精品解析：广东省揭阳市真理中学 2025-2026学年九年级上学期第一次综合训练数学试题

2025—2026学年度第一学期第一次综合训练 九年级数学 问卷 （考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，本选项不符合题意； B、化简后为不是一元二次方程，本选项不符合题意； C、是一元二次方程，本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查命题与定理，矩形的判定，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定和性质．根据矩形及菱形的判定直接判断即可． 【详解】解：A．四个角相等的四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． B．对角线相等的平行四边形是矩形，是真命题，本选项不符合题意． C．对角线垂直的四边形是菱形，是假命题，对角线垂直的平行四边形是菱形，本选项符合题意． D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：C． 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根，代数求值等运算，解题的关键是掌握一元二次方程的根的定义． 将方程的根代入方程得出，然后代入求值即可． 【详解】解：将代入得， ， ， 将代入上式得， 原式， 故选：B． 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式和一元二次方程的定义得出且，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 解得：且， 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能根据题意得出关于的不等式是解此题的关键． 5. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设平均每天票房的增长率为x，则第二天票房为亿元，第三天票房为亿元，再根据三天累计票房为亿元即可列出对应的方程． 【详解】解：由题意得，， 故选：D． 6. 已知分别为的三边的长，其中，则关于的一元二次方程 根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有两个实数根 D. 方程没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据勾股定理解三角形得到的关系式，再结合一元二次方程根的判别式确定根的情况． 【详解】解：∵分别为的三边的长，其中， ∴， ∴， 关于的一元二次方程 ， ， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 7. 如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上中线的性质：斜边上中线等于斜边一半，等边对等角，三角形内角和等知识，掌握直角三角形斜边上中线的性质是关键；由直角三角形斜边上中线的性质得，从而得，由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，E为的中点， ∴和均为直角三角形，且点E是公共斜边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小， 此时，即 ， 的最小值为， 故选：B． 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，三角形中位线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先证明出是的中位线，得到，，同理得到，，然后证明出四边形是矩形，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：∵点E，F，分别为边，的中点， ∴是的中位线 ∴， 同理可得，是的中位线 ∴， ∵ ∴ ∵点G，H分别为边和的中点， ∴是的中位线 ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∴四边形的面积等于． 故选：C． 10. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据菱形的性质及旋转的规律，可得第次旋转结束时，点C所在象限，再根据菱形的性质及全等三角形的判定，即可求得C点的坐标即可求解． 【详解】解：∵将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，， ∴旋转4次后回到原来的位置， ∵……1， ∴第次旋转结束时，点C在第一象限， 如图：过点A作轴于点E，延长到点，使，过点作轴于点F， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ， ，， ∴，， ∴， ∴第次旋转结束时，点C的坐标为， 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及坐标与图形的性质，直角三角形的性质，解题关键是找出旋转规律． 二、填空题 11. 方程的根为__________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或， ∴，， 故答案为：，． 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上内容． 根据解一元二次方程的步骤求出方程的根，然后根据三角形的三边关系进行验证，最后求出周长即可． 【详解】解： 或 或， 当时，，不能构成三角形，舍去； 当时，，能构成三角形； ∴此三角形的周长是， 故答案为：13． 13. 一个小组若干人，新年每人互送贺卡一张，已知全组共送贺卡30张，则这个小组有______人． 【答案】6 【解析】 【分析】设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡30张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有6人 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的事件应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键． 14. 已知，是方程的两根，求： _____________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解决本题的关键是把所求的代数式整理成与根与系数有关的形式．根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积的具体数值，利用代入相应的数值进行计算即可得． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：8． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④是等边三角形．其中正确的是_____ 【答案】①④ 【解析】 【详解】试题解析：由折叠可得PE=BE，PF=BF，∠PEF=∠BEF，∠EFB=∠EFP， ∵AE=AB， ∴BE=PE=2AE， ∴∠APE=30°， ∴∠PEF=∠BEF=60°， ∴∠EFB=∠EFP=30°， ∴EF=2BE，PF=PE， ∴①正确，②不正确； 又∵EF⊥BP， ∴EF=2BE=4EQ， ∴③不正确； 又∵PF=BF，∠BFP=2∠EFP=60°， ∴△PBF为等边三角形， ∴④正确； 所以正确的为①④， 故答案为①④． 三、解答题一 16. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程． 利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解： ． 17. 某校成立志愿者服务队，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ． （2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，根据概率公式求概率，解题关键是正确列出表格或画出树状图． （1）根据概率公式求解； （2）先列出表格，得到等可能的结果总数，与符合条件的结果数，再求概率． 【小问1详解】 解：李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 所有可能出现的结果如下： ① ② ③ ④ ① （①，①） （②，①） （③，①） （④，①） ② （①，②） （②，②） （③，②） （④，②） ③ （①，③） （②，③） （③，③） （④，③） ④ （①，④） （②，④） （③，④） （④，④） 共有种等可能的结果，其中李老师和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4， 所以李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率为． 18. 已知：如图，在中，对角线的中垂线交于，交于．求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵是的中垂线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等，利用平行四边形和线段垂直平分线的性质可证，即可得四边形是平行四边形，进而由即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】略 四、解答题二 19. 如图，点是中边上的中点，，，垂足分别为，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，判断四边形的形状并证明你的结论． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵点是中边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 解：四边形是正方形，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∴矩形是正方形． 【解析】 【分析】（）证明，可得，进而即可求证； （）先证明四边形是矩形，再由全等三角形的性质得，进而即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，正方形的判定等，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）二、三这两个月的月平均增长率为； （2）当商品降价5元时，商场获利4250元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设二、三这两个月的月平均增长率为，利用该商品三月份的销售量该商品一月份的销售量二、三这两个月的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据超市获利4250元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设二、三这两个月的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：二、三这两个月的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价元，则每件的销售利润为元，月销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：当商品降价5元时，超市获利4250元． 21. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）5厘米（2）宽为2厘米时符合设计要求 （3）如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，解一元二次方程，矩形的性质，熟练掌握勾股定理并正确计算是解决本题的关键． （1）根据，，结合中点可得，，根据勾股定理求解即可； （2）先求解矩形面积，再表示出花坛总面积，根据“花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半”建立等量关系求解即可； （3）先由勾股定理求解出的长度，再根据面积的关系判断即可． 【详解】解：（1）∵，， 又∵点E与点F分别为与的中点， ∴，， 在中，厘米； 故答案为：5厘米； （2）设小路的宽为时符合设计要求， 矩形面积为平方厘米，平方厘米， 根据题意，得， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为2厘米时符合设计要求； （3）连接，交于点O，则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得厘米， 故厘米， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 五、解答题三 22. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 23. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）求当为何值时，四边形是矩形； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3）1或3 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，根据矩形的性质可得，，，当时，四边形是矩形，据此列出关于的方程，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形是矩形，则，解得， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图2， 由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第一学期第一次综合训练 九年级数学 问卷 （考试时间：120分钟） 一、单选题 1. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题是假命题的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线垂直的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 4. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 5. 2024年某电影上映的第一天票房为2亿元，第二天、第三天单日票房持续增长，三天累计票房为亿元，若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别为的三边的长，其中，则关于的一元二次方程 根的情况是（ ） A. 方程有两个不相等的实数根 B. 方程有两个相等的实数根 C. 方程有两个实数根 D. 方程没有实数根 7. 如图，，E为的中点，与相交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，．点D是边上的动点，过点D作边的垂线，垂足分别为E，F、连接，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 9. 如图，在四边形中，点E，F，G，H分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（ ） A. 36 B. 32 C. 24 D. 20 10. 如图，菱形的对角线交于原点O，，．将菱形绕原点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 方程的根为__________ 12. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程的解，则此三角形的周长是__． 13. 一个小组若干人，新年每人互送贺卡一张，已知全组共送贺卡30张，则这个小组有______人． 14. 已知，是方程的两根，求： _____________． 15. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④是等边三角形．其中正确的是_____ 三、解答题一 16. 解方程： 17. 某校成立志愿者服务队，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．李老师和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗． （1）李老师被分配到“洗手监督岗”的概率为 ． （2）用列表法或画树状图法，求李老师和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 18. 已知：如图，在中，对角线的中垂线交于，交于．求证：四边形是菱形． 四、解答题二 19. 如图，点是中边上的中点，，，垂足分别为，且． （1）求证：是等腰三角形； （2）当时，判断四边形的形状并证明你的结论． 20. 某超市于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，一月份销售256件．二、三月该商品十分畅销．销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月份的销售量达到400件．设二、三这两个月的月平均增长率不变． （1）求二、三这两个月的月平均增长率； （2）从四月份起，超市决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降价1元，销售量在400件的基础上增加5件，当商品降价多少元时，超市获利4250元？ 21. 【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽．经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在图纸上分别找到其他边的中点，则的长应为 ； 步骤二：顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分为轴对称图形，请你帮助他们完成任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 五、解答题三 22. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 23. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）求当为何值时，四边形是矩形； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $