精品解析：海南省三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

三亚市第四中学2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误. 【详解】A：平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，正确； B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确； C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误； D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确. 故选：C 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【详解】已知，点N为BC中点， 则. 故选：C 3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可. 【详解】[方法一]：【最优解】无序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有15种情况，其中数字之积为4的倍数的有6种情况，故概率为. [方法二]：有序 从6张卡片中无放回抽取2张，共有,(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2),(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况， 其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为. 故选：C. 【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解； 方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出； 4. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】分别列出两个事件包含的基本事件，再由充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】连续射击两次，基本事件有A：“两次都中靶”，B：“两次都没中靶”，C：“第一次中靶且第二次没中靶”，D：“第一次没中靶且第二次中靶”. 事件“至少一次中靶”包含了A，C，D.事件“至多一次中靶”包含了B，C，D， 所以事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 5. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，根据古典概型的概率公求解判断，对于B，根据互斥事件的定义分析判断，对于C，根据独立事件的定义分析判断，对于D，根据和事件的概率公式求解判断. 【详解】对于A，因为有4个数字，向下的数字为2或3的有2种，所以，错误； 对于B，由题意，事件和事件有可能同时发生，如第一次向下的数字为2，第二次向下的数字为1，所以B错误， 对于C，因为两次数字和为奇数的有：，共8种，所以， 第一次数字为2或3，且两次数字和为奇数的有：，4种，所以， 因为，所以，所以事件与事件相互独立，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 故选：C 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 7. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意列出所有可能的结果，然后利用古典概型计算公式即可求得满足题意的概率值. 【详解】设三位同学分别为，他们的学号分别为， 用有序实数列表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号. 三人可能拿到的卡片结果为：，共6种， 其中满足题意的结果有，共3种， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：. 故选：C. 【点睛】方法点睛： 有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数． (1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏． (2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 8. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用坐标法，设，可得动点P到直线的距离为，然后利用二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 设，则， ∴动点P到直线的距离为 ，当时取等号， 即线段上的动点P到直线的距离的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件概率法则和独立事件乘法公式求解概率判断A；根据互斥事件的定义判断B；根据分层抽样法则列式求解判断C；根据古典概型概率公式求解概率判断D. 【详解】对于A，题没被解出的概率为， 故题被解出的概率为，故选项A正确； 对于B，由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立， 互斥与独立没有必然联系，故选项B错误； 对于C，根据分层随机抽样，由知，初级教师应抽取15人，故选项C正确； 对于D．设男生为甲，女生为乙和丙，则将这3人排成一排， 则（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙）， （丙，乙，甲），共有6种排法， 其中女生相邻有：（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（丙，乙，甲） 共有4种排法， 由古典概型得两位女生相邻的概率为，故选项D错误． 故选：AC． 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A利用空间向量基本定理即可判断，对于B由即可判断，对于C当时，则是钝角或即可判断，对于D关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即可判断. 【详解】对于A，构成空间的一个基底，则，，不共面， 因为，则，，必共面，故A正确； 对于B，在中，所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 对于C，当时，则是钝角或，故C错误； 对于D，关于平面对称的点，横坐标和竖坐标不变，纵坐标变为相反数， 所以点关于平面对称的点的坐标是，故D正确． 故选：ABD． 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 【答案】BD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，对于A，计算的值即可判断；对于B，计算的值即可判断；对于C，先计算得，接着计算，再由和平面且结合锥体体积公式即可计算求解；对于D，由计算求出即可得解. 【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 对于A，，故与不垂直，故A错误； 对于B，， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，由上，所以， 所以即，又， 所以， 因为，又由正方体性质可知平面即平面， 所以，故C错误； 对于D，若存在实数使得， 则， 所以，所以，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：建立坐标系解决立体几何中的问题是一种常用方法，它的思维量小，计算量虽多但是计算简单，解法直接自然和简单，本题根据正方体的结构特征建立了空间直角坐标系，接着计算所需向量坐标，从而根据各个问题的向量法理论公式直接计算即可判断求解. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 13. 已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用空间向量基底的意义，结合相等向量列式求出即可. 【详解】由向量在基底下的坐标为，得， 由在基底下的坐标为， 得， 因此，所以. 故答案为：4 14. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空； 根据古典概型的概率公式可求出第二个空． 【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为， 所以甲盒中黑球个数为，白球个数为； 乙盒中黑球个数为，白球个数为； 丙盒中黑球个数为，白球个数为； 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以， ； 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件， 黑球总共有个，白球共有个， 所以，． 故答案为：；． 四、解答题 15. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小； （2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值. 【小问1详解】 因为向量与平行， 所以， 由正弦定理得， 又，从而，由于，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得，而，， 得，即， 因为，所以. 故的面积为. 16. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，则，，根据独立事件即可求解； （2）记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为，先求，最后利用独立事件即可求解. 【小问1详解】 记甲队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且，， 乙队三人回答正确分别为事件，则相互独立，且 【小问2详解】 记乙队得2分的概率为，甲、乙得分比为1:2的概率为， 则 ，即甲队得分与乙队得分为1:2的概率为. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）     证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， ，， 则， 所以，即 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，然后由向量的数量积为，即可证明向量垂直； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，再结合线面角的计算公式，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，设平面的法向量为 则，解得，取，则 所以平面的一个法向量为， 又因为， 设AB与平面所成角为， 所以， 所以直线AB与平面所成角的正弦值为. 18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为，列出方程，即可求解； （2）根据题意，求得成绩不低于80分的频率为，进而求得高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）根据题意，得到成绩来自的学生人数为2人，记为，成绩来自的学生人数为4人，记为，利用列举法，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为频率分布直方图中所有小矩形面积之和为， 可得，解得. 【小问2详解】 解：由频率分布直方图可知成绩不低于80分的频率为， 所以该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数为人. 【小问3详解】 解：成绩来自的学生人数为人，记为， 成绩来自的学生人数为人呢，记为， 则从中随机选取两名学生的样本空间为：，共15个样本点， 设“两名学生数学成绩至多有一名及格”， 则，其中含了9个样本点， 所以这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率. 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明， （2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解， （3）设出得点坐标，由空间向量列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，故，， 而平面平面，平面平面，平面，， 平面， 两两垂直，如图所示建立空间直角坐标系， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 平面的一个法向量为， 故，二面角的大小为； 【小问3详解】 设，则，,, 的，， 设平面的一个法向量为 CQ与平面所成角的正弦值为， 化简得，解得（舍去） 故存在，使得CQ与平面所成角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三亚市第四中学2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 13. 已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 14. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 四、解答题 15. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $