精品解析：福建省福州市长乐第一中学2024-2025学年高二上学期阶段二考试数学试题

2024-2025学年第一学期长乐一中阶段二考试 高二年级数学科试卷 命题人：高二集备组 审核人：高二集备组 考试范围：选择性必修一+选择性必修二4.1、4.2 完卷时间：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A. 18 B. C. D. 6 2. 若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 5. 已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为32，则的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 正四棱柱的底面边长为1，点E，F分别为，的中点，且已知与所成角的大小为60°，则直线与平面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 已知抛物C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是6 11. 在正方体中，E是的中点，M是线段上的一点.下列说法正确的有（ ） A. 平面中一定存在直线与平面ACM平行 B. 直线，可以与平面垂直 C. 存在一点使得，为 D. 直线AD与平面ACM所成的角为，平面与平面ACM所成的锐二面角为β，则 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，且，则_______. 13. 已知双曲线的左焦点为F，点P在E上且在第一象限，线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，若，则E的离心率为_______. 14. 已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是_______；的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项积. 16. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点， （1）若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； （2）证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 19. 定义：把椭圆绕长轴旋转形成的封闭几何体称为橄榄球.已知：椭圆的离心率为，内接正方形（边与坐标轴平行）的面积为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）如图，设椭圆C绕长轴旋转成的橄榄球W，建立如图空间直角坐标系. ①直接写出橄榄球在空间直角坐标系下的方程，并求此橄榄球W的内接长方体（所有棱与坐标轴平行）的体积的最大值. ②设橄榄球W与x轴，y轴，z轴的正半轴交点为A，B，C，点P为橄榄球面上的动点，求P点到平面距离的最大值d；并求出此时P点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期长乐一中阶段二考试 高二年级数学科试卷 命题人：高二集备组 审核人：高二集备组 考试范围：选择性必修一+选择性必修二4.1、4.2 完卷时间：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，若，，三向量共面，则（ ） A. 18 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 2. 若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 3. 已知抛物线恰好经过圆的圆心，则抛物线C的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆心坐标代入抛物线的方程可求得，进而可求焦点坐标. 【详解】解：由圆的方程可得圆心， 抛物线恰好经过圆心M，，解得， 抛物线C的方程为，抛物线C的焦点坐标为. 故选：D. 4. 如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A、B两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二面角定义以及所给长度由线面垂直性质利用勾股定理计算可得结果. 【详解】如下图所示，以，为邻边作平行四边形，连接， 因为，，则， 又因为，，，故二面角的平面角为， 因为四边形为平行四边形，则，， 因为，故为等边三角形，则， ∵，则，， 又，平面，故平面， 因为平面，则，故． 故选：C． 5. 已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 6. 设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点.若的面积为32，则的焦距的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由的面积为32，得的值，得的最小值，进而求得双曲线焦距的最小值. 【详解】因为双曲线的两条渐近线的方程为， 由题，，，所以的面积，即， 又因为，当且仅当时，等号成立. 所以最小为8，即焦距的最小值为16. 故选：C. 7. 正四棱柱的底面边长为1，点E，F分别为，的中点，且已知与所成角的大小为60°，则直线与平面之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设正四棱柱高为，求出与的方向向量，即可表示出与所成角，从而求得正四棱柱的高，再求出平面的法向量和，即可求得直线与平面之间的距离. 【详解】解：以为原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设， 因为点分别为，的中点，则，，，， 所以，，因为与所成角的大小为60°， 所以，解得， 所以，，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，由得，解得， 令，得，所以， 因为，又平面，所以平面， 所以直线与平面之间的距离为点到平面的距离，因为， 所以直线与平面之间的距离为：. 故选A. 8. 已知点P在以，为左、右焦点的椭圆上，椭圆内存在一点Q在的延长线上，且满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得点Q在以为直径，原点为圆心的圆上，即可求出的不等关系，再由当Q点与重合时，得出，再根据点Q在的延长线上，即可得解. 【详解】 由题设为锐角且， 设，则且， 故， 因为在椭圆内部且在的延长线上，故且， 故， 而， 整理得到：， 故，故， 综上可得：. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当m变化时，的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线所过定点，即可求得的范围. 【详解】直线过定点， 所以， 即，而A，B在范围内，故A，B正确. 故选：AB． 10. 已知抛物C：的焦点为F，直线l与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D．若，则（ ） A. A，B，F三点共线 B. l的斜率为 C. D. 圆E的半径是6 【答案】AC 【解析】 【分析】根据直线与抛物线的关系，结合几何关系，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：连接，过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，如下所示： 因为，又，故， 故三点共线，A正确； 对B：因为，，故，又， 故，又//轴，故直线的倾斜角为，则直线的斜率为，故B错误； 对C：根据B所求，可得直线方程为，联立抛物线方程可得： ，解得或，故两点的坐标为， 则，故，C正确； 对D：由C知，，故圆的半径为，D错误. 故选：AC. 11. 在正方体中，E是的中点，M是线段上的一点.下列说法正确的有（ ） A. 平面中一定存在直线与平面ACM平行 B. 直线，可以与平面垂直 C. 存在一点使得，为 D. 直线AD与平面ACM所成的角为，平面与平面ACM所成的锐二面角为β，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据线面关系理解辨析；对于B：可证平面，理解辨析；对于C：分别求，结合余弦定理分析判断；对于D：根据相关定义可得，结合图形理解辨析． 【详解】对于A：∵平面与平面ACM相交，则根据线面判定定理可知：平面中与两平面交线平行的直线与平面ACM平行，A正确； 对于B：如图1，连接，则 ∵平面，则 ，则平面 ∴ 同理可证, 又 ∴平面，B错误； 对于C：因为.所以存在点，使得 C正确； 对于D：如图2，连接，过作∥，与交点的分别为，连接 可证∥，则平面平面 设点在平面的投影为，过作，垂足为，连接 则可得： ∵，且 ∴，即，D正确； 故选：ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知数列为等差数列，且，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列性质计算，再计算其正切值. 【详解】数列为等差数列，且， 则. 故答案为： 13. 已知双曲线的左焦点为F，点P在E上且在第一象限，线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，若，则E的离心率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线焦点坐标以及圆的性质可得，再由双曲线定义计算可得离心率. 【详解】由题意知，，设双曲线E的右焦点为Q，连接， 设PF的中点为M，连接，如下图所示： 则 由于，可得， 又O，M分别为，的中点，因此，， 由双曲线的定义知，即， 可得离心率， 故答案为： 14. 已知点M是边长为2的正方形内部（包括边界）的一动点，点P是边的中点，则的最大值是_______；的最小值是________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空利用向量形式的三角不等式即可求解；第二空将转化为，再利用极化恒等式即可求解. 【详解】解：，当点与点重合时等号成立； 如图所示，取中点，连接，取的中点为，连接， 则． 又因为点为正方形内部（包括边界）一动点， 所以， 当点与点重合时，取得最小值． 故答案为，． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项积. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先设等差数列的公差为d，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，得到，可得数列的前n项积，即可得出结果. 【小问1详解】 由题意，设等差数列的公差为d， 因为，， 则，解得， 所以，. 【小问2详解】 由（1），可得， 所以. 16. 已知双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为. （1）求双曲线C的方程； （2）若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可. 【小问1详解】 ∵双曲线的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为， 到直线的距离为， ∴，解得，，所求双曲线C的方程为. 【小问2详解】 联立，得， ∵直线被双曲线C截得的弦长为， ∴，设直线与双曲线交于，， 则，，则. 17. 如图，四边形是正方形，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建合适的空间直角坐标系，取的中点M，连接，向量法有，进而可得，再由线面平行的判定证明结论； （2）取中点，利用线面垂直的判定证平面，得面的一个法向量，并求出面的法向量，应用向量法求二面角即可. 【小问1详解】 如图，以A为原点，、、为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系， 依题意，得，，，，，， 取的中点M，连接，则，，， 所以，则，又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，则，又，则， 由且都在面内，则面， 由，则面，面，故， 由，、平面，所以平面， 故为平面的一个法向量. 设平面的法向量，且，， 所以，即，令，得. 所以， 由图，二面角为钝二面角，所以二面角的大小为. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆及圆内一点，Q是圆O上的动点.以为圆心，为半径的圆，与圆相交于两点， （1）若圆与圆恒有公共点，求的取值范围； （2）证明：点到直线的距离为定值，并求出此定值. 【答案】（1） （2） 设，圆的半径， 则圆方程为， 整理得，又圆， 两圆方程相减，整理得相交直线的方程为， 所以到直线的距离, 因为在圆O上，所以，所以到直线的距离， 即点到直线的距离为定值． 【解析】 【分析】（1）首先确定圆的半径的范围，再利用圆与圆恒有公共点，得，列不等式求解的取值范围； （2）利用圆与圆的相交，求相交直线的方程，再利用点到直线的距离公式求解即可证明. 【小问1详解】 解：因为，，所以圆的半径， 又圆与圆恒有公共点，且圆心之间的距离为， 所以对任意恒成立， 所以，所以的取值范围为； 【小问2详解】 略 19. 定义：把椭圆绕长轴旋转形成的封闭几何体称为橄榄球.已知：椭圆的离心率为，内接正方形（边与坐标轴平行）的面积为. （1）求椭圆C的标准方程. （2）如图，设椭圆C绕长轴旋转成的橄榄球W，建立如图空间直角坐标系. ①直接写出橄榄球在空间直角坐标系下的方程，并求此橄榄球W的内接长方体（所有棱与坐标轴平行）的体积的最大值. ②设橄榄球W与x轴，y轴，z轴的正半轴交点为A，B，C，点P为橄榄球面上的动点，求P点到平面距离的最大值d；并求出此时P点的坐标. 【答案】（1） （2）①，；② 【解析】 【分析】（1）由椭圆的内接正方形的面积为，得点在椭圆C上，又椭圆的离心率为，建立方程组，可解出，即可得到椭圆C的标准方程； （2）①由建空间直角坐标系的方法及椭圆的对称性可得橄榄球W的方程；设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为，表示出长方体的体积，再由不等式及三角函数相关知识即可得解；②求得平面的一个法向量，设，则，向量法求出P点到平面距离，利用三角函数相关知识即可求得最大值d，进而求得P点的坐标. 【小问1详解】 由已知，椭圆内接正方形的边长为，则点在椭圆C上， 又椭圆的离心率为， 所以，解得， 所以椭圆C的标准方程为： . 【小问2详解】 ①橄榄球W的方程为：. 设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为， 则由对称性知，内接长方体的体积为 ， 令， 则， 即，又，所以， 即橄榄球W的内接长方体体积的最大值为. ②由已知得：， 设平面的一个法向量为 则， 由，取，则， 设， 则， 则P点到平面距离 （其中）， 上式当时，， 此时取时即可取最大值， ， 所以P点的坐标为. 【点睛】关键点点睛：（2）①设榄球W的内接长方体的一个顶点坐标为，表示出长方体的体积，再由不等式及三角函数相关知识求解；②求得平面的一个法向量，设，则，向量法求出P点到平面距离，利用三角函数相关知识求得橄榄球面上的动点P到平面距离的最大值d，进而求得P点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $