精品解析：河南省平顶山市叶县高级中学2025-2026学年高一上学期10月节后月考数学试题

2025-2026学年叶县高中高一10月节后月考试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 2. 已知全集，，则集合B的元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 不确定 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C 恒成立或 D. 不等式恒成立 5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则以下不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 7. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. ，当时， 10. 已知正数，满足，则下列结论正确是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数构成的集合为A，则A中元素的个数为______. 13. 已知关于不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 14. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有___． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p，q一真一假，求实数的取值范围. 17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 18. 关于的不等式. （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）解关于的不等式. 19. 对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年叶县高中高一10月节后月考试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 若，则a的值为（ ） A. 或1或2 B. 或1 C. 或2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系得出方程求解，结合集合中元素的互异性检验即可. 【详解】因， 所以或3或， 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，即，此时集合中元素为1,3,1，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，解得或（舍去），此时集合中元素为1,3,4，符合题意. 故选：D 2. 已知全集，，则集合B的元素个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，从而可求出中的元素. 【详解】因为全集，， 所以中肯定有1，3，5，7，中肯定没有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10， 且除了1，3，5，7，中有的其他数字，中也一定会有，中没有的数字，中也一定会有， 所以， 故选：B 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案. 【详解】解：由，可得或； 由可得且， 所以由不能推出，但由能推出， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 命题：使的否定为（ ） A. 不等式恒成立 B. 不等式成立 C. 恒成立或 D. 不等式恒成立 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词的命题的否定方法可得结论. 【详解】命题：使的否定为 恒成立或. 故选：C. 5. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.已知，则以下不等式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的性质说明ABC正确，举反例说明D错误. 【详解】对于A，当时，， 当时，， 当时，， 综上，，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，当时，无意义，故D错误. 故选：D. 6. 近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. ，的大小无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出，关于，的表达式，再根据基本不等式即可求解． 【详解】由题意得，，， 则， ， 所以． 故选：C． 7. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 8. 若不等式有且只有三个整数解，实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，，故可得不等式的解集中的三个整数为，据此可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 故的解集中有整数1，而， 故不等式的解集中的三个整数为，故， 所以，故， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. 所有的素数都是奇数 B. 集合与集合是相同的集合 C. 若，则 D. ，当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】由2是素数即可判断A；由即可判断B；由不等式性质即可分析判断C；作差即可比较大小判断D. 【详解】2是素数，但2不是奇数，A错误； 因为集合，集合， 所以集合与集合不是相同的集合，B错误； 因为，所以，所以，C正确； ，又，所以, 所以即，D错误. 故选：ABD 10. 已知正数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式判断A、B；依题意可得，再由基本不等式判断C、D. 【详解】因为正数，满足， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 解得，所以，故的最大值为，故A正确； ， 即，又，所以， 所以的最小值为，当且仅当，即，时等号成立，故B正确； 由可得， 所以， 当且仅当时等号成立，此时，，又为正数，矛盾，故C错误； ，当且仅当，即，时等号成立，故D正确. 故选：ABD 11. 已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C. 【详解】由题设，的解集为， ∴，则， ∴，，则A、D正确； 原不等式可化为解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示， ∴由图知：，，故B错误，C正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数构成的集合为A，则A中元素的个数为______. 【答案】15 【解析】 【分析】讨论抽出数字的个数，依次写出对应构成的自然数，即可得集合元素个数. 【详解】抽出1个数字，有自然数，共3个； 抽出2个数字，有自然数，共6个； 抽出3个数字，有自然数，共6个 综上，上述所有自然数所成集合共有15个元素. 故答案为：15 13. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，进一步解二次不等式即可得解. 【详解】已知关于的不等式的解集为， 则，所以， 令，即， 所以，所以，解得. 故答案为：. 14. 向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人，对A、B都不赞成的学生有___． 【答案】8 【解析】 【分析】根据题意，用韦恩图进行求解即可. 【详解】解：由题意：赞成A的人数30，赞成B的人数为33， 设对A、B都赞成的学生数为x，则对A、B都不赞成的学生数x+1， 如图可得：x+30﹣x+33﹣xx+1＝50，所以x＝21，x+1＝8. 故答案为：8. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答写出必要的文字说明、推导过程及验算步骤. 15. 设全集，集合，，其中． （1）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （2）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，列不等式，即可求解； （2）首先求当时的取值范围，再求其补集. 【小问1详解】 ， “”是“”的必要而不充分条件，  ，解得， 即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 16. 设命题：对任意，不等式恒成立，命题：存在，使得不等式成立. （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）为真命题时，任意，不等式恒成立可转化为，求解即可 （2）化简命题，由（1）结合条件列不等式即可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为为真命题， 所以对任意，不等式恒成立， 所以，其中， 所以，解得， 所以的取值范围； 【小问2详解】 若为真命题，即存在，使得不等式成立， 则，其中， 而， 所以，故； 因为一真一假， 所以为真命题，为假命题或为假命题为真命题， 若为真命题，为假命题，则，所以； 若为假命题，为真命题，则或，所以. 综上，或， 所以的取值范围为. 17. 如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，. （1）求的周长； （2）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值. 【答案】（1）4； （2），面积最大值为. 【解析】 【分析】（1）根据已知，证得，进而有，即可得； （2）由已知及（1）有、，在应用勾股定理得，结合已知得，再由并应用基本不等式求其最大值，并确定取值条件，即可得. 【小问1详解】 依题意，， 则，于是， 因此， 所以的周长为定值4； 【小问2详解】 由折叠知，则，即， 由（1）知，即，则， 在中，即，化简得， 而，，则且，即，所以，（）. 在中，，且， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以当时，的面积取得最大值为. 18. 关于的不等式. （1）若不等式的解集为或，求的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由解集为或知方程的两根为或，求得的值； （2）分类讨论解含参不等式，讨论二次项系数是否为0，开口方向，两根的大小. 【小问1详解】 因为的解集为， 所以方程的两根为或， 所以，解得． 【小问2详解】 ， 当时原不等式变形为，解得； 当时，的根为或． 当时，∴或， 当时，∴， 当时，∴， 当时，∴ 综上可得： 当时原不等式解集为； 当时原不等式解集为或； 当时原不等式解集为； 当时原不等式解集为； 当时原不等式解集为． 19. 对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. （1）你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. （2）为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 【答案】（1）甲错误，乙正确，理由见解析； （2）（i）；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据使用基本不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）（i）由题设，且，应用基本不等式求最小值，注意取值条件；（ii）利用基本不等式证明不等式即可. 【小问1详解】 甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确； 【小问2详解】 （i），则， ， 当且仅当，即时等号成立； （ii）因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $