海南省三亚市第四中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试题

三亚市第四中学2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定 C. 空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量 2. 如图，空间四边形OABC中， 点M在OA上，且 点N为BC中点，则 等于（ ） A. B. C. D. 3. 从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”是事件“至多一次中靶”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“第一次向下的数字为2或3”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比，中级占比，初级占比，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若构成空间的一个基底，则，，必共面 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量、满足，则与夹角为钝角 D. 点关于平面对称的点的坐标是 11. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数使得 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为______. 13. 已知向量是空间的一组单位正交基底，向量是空间的另一组基底，若向量在基底下的坐标为，在基底下的坐标为，则___________． 14. 把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，三个箱子中的球数之比为．且其中的黑球比例依次为．若从每个箱子中各随机摸出一球，则三个球都是黑球的概率为_________；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率为_________． 四、解答题 15. 的内角所对的边分别为，，．向量与平行． （1）求； （2）若，求的面积． 16. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）设甲队总得分为1分的概率为，乙队总得分为3分的概率为，求与的值； （2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点. （1）求证：； （2）求直线AB与平面所成角的正弦值. 18. 某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：，绘制出如图所示的频率分布直方图． （1）求出图中实数a的值； （2）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于80分的人数； （3）若从成绩来自和两组的学生中随机选取两名学生： （ⅰ）写出该试验的样本空间； （ⅱ）求这两名学生数学成绩至多有一名及格的概率． 19. 在梯形中，，，，P为的中点，线段与交于O点（如图1）将沿折起到位置，使得平面平面（如图2）. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小； （3）线段上是否存在点Q，使得与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 三亚市第四中学2025-2026学年第一学期 高二数学10月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】BD 第II卷（非选择题） 三、填空题 【12题答案】 【答案】##2.5 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 ①. ②. ## 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1） （2）． 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）     证明：根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，， ，，，，， ，， 则， 所以，即 （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ） （ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1）证明：在梯形中，，，，P为的中点， 可得为等边三角形，四边形为菱形， 故，而平面，平面， 平面. （2） （3）存在， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $