河南省部分校2025-2026学年高二上学期第一次联考数学试题（人教A版）

2025一2026年度上学期河南省高二年级第一次联考 数 学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第二册占30%,选择性必修第一册第一章 占70%。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的 1.点N(9,8,5)在坐标平面Oyx内的射影为 A.(5,8,9) B.(9,8,0) C.(9,0,5) D.(0.8,5) 2.在复平面内,复数(4一3)(2一i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a=(9,9,6),b=(1,1,0),则a在b上的投影向量为 A.9√2b B.-9b C.9b D.-9√2b 4.节气是指二十四个时节和气候,是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法,是中华民 族劳动人民长期经验积累的成果和智慧的结晶.若从立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气 中随机选择两个节气,则其中一个节气是立春的概率为 A君 R号 c n号 5.已知空间中有三点A(9,2,9),B(8,1,9),C(5,1,6),则点A到直线BC的距离为 号 B. 6 c.2 6.已知平面内有四点P,A,B,C,且0为空间中任一点若P心=0+号O成-号心,则x= A号 c D. 8 7.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠A1AB=∠DAB= ∠A1AD=60 ,则BD1= A.5 B.5 C.4 D.15 【高二数学第1页(共4页)】 B1 8.在三棱锥P-ABC中,PA LAC,PB⊥BC, ABC是边长为2的等边三角形,三棱锥P-ABC 的外接球的表面积为12 ,则三棱锥P-ABC的体积为 零 B②I c 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.下列选项正确的是 A.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量 B.若4是直线I的方向向量,则(入∈R)也是直线I的法向量 C.若平面a与平面B的法向量分别为n1,n2,则平面a与平面B的夹角即为向量n1,n2的 夹角 D.在空间直角坐标系中,p=(0,1,0)是坐标平面Ox之的一个法向量 10.若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是 A.a-b,b-c;c-a B.a-c,b-a,a+b C.a+b-c:b+c-a:c+a-b D.a-c,2a+b,a+b+c 11.如图,在正四棱柱ABCD-A,B,C,D1中,AA,=2AB=2,P是正四棱柱 ABCD-A,B,C,D,内一点(含表面),且AP=aAA十bAB+cAD,则下列结论正确的是 A若a=号b=1c=号则点P在平面A,BC内 B若a=专6=(=名则BPL平面AG C.若a+b一c=1,则AP平面A1BC D.若a十b一c=0,则点P到平面A1BC,的距离为定值 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分 12.已知向量a=(x,1,-2),b=(2,y,3),c=(3,1,x),若ab,b⊥c,则x= = 13.在空间直角坐标系中,已知A(2,1,1),B(1,2,3),点A关于y轴对称的点为C,则B,C两 点间的距离为 14.已知空间向量01,0成,0心的模均为1,0i.0i=号,0.0心-0i.0心=-2若存在 非零实数1,4,使得Oi+O谚=OMi,C-BN,且OM.MN-B成 M=0,则A-u 【高二数学第2页(共4页)】 B1 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤, 15.(13分) 在某次书展上随机抽取100名观众,调查他们每个月的阅读时长(单位:h),得到如图所示 的频率分布直方图(分组区间为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]) (1)若用分层抽样的方式从[40,80)中随机抽取9人,则[40,60)内应抽取多少人? (2)估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数(同一组中的数据以该组区间的中点值为 代表) (3)若阅读时长在前10%的观众被认定为“阅读王者”,通过频率分布直方图,估计阅读时长 至少为多少小时,才能被认定为“阅读王者” 频率组距 0.020 0.008 0.004 0.002- 20406080100120时间/6 16.(15分) 如图,正三棱柱ABC-A1B,C1的侧棱长为6,底面边长为3,D为AC1的中点.记CA=a, CB=b,CC=e. (1)用基底{a,b,c}表示向量BD,B,D: (2)求a c,b c,a b: (3)求异面直线BD与B,C所成角的余弦值. 17.(15分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,侧面PAD是正三角形,AB=2,PB=3, ∠BAD=子 (1)判断棱AD上是否存在点Q,使得BQ⊥PC: (2)求AB在平面PBD上的投影向量的模. D 【高二数学第3页(共4页)】 B1 18.(17分) 在 ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinB+sinC=1,O是 ABC的外心. (1)若b+c=4,求(AB+AC) A0的最小值. (2)设b=2,c=4. ①求 ABC的面积: ②用向量AB,AC表示向量A 19.(17分) 如图1,在梯形ABCD中,AB,/DC,AB⊥AD,AB=AD=2DC=2.将 ABD沿BD折起 到 PBD的位置,如图2,记二面角P-BD-C的平面角为0. (1)若0=90 ,求PB与平面PCD所成角的余弦值: (2)若0=120 ,求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值: (3)若点B到平面PCD的距离为3,求cos0. 图1 图2 【高二数学第4页(共4页)】 BI 2025一2026年度上学期河南省高二年级第一次联考 数学参考答案 1.D点N(9,8,5)在坐标平面Oyz内的射影为(0,8,5). 2.D因为(4一3i)(2一i)=5-10i,所以其在复平面内对应的点位于第四象限. 3.C因为a=(9,9,6),b=(1,1,0),所以a b=9 1+9 1+6 0=18,所以a在b上的投 影狗为9 合-号多= 4.B记立春、雨水、惊蛰、春分、清明这五个节气分别为a,b,c,d,e,则样本空间2={(a,b), (a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)}. 记事件A表示“其中一个节气是立春”,则A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e)},所以P(A)= 5.C因为BA=(1,1,0),BC=(-3,0,-3),所以cos(BA,BC)=-3 √2X3√2 因为inB,BC)=√-(一=,所以点A到直线BC的距离为1B成sm(B,BC) 6.A因为P元-0心-0=0i+号0成-心,所以0=-0i-6成+ 因为P,AB,C四点共面,所以-一号十号=1,故=品 7.D设a话=aad=6,ad=e则a1=1.61=2e1=3,ae=1X8 号=号:6c=2 3 号=3,a b=1 2 号=1.因为BD=b-a+c,所以1BD1=b-a+c= Wa2+b2+c2-2a b-2a c+2b c=/15 8.D因为PA⊥AC,PB⊥BC,所以三棱锥P-ABC的外接球的球心为PC的中点.由 4(S)-12x,得PC=25,所以PA=PB=2V.取AB的中点0,连接P0.0C(图略, 则POLAB,.OCLAB,所以AB⊥平面POC,所以VrC=Sa AB.在 POC中,PO =√7,OC=3,PC=23,由余弦定理得cos∠POC=- ,所以sin∠POC=25 ,所以 √2I 【高二数学 参考答案第1页(共7页)】 B1 Sax=号 B 源-5,所以V=号5e AB-325 21 3 9.AD零向量是不能作为直线的方向向量和平面的法向量的,所以A正确: 若入=0,则4=0,所以B不正确: 因为平面a与平面B的夹角不能是钝角,向量n1,n2的夹角可能是钝角,所以C不正确: 因为与y轴平行的非零向量都是平面Ox:的法向量,所以D正确. 10.BC因为a-b=-(b-c)-(c-a),所以a-b,b-c,c-a共面; 因为不存在x,y,使得a一c=x(b一a)十y(a十b),所以a一c,b一a,a十b不共面: 因为不存在x,y,使得a十b-c=x(b十c-a)+y(c+a-b),所以a+b-c,b+c-a,c十 a一b不共面; 因为a一c=2a+b-(a十b+c),所以a一c,2a十b,a+b+c共面 11.ABD如图,以A:为坐标原点,A1A,AB1,A1D1的方向分别为 x轴、y轴、之轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A(2,0,0),B(2,1,0),C(2,1,1),D(2,0,1),A1(0,0,0),B1(0,1, 0),C1(0,1,1),D1(0,0,1) 因为A户=aAA+bAB+cAD,所以P(2-2a,b,c). 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,x),因为A1B=(2,1,0),A1C1=(0,1,1), n A1B=2x十y=0, 所以 令x=1,得n=(1,一2,2). n AC=y+z=0, 对于A,当a=号,b=1c=时,P(11,),此时P为BC,的中点,所以点P在平面 A1BC1内,故A正确; 对于B当a=名6=(=时,P(,号》,因为B户=(学,-),所以B户加,所 以B,P⊥平面A1BC1,故B正确: 对于C,因为AP=(-2a,b,c),所以AP n=-2a-2b+2c=-2(a+b-c) 当a十b-c=1时,AP n=-2,所以AP不与平面A:BC1平行,故C错误: 对于D,因为点P到子面A,C,的距离4=瓜立:-1 十2么-2,所以当a+8 n 3 一c=0时,d=号,故D正确 12-青- =1=-2 因为a%,b⊥c,所以 2y3 3y=2=-3 解得x= 2 2 3+y 1+3z=0, 13.26 因为点A(2,1,1)关于y轴对称的点C的坐标为(-2,1,一1),所以BC=(-3,-1, 【高二数学 参考答案第2页(共7页)】 B1 一4),所以B,C两点间的距离为|BC=√9十1+16=√26 14.0由B示=O-O成)=BC=0C-O成,可得O示=1O心+(1-1)O, 所以OM.MN=OM.(oN-OM=OM.ON-OMi =a耐+0[2定+1-o]-(》'ai+or=0,得+日-3. 因为成.=.o-0i=成-) [d+(1-)o诚-}(a耐+ O]=0,所以受+日=2 (6+5=3, 由 5+6 解得入-以= 3,故入-4=0. =3, 15.解:(1)由(0.004+x+0.02+0.008+0.002) 20=1,得x=0.016. …2分 因为阅读时长在区间[20,40),[40,60),[60,80),[80,100),[100,120]内的频率分别为 0.08,0.32,0.40,0.16,0.04, 所以阅读时长在区间[40,60),[60,80)内的人数分别为32,40, 所以用分层抽样的方式从[40,80)中随机抽取9人.[0,60)内应抽取9 器-4人 …4分 (2)设阅读时长的平均数为xh,…5分 则x=0.08 30+0.32 50+0.40 70+0.16 90+0.04 110=65.2, 即估计参与展会的观众每月的阅读时长的平均数为65.2h.…8分 (3)设阅读时长至少为yh,才能被认定为“阅读王者”.…9分 因为0.04十0.16=0.2>0.1,0.04<0.1,…10分 所以(100-y) 0.008+0.04=0.1,解得y=92.5, 所以估计阅读时长至少为92.5h,才能被认定为“阅读王者”.…13分 16.解:)连接CD(图略).BD=Ci-C弦=2(C+CC-C3=2a-b+2c,…2分 Bi=C市-C元,-2Ci+0)-Gd成+C)=2a-b-c …4分 (2)因为正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为6,底面边长为3, 所以a=b=3,c=6,<a,c)=b,c)=受,a,b>= 3 6分 所以ac=bc=0ab=3X3X号=号 8分 【高二数学 参考答案第3页(共7页)】 B1 (3)因为BC=-0B=-C+CC=-b-cB币=2a-b+ 2c, …9分 所以B,C.B励=(-b-c) (2a-b+2c)=-7a…b-2ac+2bc+b- c2 …11分 =- 号+9-2 36=- …12分 因为1B1C1=|-b-c1=√32+62+2 0=3√5, 1-a-b+2c-√Ta2+6+c-a…b=√+9+ 9 X36-9=37 2 ,04444 2 …13分 所以osB,C,亦=BC.B助 -45 4 3 B CIBDI 36 30 14 2 故异面直线BD与B,C所成角的余弦值为质 14 …15分 17.解:取AD的中点O,连接PO,OB.因为 PAD和 ABD均为正三角形,所以PO⊥AD, OB⊥AD. 因为PO∩OB=O,所以AD⊥平面POB. …1分 在 POB中,PO=OB=√3,PB=3,可得∠POB= 2 31 …2分 如图,以O为坐标原点,OA,OB所在直线分别为x,y轴建立P 空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,√3,0),C(一2,√3,0), D-10.0.p0.-92》 …4分 (1)设Q(1,0,0)(-1≤1≤1),则BQ=(t,-3,0.若BQL PC,则BQ PC=0. …5分 因为P心=(-2,39,-》,所以B破.P心=-2-号=0,得1=-号 4 …7分 因为-号[-1,1,所以棱AD上不存在点Q,使得BQ⊥PC …9分 (2)设平面PBD的法向量为n=(x,y,之). 因为劢=(-19-》,防=(-1,-5,0. 【高二数学 参考答案第4页(共7页)】 B1 所以 令y=1,得n=(-√3,lw3).…12分 n BD=-x-5y=0, 因为应=一1后,0所以店在a上的限影粉量m=”.合-(一号29》 …13分 所以AB在平面PBD上的投影向量的模为 a店-m-√[-1-(-]+a-29+(0-》产-9. …15分 18.解:1)当b+c=4时,A0=2.则c0s∠BA0=,os∠CA0=冬, …2分 所以+aC).A0=11a01os∠BA0+1aCAd1os∠CA0=c2+b≥ (,))=4,当且仅当b=c=2时,等号成立,…4分 故(A官+AC)…A可的最小值为4.…5分 (2②)①因为sinB+如C=1,所以京0+0-1,所以6+c=2A0. …6分 因为b=2,C=4,所以AO=3.…7分 因为O为 ABC三边的中垂线的交点,所以cos∠BAO= 3,co∠CA0=1 ,…8分 所以sin∠BA0= 3,sin∠CA0=22 ,所以sin∠BAC=sin(∠CA0 ∠BAO)= 42 5 9 …9分 所以 ABC的面积为xsin∠BAC=号 2X4X4E 5_16E生46 …10分 9 9 ②当AB、AC在AO两侧时,如图,以AO为对角线作平行四边形 ADOE,则sin∠AOD=sin∠CAO=22 3 sin∠ADO=sin∠BAC=5+42 12分B 9 AD OD AO 在 ADO中,由正弦定理得 in∠AOD-sin∠BAO-sin∠ADO' 所以4D=OD. 3 ,所以AD=16-2,0D=4而-5 225√5+4√ 3 3 …15分 3 3 9 【高二数学 参考答案第5页(共7页)】 B1 所以市-8=①i,A花=4而-5心,故d=8=A成+4而-5花 6 6 6 .…16分 当AB、AC在A0同侧时,Ad-8十①A店-4W而+5AC 6 …17分 19.解:取BD的中点O,连接OP.因为PB=PD,所以PO⊥BD. …1分 在直角梯形ABCD中,因为BD=BC=22,CD=4,所以BD2+BC2=CD,所以BC⊥ BD. 000404040040000000…00”2分 取CD的中点E,连接OE.易知OEBC,即OE⊥BD, 所以∠POE为二面角P-BD-C的平面角,即∠POE=0.…3分 如图,以O为坐标原点,O心,O龙的方向分别为x轴、y轴的正 方向建立空间直角坐标系,则B(一√2,0,0),C(一√2,22,0), D(/2,0,0).… …4分 (1)当0=90时,P(0,0,2),所以P克=(-√2,0,-√2).… …5分 设平面PCD的法向量为m=(x1,y11).因为D驴=(一2,0,2),DC=(一22,22, m Dp=-√2x1+21=0, 0),所以 m.D心=-22x1+22y=0 令x1=1,得m=(1,1,1).…6分 设PB与平面PCD所成的角为a,则ima=1cosP馆,m1=P店,m=2E=6 1PB1川m2X5 31 3 所以PB与平面PCD所成角的余弦值为 …7分 (2当0=120时,P(o,-号 ).设平面PCD的法向量为n=(x2,y222), 因为-(-反,-号9).成=(-2,2wE.0. 所以 '令x2=1,得n=(1,1,W3).…9分 n.DC=-22x2+22y2=0, 设平面PBC的法向量为p=.因为时=(亿,-号.今).BC=0,22.0. 所以 ”令x3=5,得p=(W5,0,-2).…11分 p BC=22y3=0, n pl=3=105 因为cosn,p川=np5 J7 35 【高二数学 参考答案第6页(共7页)】 B1