精品解析：陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由倾斜角和斜率的关系即可得出结果. 【详解】直线的斜率，解得. 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在空间直角坐标系中，一个点关于平面对称的点的坐标为，据此即可得到答案． 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时，判断两直线的斜率，从而可证明充分性；当时，求的值，从而证明必要性. 【详解】当时，：，：， 则，所以，即“”是“”的充分条件； 当时，，解得或， 所以，当时，或，即“”是“”的不必要条件， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【详解】因为  ，  ，  ， 所以  ， 故选：A. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数，单调性的概念对每个选项直接判断即可. 【详解】对A，，定义域为，，所以为偶函数， 又在单调递增，所以在上单调递减，故错误； 对B，，定义域为，且，所以为偶函数， 又在单调递减，所以在上单调递增，故正确； 对C，，定义域为，又，所以不是偶函数，故错误； 对D，，定义域为，， 所以为偶函数，又在单调递增，所以在上单调递减，故错误. 故选：B 6. 圆心在直线l：上，且过，两点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出的垂直平分线，再求出圆心，半径即可. 【详解】,中点为， 故其垂直平分线方程为，即, 联立解得，故圆心C为， 半径， 故圆的方程为， 故选：D. 7. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接MD，取其中点Q，连接，由得到是直线AM和CN的夹角或补角，接着在中由余弦定理求出即可求解. 【详解】连接MD，取其中点Q，连接， 由题意可得， ，且， 所以是直线AM和CN的夹角或补角，， 所以. 所以，即直线AM和CN夹角的正弦值为. 故选：C 8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设关于平面的对称点为，利用对称点、到平面距离相等，得出关于平面的对称点为，利用对称点求出最短路径即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设关于平面的对称点为， 则， 设平面的一个法向量， 则，即，令，则， 所以与到平面的距离， 即①，又，所以②， 所以由①②得，又由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】构造长方体，由长方体的特征可判定A项，建立空间直角坐标系，借助空间向量可判定B、C项，利用割补法计算体积可判定D项. 【详解】 如图，构造长方体，因， 则可得，此时四面体符合题目条件. 建立空间直角坐标系，则， 对于A，由长方体的特征可知，又底面为正方形，即， 所以，故A正确； 对于B，易知， 设平面和平面的法向量分别为， 则故可取； 则，故可取. 设锐二面角的平面角为，则，故B错误； 对于C，易知， 则在上的投影为，故C错误； 对于D，由图易知四面体的体积等于长方体的体积减去四个大小相同的小三棱锥的体积， 即，故D正确. 故选：AD 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用面面平行判断线面平行，即可判断A，建系后写出相关点的坐标，对于B，利用向量的数量积的坐标公式计算即可判断；对于C，利用空间中点到平面的距离公式计算即可：对于D，由条件求得，利用线面角的向量求法得到，借助于函数的单调性即可求得的范围. 【详解】连结，由可知，点在线段上， 因为，平面，平面，所以平面， 同理平面，且，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面，故A正确； 如图以为原点建立空间直角坐标系，则 ，， 对于A，， 则，得，则， ，A正确： 对于B，由A分析可得， 故不与垂直，故B错误； 对于C，时，，又， 设平面的法向量为，则， 故可取，又， 则到平面的距离为，故C正确： 对于D，当时，，则， 又由C已得平面的法向量为， 则 当， 当， 因在上单调递减，则，则有， 则，则当时，，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若与共线，则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两向量共线得出，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】由题意， 向量，，，与共线， ∴， ∴， 当且仅当即时，等号成立， ∴， 故答案为：2. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故答案为：. 14. 如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可. 【详解】因为直线到平面的距离为， 所以必有面，即点到平面的距离为， 如图建立空间直角坐标系，设，又， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 则，解得，即， 过作平面的平行平面，与正方体的截面为， 分别为线段和线段的中点，则 所以在直线上， 设， 又，则， 当时，， 当时，， 又，所以， 则的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，求出角； （2）根据已知条件求出的值，最后利用面积公式求出三角形面积. 【小问1详解】 （方法一）由及正弦定理， 得. 又，得， 即. 因为，所以. （方法二）由及正弦定理， 得. 又，得， 即， 因为，所以，故， 所以，故，即. 【小问2详解】 由（1）得. 由的周长为，得. 由， 所以，即， 故， 所以. 16. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求a、b的值； （2）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解. （2）根据古典概型列出基本事件计算得解. 【小问1详解】 由频率分布直方图，得，则，而， 所以，. 【小问2详解】 月销售额在这一组的人数为， 其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b， 从中随机抽取2 人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个， 事件“至少有一名女职工”含有的基本事件为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个， 所以所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为. 17. 已知的三个顶点是 （1）求边上的中线的直线方程； （2）求边上的高的直线方程 （3）求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点公式得到中点，再求出边上的中线所在直线的斜率，然后由直线的点斜式方程求出边上的中线所在直线方程； （2）先由和两点求出直线BC的斜率，由于边与高垂直，则由两直线垂直的结论求出高所在直线的斜率，再结合点，由直线的点斜式方程求出高所在直线方程； （3）由题可得内角平分线的方向向量，据此可得角平分线斜率，然后由角平分线过点A可得角平分线所在直线方程. 【小问1详解】 设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； 【小问2详解】 由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； 【小问3详解】 ，设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，求出向量在单位向量上的投影，结合勾股定理可得点到直线的距离； （2）先证明再转化为点到直线的距离求解； （3）求解平面的法向量，利用点到平面的距离公式进行求解； （4）把直线到平面的距离转化为到平面的距离，利用法向量进行求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则 （1） 因为， 所以. 所以点到直线的距离为. （2）因为所以，即 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离. 所以直线到直线的距离为 （3）设平面的一个法向量为， . 由 令，则，即. 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为. （4）因为所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离. ，由（3）得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸阳市实验中学2025—2026学年度第一学期第一次质量检测 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，平行六面体中，设，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 6. 圆心在直线l：上，且过，两点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为1的正四面体中，M，N分别为BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直三棱柱中，为腰长为2的等腰直角三角形，且，，，为平面内一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 10. 已知四面体满足，则（ ） A. 直线与垂直 B. 二面角平面角的余弦值为 C. 向量在向量上的投影为 D. 四面体的体积为 11. 在棱长为2的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则面 B. 若，则 C. 若，则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若与共线，则的最小值为__________. 13. 已知一束光线通过点，经直线反射．如果反射光线通过点，则反射光线所在直线的方程是______． 14. 如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 记的内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的周长为，求的面积. 16. 某商场随机抽取了100名员工的月销售额x（单位：千元），将x的所有取值分成五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中． （1）求a、b的值； （2）若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率． 17. 已知的三个顶点是 （1）求边上的中线的直线方程； （2）求边上的高的直线方程 （3）求角A的内角平分线所在的直线方程 18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点． （1）求点到直线的距离； （2）求直线到直线的距离； （3）求点到平面的距离； （4）求直线到平面的距离． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $