精品解析：山东省菏泽第一中学2025-2026学年高二上学期10月教学质量检测数学试题

2025-2026学年高二上学期10月份教学质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 点到直线的距离的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 若圆关于直线对称，则（ ）． A. B. C. D. 3. 过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A. 有相等的长轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相等的短轴长 D. 长轴长与焦距之比相等 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆与轴相切，则 B. 若，则圆C1与圆C2相离 C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 D. 直线与圆C1始终有两个交点 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C上存在点P，使得 C. 过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8 D. 若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为___________. 13. 已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________． 14. 椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________． 四､解答题 15. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 16. 已知圆：. （1）求圆的圆心坐标以及半径； （2）求经过点的圆的切线方程； （3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围. 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期10月份教学质量检测 数学试题 第Ⅰ卷（选择题） 一､单选题（每题5分，共40分） 1. 点到直线的距离的最大值是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式和辅助角公式得到，结合正弦函数有界性求出最大值. 【详解】点到直线的距离为 ， 由于， 故当时，取得最大值，最大值为. 故选：C 2. 若圆关于直线对称，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由标准方程得出圆心，圆关于直线对称则直线过圆心，将圆心代入直线即得结果 【详解】由题，圆心为，圆关于直线对称，则直线过圆心，即，所以. 故选：C 3. 过，且在轴上的截距比在轴上的截距大1的直线方程是（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出在轴上的截距，即可知在轴上的截距，进而可写出直线方程，再把点代入直线方程中，可求出，即可求得答案. 【详解】设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线方程为，在直线上，或，则直线为或. 故选：B. 4. 如果AB>0,BC>0，那么直线Ax－By－C＝0不经过的象限是 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：斜率为，截距，故不过第二象限. 考点：直线方程. 5. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求得m的值，由此确定充分、必要条件. 【详解】“直线与直线平行” 因为，所以直线，直线，与平行，故充分条件成立； 当直线与直线平行时，， 解得或， 当时，直线与直线重合， 当时，直线，直线平行，故充要条件成立． 故选：A． 6. 若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系及方程表示圆列出方程组，从而可得出答案. 【详解】解：因为点在圆的外部， 所以，解得. 故选：C． 7. 若椭圆与椭圆，则两椭圆必定（ ）． A. 有相等的长轴长 B. 有相等的焦距 C. 有相等的短轴长 D. 长轴长与焦距之比相等 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出椭圆与椭圆的长轴长、短轴长、焦距、焦点坐标和离心率，由此能求出结果． 【详解】解：椭圆，可知，，， 长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是；离心率是：． 椭圆中， ，，， 长轴长是，短轴长是；焦距是8；焦点坐标是；离心率是． 椭圆与椭圆关系为有相等的焦距． 故选：B． 8. 已知椭圆：的左、右焦点分别为、，若上存在无数个点，满足：，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到以为直径的圆与椭圆有4个交点，进而得到，求出的取值范围. 【详解】设椭圆的半焦距为，因为上存在无数个点满足：， 所以以为直径的圆与椭圆有4个交点， 所以，所以，所以. 故选：D 二､多选题（每题6分，共18分） 9. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ） A. 若圆与轴相切，则 B. 若，则圆C1与圆C2相离 C. 若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为 D. 直线与圆C1始终有两个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，圆心到x轴的距离等于半径判断即可；对B，根据圆心间的距离与半径之和的关系判断即可；对C，根据两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程求解即可；对D，根据直线过定点以及在圆C1内判断即可. 【详解】因为，， 对A，故若圆与x轴相切，则有，故A错误； 对B，当时，，两圆相离，故B正确； 对C，由两圆有公共弦，两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程，故C错误； 对D，直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确. 故选：BD 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，以下说法正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. 椭圆C上存在点P，使得 C. 过点的直线与椭圆C交于A，B两点，则的周长为8 D. 若P为椭圆上一点，Q为圆上一点，则点P，Q的最大距离为2 【答案】BC 【解析】 【分析】求得椭圆C的离心率判断选项A；求得满足条件的点P判断选项B；求得的周长判断选项C；求得点P，Q的最大距离判断选项D. 【详解】对于选项A，因为，，所以，即， 所以椭圆C的离心率，故A错误； 对于选项B，设点为椭圆上任意一点， 则点P的坐标满足，且，又，， 所以，， 因此， 令，可得，故B正确； 对于选项C，由椭圆的定义可得， 因此的周长为， 故C正确； 对于选项D，设点为椭圆上任意一点， 由题意可得点到圆的圆心的距离，因为，所以 则，故D错误． 故选：BC． 11. （多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅.已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点P的轨迹方程是 B. 直线是“最远距离直线” C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点） 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，设，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求即可；对于D，易判断为交点. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l距离的一半， 所以，化简可得，故选项A正确； 对于B，联立方程组，可得， 解得，故存在点， 所以直线是“最远距离直线”，故选项B正确； 对于C，过点P作垂直直线，垂足为B， 由题意可得，，则， 由图象可知，的最小值即为点A到直线的距离5，故选项C正确； 对于D，由可得， 即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，故选项D错误. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第Ⅱ卷（非选择题） 三､填空题（每题5分，共15分） 12. 过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，则的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，从而得到，相减变形，结合和直线斜率得到，故，椭圆的焦点在轴上，利用求出离心率. 【详解】直线的斜率为， 设，则， ， 两式相减得， 即， 所以， 由于，故， 所以，故，所以椭圆的焦点在轴上， 则的离心率为. 故答案为： 13. 已知点P是圆上任意一点，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由题可得，即得. 【详解】令，则，代入， 可得， ∴， 解得， 即的取值范围为. 故答案为；. 14. 椭圆（为非零常数）的焦点分别为，点在椭圆上.如果线段的中点在轴上，那么等于_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可得，结合椭圆的定义可得，进而可以求出结果. 【详解】由，可知，，所以， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ，由椭圆的定义知，则 ∴. 故答案为：7 四､解答题 15. 已知动点到定点的距离与它到定点的距离之比为． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若圆与轨迹相交于两点，线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据题意直接求解即可； （2）联立两圆方程，求出公共弦方程，即可求出. 【小问1详解】 设，由题意得: ， 化简得：. 【小问2详解】 圆与圆的方程联立，得到方程组， ②-①，得，即为直线的方程. 圆心到直线的距离， 又圆的半径为， ∴由勾股定理，得，故. 16. 已知圆：. （1）求圆的圆心坐标以及半径； （2）求经过点的圆的切线方程； （3）若圆与圆：有公共点，求实数的取值范围. 【答案】（1）圆心的坐标为，半径 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化简为圆的标准方程，即可求解； （2）讨论切线的斜率不存在和存在的两种情况求切线方程； （3）由题意转化圆心距和半径的关系式，再转化为不等式求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为圆：，整理得 所以圆心的坐标为，半径． 【小问2详解】 ①当切线斜率不存在时，切线的方程为，符合题意； ②当切线斜率存在时，设：， 即. 设圆心到切线的距离为，则． 整理可得：， 解得： 所以切线的方程为，即. 综合①②，切线的方程为或. 【小问3详解】 圆与圆的圆心距为， 设圆的半径为，圆的半径为， 若圆与圆：有公共点， 则，即， 解得， 故． 17. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． （1）求线段AB的中点P的轨迹的方程； （2）若点C在曲线上运动，点Q在x轴上运动，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)设中点P的坐标为，利用中点坐标公式将点A的坐标用表示出来，再代入圆的方程即可； (2)作出图象，由题意可得的最小值为，的最小值为， 所以的最小值为，取关于x轴的对称点，则有Q为直线与x轴的交点时，取得最小值，由两点间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 解：设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，．于是有，．① 因为点A在圆上运动， 所以点A的坐标满足方程，即．② 把①代入②，得， 整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 解：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以．③ 当且仅当A在线段上且C在线段上时，取等号． 取关于x轴的对称点， 当点Q为直线与x轴的交点时，取得最小值， 且， 所以的最小值为． 18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，，结合，即可求得椭圆E的方程； （2）设直线l的方程，代入椭圆方程．由韦达定理及弦长公式，即可求得k的值． 【小问1详解】 由离心率，则， 又上顶点，知，又，可知，， ∴椭圆E的方程为； 【小问2详解】 设直线l：，设，， 则，整理得：， ，即， ∴，， ∴， 即，解得：或（舍去） ∴ 19. 已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点.求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点得到，根据点在椭圆上符合椭圆方程及，联立解得的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）由垂直得到直线的方程，联立直线方程和椭圆方程，由韦达定理求得，由三角形面积公式得到面积，由基本不等式得到面积的最大值. 【小问1详解】 由右焦点为，得，所以， 又点在上，所以，即， 联立，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 因为，，所以， 因为，所以， 故直线的方程为，即， 联立并整理得， 设，则， 所以， 所以的面积， 令，则，， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $