精品解析：福建省长乐第二中学2025-2026学年高二上学期10月适应性训练数学试题

2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填涂在答题卡上．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点关于yOz平面的对称点的特征可得答案. 【详解】根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为， 故选：C. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得其斜率，即可得倾斜角. 【详解】. 设其倾斜角为，则，又， 则，即倾斜角为150°. 故选：D 3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出点坐标，然后计算． 【详解】点在平面内的正投影为点，则． 故选：B. 【点睛】本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题． 4. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，结合向量的线性运算，即可求解． 【详解】，，， 则． 故选：A． 5. 已知，，若点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共线得到方程，求出，，求出，得到模长. 【详解】因为点共线，所以与共线， 所以，解得，， 故，， . 故选：C. 6. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面的条件求出，再利用投影向量及模的定义计算即得. 【详解】因为共面，则存在实数，使得，即， 于是， 所以在上的投影向量的模为. 故选：B 7. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出向量在基底下的表达式，并整理成向量在基底下的表达形式，由对应系数相等，可解得系数. 【详解】由题意可得，设， 即有， 则有，解得即， 即向量在基底下的斜坐标为． 故选：A. 8. 如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，表示出相应的点的坐标，利用向量夹角公式求解。 【详解】解：如图以为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意可得，，，， ，动点在线段上，则可设， ， 令则 则 当时取最大值 故选： 【点睛】本题考查利用空间向量法求异面直线的夹角的余弦值，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标表示一一判定选项即可. 【详解】由题意可知，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用法向量和向量垂直的充要条件的应用判定A的结论，利用共面向量的充要条件判断B的结论，利用向量垂直的充要条件判定C的结论，利用空间坐标中点到之直线的距离求解高的值判定D的结论． 【详解】若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，当时， 即使，也不能说明，故A错误； 若，则， 所以，所以四点共面，故B正确； 由题意可得，若与垂直， 则，解得，故C正确； 由题意可得，则边上的高的长即为点到直线的距离，故D正确． 故选：BCD. 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用，判断；依题意，是平面的法向量，由，则，判断；分别求出平面的一个法向量，平面的法向量，再求出，，即可判断. 【详解】解：以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示， 可得， 则， 所以， 所以不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面， 所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，， 设为平面的法向量， 则，即， 不妨令，可得， 所以，故C正确； 因为，故D错误. 故选：BC. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－2,1) 【解析】 【详解】试题分析：由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围．解：∵过点P（1-a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，∴直线的斜率小于0， ，故答案为 考点：直线的斜率公式 点评：本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系． 13. 平面的法向量是，点在平面内，则点的到平面的距离___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量的方法求距离即可. 【详解】解：设直线PA与平面所成的角为， ， 则点到平面的距离为. 故答案为：. 14. 如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得.进而表示出，即可根据数量积的运算性质求出，进而即可求出答案. 【详解】由已知可得，，，所以即为二面角的平面角，即. 因为，为对角线的中点，所以. 因为为对角线靠近点的三等分点，所以， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以线段. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角； （2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围． 【小问1详解】 解：因为，，， 由斜率公式，可得， 再由直线倾斜角的定义得： 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. 【小问2详解】 如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点， 即在线段上，此时的斜率由增大到， 所以的取值范围为. 16. 已知，，，，，求： （1），，； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据向量的平行和垂直，分别列出方程，解得答案; （2）求出向量与的夹角的坐标，利用向量的夹角公式求得答案. 【小问1详解】 ∵，  ，  解得,  则，  ∵，，  即，  解得，  则． 【小问2详解】 由得， ，  设与的夹角为，  =，=， 与的夹角为的余弦值为． 17. 已知空间三点. （1）若点在直线上，且，求点的坐标； （2）求以为邻边的平行四边形的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由点在直线上，可设，利用可求出，进而得出点的坐标； （2）由求出，进而求出，即可利用面积公式求解. 【详解】解：（1），点在直线上， 设， ， ， ， ，，. （2）， ， ，， ， 所以以为邻边得平行四边形的面积为. 【点睛】本题考查空间向量的相关计算，属于基础题. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得到线线平行，进而得到线面平行，再利用面面平行的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 连接EC，设与AC相交于点O，如图， 因为，且，， 所以四边形为矩形， 所以O为的中点，又因为G为PB的中点， 所以OG为的中位线，即， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为E，F分别为线段AD，DC的中点，所以， 因为平面PEF，平面PEF， 所以平面PEF， 因为平面GAC，平面GAC，， 所以平面平面GAC. 【小问2详解】 因为底面ABCD，平面ABCD，平面ABCD， 所以，，因为， 所以两两互相垂直， 以A为原点，所在的直线为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，所以， 令，可得，，所以， 设直线与平面所成角为θ，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足，如图甲，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，如图乙. （1）求证：平面. （2）在线段上是否存在点，使平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 因为等边三角形的边长为3，，所以， 在中，由余弦定理可得 ，所以，可得，即 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得答案； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，求出点坐标，求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得，从而求出答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为， 由（1）可知互相垂直， 以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 所以，，，，， ，，， 设，可得，， 设为平面的一个法向量， 所以，即， 令，则， 所以，因为平面， 所以可以为平面的一个法向量， 因为平面与平面所成的角为， 所以， 解得，所以存在点，且， 可得，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高二10月适应性训练试题 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号填涂在答题卡上．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 3. 在空间直角坐标系中，记点在平面内的正投影为点B，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，三棱柱中，G为棱AD的中点，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若共面，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 7. 若是空间向量中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 如图1四边形与四边形分别为正方形和等腰梯形，,沿边将四边形折起，使得平面平面，如图2，动点在线段上，分别是的中点，设异面直线与所成的角为，则的最大值为 （ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在棱长为2的正方体中，如图，以为原点建立空间直角坐标系，为中点，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若是平面的一个法向量，是直线上不同的两点，则的充要条件是 B. 已知三点不共线，对于空间中任意一点，若，则四点共面 C. 已知，若与垂直，则 D. 已知的顶点分别为，则边上的高的长为 11. 如图，平面，，则（ ） A. B. 平面 C. 二面角的余弦值为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________． 13. 平面的法向量是，点在平面内，则点的到平面的距离___________. 14. 如图，两个正方形，的边长都是3，且二面角为，为对角线靠近点的三等分点，为对角线的中点，则线段______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知坐标平面内三点，，. （1）求直线，，的斜率和倾斜角； （2）若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围. 16. 已知，，，，，求： （1），，； （2）与的夹角的余弦值． 17. 已知空间三点. （1）若点在直线上，且，求点的坐标； （2）求以为邻边的平行四边形的面积. 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，，，，，E，F，G分别为线段AD，DC，PB的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线GC与平面PCD所成角的正弦值. 19. 等边三角形的边长为3，点分别是边上的点，且满足，如图甲，将沿折起到的位置，使二面角为直二面角，连接，如图乙. （1）求证：平面. （2）在线段上是否存在点，使平面与平面所成的角为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $