； (2)若实数满足关系式：，求的相邻值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）按照已知条件中的新定义，进行解答即可； （2）先根据算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，列出关于，的方程，解方程求出，，从而求出，最后根据已知条件中的新定义求出答案即可． 【详解】（1）解：， 的相邻值为； ， 的相邻值为，相邻值为， 故答案为：；； （2）解：， ，， ，， 解得：，， ， ， 的相邻值为，即的相邻值为． 64．定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“共同体区间”为．例如：因为，所以的“共同体区间”为．请回答下列问题： (1)的“共同体区间”为________； (2)若无理数的“共同体区间”为，求的“共同体区间”； (3)若整数，满足关系式：，求的“共同体区间”． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了算术平方根、无理数的大小估算、新定义下的实数运算等知识点． （1）仿照题干中的方法，根据“共同体区间”的定义求解； （2）先根据无理数的“共同体区间”求出a的取值范围，再求出的取值范围，再根据“共同体区间”的定义求解； （3）先根据已知得，进而得出或或，分别代入求值，再根据“共同体区间”的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的“共同体区间”是， 故答案为：； （2）解：∵无理数的“共同体区间”为， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴的“共同体区间”为； （3）解：∵整数，满足关系式：， ∴或， 解得或或， 分以下三种情况： 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 当，时，， ∵， ∴的“共同体区间”为； 综上，的“共同体区间”为或． 1．（24-25八年级上·河北唐山·期中）若，则的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解答本题的关键．把变形得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·河北唐山·期中）有依次排列的两个不为零的代数，，且，，，，依次类推，若，用含（为正整数）的式子表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算规律探究，通过计算可得，据此即可求解，通过计算找到数字的变化规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值； (3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小 (2)①2；②2、3、5 (3) 【分析】本题考查分式的性质. （1）由、的变化情况，判断、的变化情况即可； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； （3）由，再结合的取值范围即可求解. 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小， ∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵ ∴随着的增大，的值减小. 故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近， ∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数， ∴为整数，， ∴或2或4， ∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，， ∴， ∴. 4．（24-25八年级上·河北沧州·期中）如果两个分式的差为常数，我们称这两个分式互为“差离分式”，这个常数为差离值．如，所以与互为“差离分式”，差离值为3． (1)已知：，，判断A与B是否互为“差离分式”．若是，求出差离值；若不是，请说明理由． (2)已知：，，若C与D互为“差离分式”，且差离值为，求E所代表的代数式． (3)已知：，（m，n为非零常数），若P与Q互为“差离分式”，求的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要查了分式的混合运算，解分式方程，理解新定义是解题的关键． （1）根据异分母分式减法法则计算即可； （2）根据新定义，列出方程，即可求解； （3）根据题意可得，再由新定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴A与B是互为“差离分式”，差离值为2； （2）解：由题意可得：， 即， ∴， 即， ∴， 解得：； （3）解： ； ∵P与Q互为“差离分式”，， ∴， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 6．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 7．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长交于点J，则．④若J是中点，则．其中正确的结论有 ．（只填写序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；延长交于，过作于，过作于，同理可得：，可得，证明，证明，可得，从而可得结论； 【详解】解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∵，， ∴， 同理可得：， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作，    ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，故③正确； 延长交于，过作于，过作于，    ∵为中点； 同理可得：， ∴，， ∴，而， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，而， ∴；故④正确． 故答案为：①②③④． 8．（24-25八年级上·河北·期中）在图1、图2，图3中．点、分别是四边形边、上的点；下面请你根据相应的条件解决问题． 特例探索： （1）在图1中，四边形为正方形（正方形四边相等，四个内角均为直角），，延长至，使，，．则________． 在图2中，，，，，，；则________． 归纳证明：（2）在图3中，，．且，请你观察（1）中的结果，猜想图3中线段，，之间的数量关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式． 【答案】（1）①5②（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角的和差，线段的和差等内容，解题的关键是构造辅助线，证明三角形全等． （1）①先根据条件证明，再证明即可； ②延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可； （2）延长至点，使，先根据条件证明，再证明即可． 【详解】解：（1）①∵四边形为正方形， ， 又， ∴， ∴，， ∵， ， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； ②如图延长至点，使， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ， 又∵， ∴， ， 故答案为：； （2）如图，延长至点，使， ∵，， ∴， 又∵， ， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·河北唐山·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． 【应用】（2）如图②，在四边形中，，点是的中点，射线与的延长线交于点，连接，若，则________． （3）如图③，，，，连结、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）6；（3）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）证明，，，即可解答； （3）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，，从而得到，，，，再结合，可得到，可证明，可得，，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：6 （3）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 即的面积为8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 10．（24-25七年级下·河北唐山·期末）已知，且为正整数，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了无理数的估算、不等式的解等知识点，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 先估算得取值范围，再确定k的取值范围，然后根据不等式解的定义即可解答． 【详解】解：∵是整数； ∴是完全平方数； ∴， ∵为正整数， ∴或2或3． 故答案为：1（答案不唯一）． 11．（24-25七年级下·河北廊坊·期中）如图，一根橡皮筋在初始状态下的两个端点A，B分别对应数轴上的和1，固定点A，橡皮筋均匀伸缩．    （1）沿数轴正方向拉动点B，当点B到达数轴上“7”所对应的位置时，原来对应原点位置的点C在拉伸后对应的数为 ． （2）假如橡皮筋在初始状态下既能伸长，又能收缩，要使点C与“2”所在位置相距个单位长度，则需点B对应的数为 ． 【答案】 4 或 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算： （1）根据数据上两点距离计算公式分别求出拉动前后、的长即可得到答案； （2）分伸长和缩短两种情况，仿照（1）讨论求解即可． 【详解】解：（1）没有拉动时，， 拉动后， ∵橡皮筋均匀伸缩， ∴拉动后， ∴拉动后点C表示的数为， 故答案为：4； （2）当伸长后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，则伸长后点C表示的数为， ∴伸长后， ∴伸长后， ∴伸长后点B表示的数为； 同理当缩短后，点C与“2”所在位置相距个单位长度时，点B表示的数为； 综上所述，点B表示的数为或． 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）数学课上，老师出了一道题：比较与的大小． 小华的方法：因为，所以　　　　，所以　　　(填“”或“”)； 小英的方法：，因为，所以 0，所以　　　　0，所以 　　　　 (填“”或“”)． (1)将上述材料补充完整； (2)请从小华和小英的方法中选择一种比较与的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了实数的大小比较，算术平方根的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据算术平方根的定义以及实数的大小比较方法解答即可； （2）采取（1）中相同的方法解答即可． 【详解】（1）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以； （2）解：小华的方法：因为，所以，所以； 小英的方法：，因为，所以，所以，所以． 13．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）【阅读】∵，即，∴的整数部分为1．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是我们用来表示的小数部分． 【运用】 (1)的整数部分是______，的小数部分是______； (2)若的整数部分是m，的小数部分是n，求的值； (3)若的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)3； (2) (3) 【分析】此题考查了无理数的估算和二次根式运算等知识，熟练掌握无理数的估算是解题的关键． （1）根据题中的方法进行解答即可； （2）求出的整数部分，的小数部分，代入进行计算即可； （3）求出的整数部分和小数部分，代入进行计算即可． 【详解】（1）∵，即， ∴的整数部分是3，的小数部分是； 故答案为：3，； （2）∵， ∴的整数部分． ∵， ∴的整数部分为4， 的小数部分， ∴； （3）∵， ∴的整数部分为4， ∴的整数部分，小数部分为， ∴． 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