精品解析：辽宁省东北育才学校2025-2026学年高一上学期9月月考数学试题

东北育才高中2025—2026学年度上学期 高一年级数学月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人 校对人：庞德艳，袁野 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 4. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 已知集合为全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下列命题为真命题的为（ ） A. B. 当时， C. 成立的充要条件是 D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知，且，则的值可能为（ ）. A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 13. 在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为__________ 14. 若、、、均为正实数，则的最小值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 16. （1）命题“，”，命题“，”，若为真命题时，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17. （1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）设，，，证明： 18. 已知函数，， （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 19. 已知实数，，满足. （1）求证：. （2）将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. （3）继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北育才高中2025—2026学年度上学期 高一年级数学月考试卷 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人 校对人：庞德艳，袁野 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集的定义计算. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知命题，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是将任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定为特称命题，则. 故选：D 3. 不等式的解集是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解一元二次不等式，即得答案. 【详解】原不等式可化为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：B. 4. 对于实数，用表示不超过的最大整数，例如，，那么“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，结合充分、必要条件的定义，分析计算，即可得答案. 【详解】设，则， 所以， 所以，即，充分性成立； 取，此时满足， 但，，必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 5. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知：，是方程的两根，利用韦达定理可得，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意可知：，是方程的两根，且， 则，可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 6. 已知集合为全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取，可得出，可判断A选项；取，可判断B选项；根据，可判断C选项；根据，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则、均不为空集， 因为，所以，当时，则， 又因为为的真子集，A错； 对于B选项，若，则，B错； 对于C选项，因为， 所以，，C错； 对于D选项，因为，所以，，D对. 故选：D. 7. 设，，，则的大小顺序是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对作差可求出，再对作差可求出，即可得出答案. 【详解】解：， 因为，， 而，所以，所以， ， 而，，， 而，所以， 综上，. 故选：D. 8. 已知关于的不等式恰有个整数解，则实数的取值范围是（    ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先分二次项系数为正得到解集，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数为负得到解集，因为里面包含了正负两种情况，所以再次分类讨论，得到可能的解集中的三个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即或， 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 当时，， 不等式解集为， 由∵，∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：或. 故选：A 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过反例可说明BD错误；根据不等式的性质可证明AC正确. 【详解】对于A，，，，A正确； 对于B，若，，则，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，若，，，，则，，，D错误. 故选：AC. 10. 下列命题为真命题的为（ ） A. B. 当时， C. 成立的充要条件是 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A利用全称命题判断；对B利用特称命题判断；对C利用充要条件分析判断；对D利用必要不充分条件分析判断得解. 【详解】对于A，由于，所以A正确； 对于B，由于，所以，所以方程有实数根，故B正确； 对于C，由，得，整理得，所以，故成立的充要条件是错误，故C错误； 对于D，因为，所以等价于，由，可得，所以“”是“”的必要不充分条件，所以D正确. 故选ABD 【点睛】本题主要考查全称命题和特称命题的真假的判断，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11. 已知，且，则的值可能为（ ）. A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知推出，化简为，利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】，， ，，， ， 又，故，当且仅当，即时等号成立， 故，此时取最大值， 结合选项可知，符合题意， 故答案为：AD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若“，使得”是假命题，则实数的取值可以为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意“，使得”是真命题，求参数范围即可. 【详解】由于“，使得”是假命题， 则“，使得”是真命题， 故，则， 则实数的取值可以为. 故答案为：（答案不唯一） 13. 在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为__________ 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：解：由不等式|2x-1|+|2x+1|≤6，可得 ①-(2x-1)+(-2x-1)≤6, x＜-，或 ②-(2x-1)+(2x+1)≤6 -≤x＜，或③2x-1+2x+1≤6,X解①得-≤x＜-，解②得-≤x＜，解③得≤x≤ 把①②③的解集取并集可得不等式的解集为 考点：分式不等式 点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题． 14. 若、、、均为正实数，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，从后两项着手依次使用基本不等式，经过2025次计算，即可求解. 【详解】 , 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为4， 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是从后两项着手依次使用基本不等式，经过2025次计算，求得所求代数式的最小值. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合，其中. （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围. 【答案】（1）或 （2）. 【解析】 【分析】（1）根据集合的并集以及补集运算，即可求得答案； （2）根据，可得，讨论B是否为空集，列出相应不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 当时，， ，则， 或 【小问2详解】 若，则， 当时，， 当时，需满足，解得， 综上，. 16. （1）命题“，”，命题“，”，若为真命题时，求实数的取值范围； （2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出当命题、为真命题时实数的取值范围，再由已知条件可知、均为真命题，由此可得出实数的取值范围； （2）求出、中的不等式，分析可知是的充分不必要条件，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）若为真命题，则，， 若为真命题，则，解得或. 因为为真命题，则、为真命题，则或； （2）解不等式，即，解得， 因为，由，得，解得， 因为是的充分不必要条件，则是的充分不必要条件， 则，所以，，验证得等号不同时成立解得. 17. （1）已知a，b，c是互不相等的非零实数，用反证法证明三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）设，，，证明： 【答案】（1）假设三个方程，，都没有两个相异实根. 则， ， ， 上述三个式子相加得，，同乘以2得， 即，即， 所以，这与a，b，c是互不相等的非零实数相矛盾，因此假设不成立， 故三个方程，，中至少有一个方程有两个相异实根. （2）由于，，， 由不等式的性质知，，，， 所以， 又，可得， 同理可得，， 所以， 所以 【解析】 【分析】（1）根据反证法的证明步骤，即可证明结论； （2）利用，，，可证明；利用作差法证明，，，即可证明，即可证明结论. 【详解】（1）略 （2）略 18. 已知函数，， （1）若不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）当时，求不等式的解集； （3）若关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3）或. 【解析】 【分析】（1）将不等式化为，当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果. （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果. （3）分别在、和三种情况下，讨论根的个数，结合判别式及韦达定理求解. 【小问1详解】 不等式， 当时，恒成立，则； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 当时，， 当时，或；当时，；当时，或， 所以当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 方程化为， 当时，，解得，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，关于的一元二次方程只有一个正根，原方程有且仅有两个实根，不合题意； 当时，原方程有4个不同的实根，则关于的一元二次方程有两个不同的正根， 因此，解得或， 所以实数的取值范围为或. 19. 已知实数，，满足. （1）求证：. （2）将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. （3）继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】（1） 证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. （2）2或3 （3） 【解析】 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. 【小问3详解】 类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $