精品解析：天津市汇文中学2026届高三上学期第一次月检测数学试题

2025-2026（上）高三年级数学学科第一次月检测 （满分：150分 时长：2小时） 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 已知全集，则（　　） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（）＝（ ） A. B. C. D. 5. 为了了解山高（km）与气温（℃）的关系，登山人员随机抽测了5次山高与相应气温，如下表： 气温（℃） 22 14 8 山高（km） 22 33 38 47 52 由表中数据，得到线性回归方程，由此估计山高处气温大约为（ ） A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ 6. 已知向量，，则函数的大致图象不可能为（    ） A. B. C. D. 7. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最小值是 A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 已知复数z满足（i是虚数单位），则z=________． 11. 在的二项展开式中项的系数为__________． 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 13. 若过点作直线与圆：相切，则切线长为______，直线的方程为__________________. 14. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在有女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________． 15. 已知函数,若，则________；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是________ 三､解答题（共75分） 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 18. 已知函数.求： （1）函数的最小正周期； （2）方程的解集； （3）当时，函数的值域. 19. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 20. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（上）高三年级数学学科第一次月检测 （满分：150分 时长：2小时） 一､单选题（每题5分，共45分） 1. 已知全集，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合集合交集、并集的概念，结合元素与集合的关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，由，可得，所以A不正确； 对于B，由， 则或，所以B不正确； 对于C，由，可得，所以C不正确； 对于D，由，则，所以D正确. 故选：D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求一元二次不等式和绝对值不等式的解集，再根据解集的包含关系即可判断充分、必要关系． 【详解】由，解得或，即， 又，则，解得，即， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 3. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换逐步变换得解. 【详解】解：将函数的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，将函数的图象向左平移个单位得到. 故选：C 4. 已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性，即可求解. 【详解】由f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x）， 得. 故选:A 【点睛】本题考查函数的性质应用，属于基础题. 5. 为了了解山高（km）与气温（℃）的关系，登山人员随机抽测了5次山高与相应气温，如下表： 气温（℃） 22 14 8 山高（km） 22 33 38 47 52 由表中数据，得到线性回归方程，由此估计山高处气温大约为（ ） A. ℃ B. ℃ C. ℃ D. ℃ 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，代入，求得，进而得解. 【详解】由题得，， 代入，解得 当时，，. 故选：B 6. 已知向量，，则函数的大致图象不可能为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量数量积的坐标运算得函数解析式，然后分，，讨论即可. 【精细解析】因为，所以. 当时，，故A符合题意； 当时，二次函数的图象开口向上， 由，解得或， 所以，的零点为0和，且，故B符合题意，C与题意不符； 当时，二次函数的图象开口向下，的零点为0和，且，故D符合题意. 故选：C. 7. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 8. 已知，，，则的最小值是 A. 2 B. 8 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由,可得，则展开后，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为, 所以， 可得 =, 当时，等号成立， 所以的最小值是4，故选C. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 9. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列及等比数列的下标和性质求值，再代入结合诱导公式及两角差的正弦公式求解. 【详解】因为数列是等比数列，且，所以， 因为数列是等差数列，且，所以， 则 . 故选：D. 二､填空题（每题5分，共30分） 10. 已知复数z满足（i是虚数单位），则z=________． 【答案】 【解析】 【分析】先求，再把已知变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】， . 故答案为：. 11. 在的二项展开式中项的系数为__________． 【答案】560 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项，令，求出，即可得项的系数. 【详解】二项式展开式的通项为：， 令，则， 所以项的系数为， 故答案为：560 12. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，的周长为，则的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用周长求出，再结合余弦定理求出，最后代入三角形面积公式即可得解. 【详解】因为且，所以， 由余弦定理：，， 又，所以， 所以. 故答案为： 13. 若过点作直线与圆：相切，则切线长为______，直线的方程为__________________. 【答案】 ①. 3 ②. 或 【解析】 【分析】过点作圆的一条切线，切点为，利用切线长定理求解；根据题意设直线：，利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】解：如图： 过点作圆的一条切线，切点为，连接，，则三角形为直角三角形，且，而，， 所以，则. 依题意斜率存在，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为， 整理得，解得或， 故直线的方程为或. 故答案为：3，或 14. 某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为__________；在有女生参加劳动学习的条件下，都是女生参加劳动学习的概率______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“有女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”，结合组合数公式和条件概率公式，可分别求得. 【详解】设表示事件“恰有一名女生参加学习”，表示事件“有女生参加劳动学习”，设表示事件“都是女生参加劳动学习”， 则 所以 故答案为：；. 15. 已知函数,若，则________；若有三个不同的实根，且满足，则的取值范围是________ 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】根据函数解析式和函数值，直接求解即可求得；数形结合求得的关系，再根据的取值范围，即可求得结果. 【详解】当时，，即，解得；当时，，即，解得； 故当时，或； 有三个不同的实根，也即与图象交点的横坐标为； 数形结合可知，若有三个不同的实数根，则，且； 当时，令，解得，故； 故. 故答案为：或；. 三､解答题（共75分） 16. 在中，角、、的对边分别为、、，已知. （1）求的值； （2）若，求 （i）的值； （ii）的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求出的值； （2）（i）利用同角三角函数的基本关系结合正弦定理可求出的值； （ii）分析可知为锐角，求出的值，进而可求出、的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值. 【小问1详解】 因为，可得，即， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 （i）因为，故为锐角，所以， 因为，由正弦定理可得，故； （ii）因为，则，即，故为锐角， 所以， 所以， ， 因此，. 17. 在如图所示的几何体中，平面，，F是的中点， ，，. （1）求证: 平面; （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）求点 A 到平面的距离. 【答案】（1）证明： 取的中点，连接，由是的中点，得，而，则． 又，于是四边形是平行四边形，， 在中，，，有，由平面， 平面，得，而平面，因此平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定及性质，等腰三角形性质及线面垂直的性质判定推理即得. （2）以C为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面夹角余弦值. （3）根据点到平面的向量距离公式计算即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知平面，而，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    于是，，，，，，， 设是平面的一个法向量，则，令，得， 显然平面的一个法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 【小问3详解】 由（2）知道平面的一个法向量为，且， 则点 A 到平面EBD的距离. 18. 已知函数.求： （1）函数的最小正周期； （2）方程的解集； （3）当时，函数的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换将函数化简，再根据正弦函数的周期性即可得解； （2）根据正弦函数的性质结合整体思想从而可得出答案； （3）根据正弦函数的性质结合整体思想从而可得出答案. 【小问1详解】 解： ， 所以函数的最小正周期； 【小问2详解】 解：令， 则，所以， 所以方程的解集为； 【小问3详解】 解：当时，， 所以函数的值域为. 19. 已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公差，表达出前5项，通过等差和等比关系求出和公差，即可得到数列的通项公式； （2）表达出数列的通项公式，得到数列的前n项和的表达式，利用错位相减法即可得出数列的前n项和. 【小问1详解】 由题意， 在等差数列中，设公差为, 由，得，则， 又a3＋2，a4，a5－2成等比数列， ∴7，5＋d，3＋2d成等比数列，得，即，得d＝2， ∴，， ∴数列的通项公式为：． 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，， 在数列中，， ∴， ∴， ， 两式相减得 ． ∴ 20. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； 【小问3详解】 由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则在上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $